教材整合因数与倍数

1、小学数学教材的整合与拓展“一因数与倍数一、对新教材的一些编排特点认识：新教材板块多，注重培养和发展学生多方面的能力，但因为板块多而带来的知识点零碎， 也确实削弱了学生的计算等基本技能训练。教材的编排分散了学生学习的难点，把各个知识 点分布在各个年级进行教学，渗透，让教师们普遍有新教材碎、零散的感觉。每册教材安排 的单元多，涉及面广，有的容量大，但也有个别单元只有2、3课时，学生刚刚学了一些知 识，还没深入进去，又要出来再学习另一个单元。到下一次再学到这个内容，有的学生已经 淡忘，每次学起需要教师花费除计划课时之外的一定时间对过去内容进行复习，这对知识的 系统性、完整性，似乎有些欠缺。对于一些学

2、习基础不太好的学生学习起来相对比较吃力， 如“统计和可能性”、“观察物体”、“认位置”等，在一、二、三、四年级中多次出现，但是 层次不够清楚明显，很多时候都是在同一个层面上知识的重复，建议将某些知识点合并重组 相对集中在某一个或两个年级教学，这样既节省了时间又有利于知识建构的系统性和完整 性。二、对“倍数和因数”单元教材编排的一些想法（一）“倍数和因数”这一内容原来是四年级的教学内容，现在新教材将其放入五年级 上学期进行教学，从内容呈现形式和知识点的难度的把握，都以原先的基础上作出相应的调 整。我感到这样的调整将原有重要给删了（如合数的分解质因数、互质数等），将基础的内 容难度降低，将一些技能

3、只停留在低级状态（如找最大公因数和最小公倍数）。第一、片面的看待操作。“认识倍数和因数”不是从原先整除概念入手，利用整除认识倍数和因数。 而现在通过学生的操作，利用整数乘法认识倍数和因数。我觉得这样的改变只是形式上的花 哨，并没有实质的意义，从教材来看，学生是通过铺长方形列出了三个乘法算式，从这三个 乘法算式中，认识了倍数和因数。我觉得本课的教学目标是让学生自主的探究倍数和因数， 而这一探究是建立在三个乘法算式上的。让我们看看教材吧，先学生铺长方形，其是学生对 用12个小正方形铺长方形是很熟悉的。还用得着这样的操作吗？还不如直接给学生写三个 乘积是12的乘法算式好了，让学生看着这一乘法算式来理

4、解倍数和因数。我认小学数学教 材的整合与拓展-因数与倍数一、对新教材的一些编排特点认识：新教材板块多，注重培养和发展学生多方面的能力，但因为板块多而带来的知识点零碎， 也确实削弱了学生的计算等基本技能训练。教材的编排分散了学生学习的难点，把各个知识 点分布在各个年级进行教学，渗透，让教师们普遍有新教材碎、零散的感觉。每册教材安排 的单元多，涉及面广，有的容量大，但也有个别单元只有2、3课时，学生刚刚学了一些知 识，还没深入进去，又要出来再学习另一个单元。到下一次再学到这个内容，有的学生已经 淡忘，每次学起需要教师花费除计划课时之外的一定时间对过去内容进行复习，这对知识的 系统性、完整性，似乎有

5、些欠缺。对于一些学习基础不太好的学生学习起来相对比较吃力， 如“统计和可能性”、“观察物体”、“认位置”等，在一、二、三、四年级中多次出现，但是 层次不够清楚明显，很多时候都是在同一个层面上知识的重复，建议将某些知识点合并重组 相对集中在某一个或两个年级教学，这样既节省了时间又有利于知识建构的系统性和完整 性。二、对“倍数和因数”单元教材编排的一些想法（一）“倍数和因数”这一内容原来是四年级的教学内容，现在新教材将其放入五年级 上学期进行教学，从内容呈现形式和知识点的难度的把握，都以原先的基础上作出相应的调 整。我感到这样的调整将原有重要给删了（如合数的分解质因数、互质数等），将基础的内 容难

6、度降低，将一些技能只停留在低级状态（如找最大公因数和最小公倍数）。第一、片面的看待操作。“认识倍数和因数”不是从原先整除概念入手，利用整除认识 倍数和因数。而现在通过学生的操作，利用整数乘法认识倍数和因数。我觉得这样的改变只 是形式上的花哨，并没有实质的意义，从教材来看，学生是通过铺长方形列出了三个乘法算 式，从这三个乘法算式中，认识了倍数和因数。我觉得本课的教学目标是让学生自主的探究 倍数和因数，而这一探究是建立在三个乘法算式上的。让我们看看教材吧，先学生铺长方形， 其是学生对用12个小正方形铺长方形是很熟悉的。还用得着这样的操作吗？还不如直接给 学生写三个乘积是12的乘法算式好了，让学生看

7、着这一乘法算式来理解倍数和因数。我认 时，早已将这些重要概念给忘了，这时就需教师给学生大“补”啦！帮助学生回忆起以前的 内容来，花了时间又花了精力，不值。三、需补充的知识点：1、整除的概念。长期以来，作为数论的基础性知识，“因数与 倍数”一直是小学数学教材中的重要内容。人们一直把数学誉为“科学的皇后”，而把数论 称作“数学的皇后”，可见其在数学中的地位。因此，在小学阶段学习“因数和倍数”这一 数论初步知识，不仅为分数运算和其他后续知识提供必要的工具，更重要的是让学生经历“数 学地思维”的过程，提高抽象思维能力。2、分解质因数 分解质因数在中小学数学知识体 系中的地位问题 目前，各套实验教材都没

8、有将分解质因数作为正式教学内容，相应地，求 两个数的最大公因数、最小公倍数也就不以分解质因数为基础，但是，各套教材又都根据标 准的要求编排了质数和合数的认识。从概念间的前后联系看，要学习分解质因数，首先要 了解质数和合数的概念，而认识质数和合数，其直接目的也是为了分解质因数。如果不教学 分解质因数，在教材中安排质数、合数的认识，意义何在？难道仅仅是为了对这两个概念有 所了解？保留质数、合数而删去分解质因数，显然是忽略了它们之间的逻辑联系。事实上，即使不考虑分解质因数在数论中的重要作用，而仅仅考虑其在中小学数学中的 实用性，分解质因数对于分数运算乃至因式运算的作用也是非常显著的。分解质因数的直

9、接目标是为求最大公因数和最小公倍数提供方法，而求最大公因数和最小公倍数的直接目标 又是为分数运算提供方法并使运算简便快捷。不仅如此，小学数学中利用分解质因数进行分数运算的原理和方法还可以直接推广到中 学数学中的分式计算，其基本方法也是把分式中的分母先进行因式分解，再取它们的最小公 倍式作为公分母，如果公分母取的不是最小公倍式而是其他公倍式，其计算程度的复杂将会 大大增加。除此之外，分解质因数的技能和原理在中学数学中的其他相关内容中也有着直接或间接 的应用。例如，整式的因式分解是把一个多项式分解成若干单项式的乘积，并且这些单项式 不可再分解，其原理类似于整数的分解质因数。而因式分解又是解决多次方

10、程的基础，如要 解决x2-2x-3=0，最为一般的方法就是利用因式分解法将其转化成（x+1）（x-3）=0。从这个 意义上讲，分解质因数的原理对后续学习的影响非常深远。 由此可见，在小学阶段编排 因数和倍数的有关内容，其直接的功能是为分数运算提供必要的工具，但更重要的是，它提 供了一种基本的数学思想和方法，为学生的后续学习奠定了坚实的基础。如果我们认识不到 某一知识在整个数学知识网络中的地位，或者只看到其在小学阶段知识链中的位置，将是十 分遗憾的。就像数学知识结构中概念之间的环环相扣一样，对学生数学知识、能力、思维等 各方面的培养也是环环相扣，一旦其中一环脱节，学生数学发展的链条将会断裂。短除

11、法 对求最大公因数最小公倍数的作用五年级教材中，对用短除法求两数的最大公因数和最小 公倍数没有作全体要求，只要学生了解即可，然而，我觉得在教学中有必要对此进行学习， 并多次练习加以巩固。首先，学生在用列举法找两个数的公因数或公倍数时，容易遗漏，所 写的数也比较多，书写麻烦。这对于学生找最大公因数和最小公倍数不利。其次，教材中要 求学生掌握的方法具有明显的局限性，遇到大的数怎么办？所以，我也讲解了短除法一一把 对短除法的教学要求从了解提高到人人掌握的程度。求最大公因数时已经介绍短除法，这节 课要求人人掌握。补充内容选自老教材数学第十册。学生掌握了短除法，找两个数的最大公 因数和最小公倍数的正确率

12、明显提高一一很欣慰我的补充是正确的，审视课堂，也没发现给 学生增加什么负担，学生完全可以接受。互质数的一些知识。(1)1和任意一个自然数都是互质数。(2)两个相邻的自然数是 互质数。(3)两个不相同的质数也是互质数。(4)其它的情况就要我们进行一些必要的计算 来判断了。 最大公因数最小公倍数书写方法 所以，针对以上的教材内容的理解，我就将 教学内容作了一些改动探索之一：从线性呈现走向板块探究“学习素材要为学生留有足够 的探索和交流的空间，以有利于改变学生的学习方式。问题的设置要具有启发性，问题的呈 现要有利于展开观察、实验、操作、推理交流等活动。”为了使绝大多数学生能较好地掌握 知识，大面积地

13、提高教学质量，现行教材将每个知识点分得较细，采用线性呈现、逐步引领 的方式进行编排。但我们认为这样的设置没能给学生留下足够的探索空间，对“你给我多大 空间，我就有多大发展”的孩子而言，限定了他们知识构建的顺序及规律发现的独特性，给 他们的学习划定了方向、限制了范围，不利于他们的数学思维向深度和个性化发展。教材 最大公因数的例题编排，就是典型的线性呈现方式。对于这一内容，我们在认真研究了 教材后，作了如下的板块设计：出示3、4、6、15、30五个数。你能很快写出这五个数的因数吗？从上面这些数的因数中你能理解什么是公因数和最大公因数吗？用自己的话试着向 同桌说一说你的理解，并举例说明。在上面五个数

14、中任意找两个数(多找几对)，写出它们的最大公因数，你能发现一些 什么规律？与你的同桌交流一下，并举例验证你的发现是不是正确。我的发 现：只有公因数1的两个数叫做互质数，你能举出一些例子来证明哪两种数一定互质吗？ (四人小组合作，讨论后汇报结果)我们设想用3、4、6、15、30这五个数因数及它们因数的关系来涵括本节课所有的内容， 让孩子自己去发现当两个数成倍数、互质、一般关系时怎样寻找它们的最大公因数。或许这 样的设想并不能使每一个孩子都能最终获得成功，我们看到课堂上有的孩子还需要与同学进 行“资源共享”才能掌握这些知识。但至少这给了他们自主探究的时空，孩子们在不断地猜 想、验证、顿悟、交流中，

15、探索能力得到增强，个性与创新思维也得以伸展。探索之二： 从事先预设走向动态生成出题，让学生动态生成 如学习了 100以内的质数表后，对学生最 容易认为是质数的87、91、51、57让学生分析这几个数能被那些数整除，给以“假冒伪劣” 质数，要求学生记住87=()乘()，学习了最大公因数时，让学生出题，你认为你出的 题能考到大家的就成功了，学生出了(26, 39)(91，39)等等，再学习了约分后，让学生 自己出题，认为最容易错的约分题，学生不自觉地出到了 39分之26等等。有意识地强化 最容易错的题。找出分子和分母的最大公因数 9126()6851()8154()8016()4832()9672

16、 ()7839()7657()8551()4914()5612()9128()5134 ()7535()7042()9557()9126()6851()7657()5134 ()9128()8551()9052 ()探索之三：从被动记忆走向体验过程 如找质数书中安排了 “下面是1 U 100的数， （1）划掉1，（划掉除2以外2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身 不划掉）。” 一题，让学生按照要求划数，并观察“剩下的都是什么数？ ”，这一定程度地体 现出了寻找质数的方法。但划数这一行为不是学生经过思考后的自主行为，只是按题目要求 去做，在整个过程中学生的意识与思维并没有真

17、正参与进去，因此他们划数的行为是盲目的、 随意的，并不能真正达到编者所预想的目的。基于以上认识，我们作了大胆拓展：大你能找出下面1100这100个数中所有的质数吗？（每人发一张练习纸，将这100 个数每10个数一行，排成10行）你准备怎样去找呢？自己先动手试一试。大你发现怎样能较快地找出100以内的所有质数？（四人小组商讨一下，将你们商量的 结果向大家汇报一下，在实物投影上演示方法。）大从刚才寻找质数的过程以及这张100以内的质数表中，你有些什么想法或发现呢？将 你的想法或发现写下来，好吗？我的想法与发现：。每一个孩子都体验了寻找质数的过程。在教学中我们发现有的孩子会一个个去寻找质 数；也有的

18、孩子在寻找了几个后发现了规律，用排除合数的方法迅速寻找；当然也有一些孩 子一开始也有“斗大的馒头无从下手”之感，但经过小组内的商讨，也逐渐理解了方法，有 了较为明确的想法。而且在学生探索的过程中我还向他们介绍了古希腊学者埃拉托斯特尼的 “筛法”，并鼓励他们：“你们现在经历的正是以前数学家们经历过的事，虽然方法一时不能 发现，但不要灰心，再动动脑子，你就能走向成功。”这样的话语鼓起了学生进行数学探究 的决心与信心。很难想象如果不经历这样一个过程，孩子们能体会到这些，能对100以内的 质数表有这样深刻的理解。探索之四：从繁琐局限走向整合开放 第一单元倍数因数中没 有学习最大公因数和最小公倍数，而在而在学习第二单元图形的面积，第三单元分数以后再 学习找最大公因数和最小公倍数，学生对有关倍数知识在很长时间后又要重新回忆，所以 我将最大公因数最小公倍数的知识提前到第一单元教学，这样做，有利于学生对知识系统的 掌握，也可以进行这些知识的充分训