2-货币时间价值

1、货币时间价值计算模型第二章证券价值评估利率决定因素Excel时间价值函数学习目的理解货币时间价值的基本含义 熟悉货币时间价值的表示方法 掌握货币时间价值的计算和利率的构成 了解利率的期限结构 熟悉利用Excel计算货币时间价值的财务函数第一节 货币时间价值计算模型基本概念及符号一终值和现值的计算 二利率与计息期数的计算三一、基本概念及符号（一）时间轴货币时间价值工具 顾名思义，时间轴就是能够表示各个时间点的数轴。如果不同时间点上发生的现金流量不能够直接进行比较，那么在比较现金数量的时候，就必须同时强调现金发生的时点。如图2-1所示，时间轴上的各个数字代表的就是各个不同的时点，一般用字母t表示。

2、0132现在第1年末或第2年初时点：现金流：发生时间：-100-150+50+200第2年末或第3年初第3年末或第4年初图2-1 货币时间价值时间轴需要注意两点：（1）除0点以外，每个时点数字代表的都是两个含义，即当期的期末和下一期的期初，如时点t=1就表示第1期的期末和第2期的期初。（2）现金流数字前面的正负号表示的是现金流入还是现金流出，其中正号表示的数值是从公司外部流入到公司内部的现金，如收回的销售收入、固定资产的残值收入等，而负号表示的数值则是指从公司内部流入到外部的现金，如初始投资或其他现金投资等。 为简化，本书中以后的现金流都做如下假设，即现金流入量均发生在每期期末，现金流流出量均

3、发生在每期期初。除非特别说明，决策所处的时点均为时点t=0，即“现在”。（二）单利和复利 单利和复利是两种不同的利息计算体系。 在单利（simple interest）情况下，只有本金计算利息，利息不计算利息； 在复利（compound interest）情况下，除本金计算利息之外，每经过一个计息期所得到的利息也要计算利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。 （三）现值和终值 现值即现在（t=0）的价值，是一个或多个发生在未来的现金流相当于现在时刻的价值，用PV（Present value的简写）表示。终值即未来值（如t=n时的价值），是一个或多个现在发生或未来发生的现金流相当于未来时刻的价值，用FV

4、（Future value的简写）表示。 （四）单一支付款项和系列支付款项 单一支付款项是指在某一特定时间内只发生一次的简单现金流量，如投资于到期一次偿还本息的公司债券就是单一支付款项的问题。 系列支付款项是指在n期内多次发生现金流入或现金流出。 年金是系列支付款项的特殊形式，是在一定时期内每隔相同时间（如一年）发生相同金额的现金流量。 年金（用A表示，即Annuity的简写）可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等形式。 1.普通年金 普通年金又称为后付年金，是指一定时期内，每期期末发生的等额现金流量。例如从投资的每年支付一次利息、到期一次还本的公司债券中每年得到的利息就是普通年金的

5、形式。普通年金，既可以求现值，也可以求终值。 2.预付年金 预付年金又称为先付年金，是指一定时期内，每期期初发生的等额现金流量。例如对租入的设备，如果要求每年年初支付相等的租金额，那么该租金就属于预付年金的形式。与普通年金相同，预付年金也既可以求现值，也可以求终值。 3.递延年金 递延年金又成为延期年金，是指第一次现金流量发生在第2期、或第3期、或第4期的等额现金流量。一般情况下，假设递延年金也是发生在每期期末的年金，因此，递延年金也可以简单地归纳为：第一笔现金流量不是发生在第1期的普通年金，都属于递延年金。对于递延年金，既可以求现值，也可以求终值。 4.永续年金 永续年金是指无限期支付的年金

6、，即永续年金的支付期n趋近于无穷大。由于永续年金没有终止的时间，因此只能计算现值，不能计算终值 二、终值和现值的计算(一)单一支付款项的终值和现值 单一支付款项的终值和现值一般简称为复利终值和复利现值。 （1）复利终值（已知现值PV，求终值FV）复利终值是指一项现金流量按复利计算的一段时期后的价值，其计算公式为：其中，（1+r）n通常称为“复利终值系数”，记作（F/P，r，n），可直接查阅书后的附表“复利终值系数表”。利率或折现率例21假设某公司向银行借款100万元，年利率为10%，借款期为5年，那么5年后该公司应向银行偿还的本利和是多少？ FV=PV（1+r）n=100（1+10%）5=10

7、0（F/P，10%，5） =1001.6105=161.05（万元）（2）复利现值（已知终值FV，求现值PV） 计算现值的过程通常称为折现，是指将未来预期发生的现金流量按折现率调整为现在的现金流量的过程。对于单一支付款项来说，现值和终值是互为逆运算的。现值的计算公式为 ：其中，（1+r）-n通常称为“复利现值系数”，记作（P/F，r，n），可直接查阅书后的附表“复利现值系数表”。例22假设某投资项目预计5年后可获得收益800万元，按年折现率12%计算，问这笔收益的现在价值是多少？ PV=FV（1+r）-n=800（1+12%）-5=800（P/F，12%，5） =8000.5674=453.9

8、2（万元）（二）系列支付款项的终值和现值 由于系列支付款项可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等形式，因此计算终值和现值时要区别对待。 1.普通年金终值（已知普通年金A，求终值FV） 普通年金又称为后付年金，是指一定时期内，每期期末发生的等额现金流量。年金终值犹如零存整取的本利和，它是一定时期内每期期末现金流量的复利终值之和。 设每年的支付金额为A，利率为r，期数为n，则普通年金终值的计算公式为： 式中方括号中的数值，通常称作“年金终值系数”，记作(F/A，r，n )，可以直接查阅书后的附表“年金终值系数表”。例23假设某项目在3年建设期内每年年末向银行借款100万元，借款年利率为1

9、0%，问项目竣工（即第3年年末）时应该支付给银行的本利和总额是多少? 在实际工作中，公司可根据要求在贷款期内建立偿债基金，以保证在期满时有足够的现金偿还贷款的本金或兑现债券。此时的债务实际上等于年金终值FV，每年提取的偿债基金等于分次付款的年金A。也可以说，年偿债基金的计算实际上是年金终值的逆运算。其计算公式为： 式中方括号中的数值称作“偿债基金系数”，记作(A/F，r，n)，可通过年金终值系数的倒数推算出来。例24假设某公司有一笔4年后到期的借款，数额为1000万元，为此设置偿债基金，年利率为10%，到期一次还清借款，问每年年末应存入的金额是多少?2.普通年金现值（已知普通年金A，求现值PV

10、） 普通年金现值是指一定时期内每期期末现金流量的现值之和。年金现值计算的一般公式为： 式中方括号内的数值称作“年金现值系数”，记作(P/A，r，n)，可直接查阅书后的附表“年金现值系数表”。 也可以写作： 例25假设公司租入A设备，租期3年，要求每年年末支付租金100元，在年折现率为10%的情况下，该公司3年中租金的现值是多少？ 年金现值的逆运算是年资本回收额的计算。资本回收额是指在给定的年限内等额回收或清偿初始投入的资本或所欠的债务，年资本回收额的计算公式为： 式中方括号内的数值称作“资本回收系数”，记作(A/P，r，n)，可利用年金现值系数的倒数求得。例26假设某公司现在借到1 000万元

11、的贷款，要按年利率12%在10年内均匀偿还，那么该公司每年应支付的金额是多少?3.预付年金终值（已知预付年金A，求预付年金终值FV） 预付年金与普通年金的差别仅在于现金流量的发生时间不同。由于年金终值系数表和年金现值系数表是按常见的普通年金编制的，在利用这种普通年金系数表计算预付年金的终值和现值时，可在计算普通年金的基础上加以适当的调整。 预付年金终值的一般计算公式为：也可以写成 4.预付年金现值（已知预付年金A，求预付年金现值PV） 预付年金的现值可以在普通年金现值的基础上加以调整，其计算公式为：也可以写成：5.递延年金终值（已知递延年金A，求递延年金终值FV） 递延年金的第一次现金流量并不

12、是发生在第一期的，但如果将发生递延年金的第一期设为时点1，则用时间轴表示的递延年金与普通年金完全相同，因此递延年金终值的计算方法与普通年金终值的计算基本相同，只是发生的期间n是发生递延年金的实际期限。6.递延年金现值（已知递延年金A，求递延年金现值PV） 递延年金现值的计算有两种方法： 分段法，其基本思路是将递延年金分段计算。先求出正常发生普通年金期间的递延期末的现值，然后再将该现值按单一支付款项的复利现值计算方法，折算为第一期期初的现值。假设递延期为m(mn)，即先求出m期后的(n-m)期普通年金现值，然后再将此现值折算到第一期初的现值。其计算公式为： 扣除法，其基本思路是假定递延期中也进行

13、收付，先将递延年金视为正常的普通年金，计算普通年金现值，然后再扣除递延期内未发生的普通年金，其结果即为递延年金的现值。其计算公式为：例27假设某公司打算在年初存入一笔资金，从第4年起每年年末取出100元，至第9年年末取完，在年利率为10%的情况下，问该公司最初一次应该存入多少钱?7.永续年金现值（已知永续年金A，求永续年金现值PV）永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式推导得出。 当n时，(1+r)-n的极限为零，故上式可写成： 例28假设某公司拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000元奖金资助某大学学生。如果利率为10%，那么公司现在应该存入多少钱?8.增长型永续年金现值（已知

14、第0期现金流量C0，每年增长率为g，求现值PV） 增长型永续年金是指无限期支付的，但每年呈固定比率增长的各期现金流量。它与永续年金的区别在于，永续年金每期发生的金额都是固定的；而增长型永续年金的各期现金流量是以固定比率每期增长的。 设C0为第0期的现金流量，g表示现金流量每年预计增长率，则第1n期及以后的增长型永续年金发生额分别为：C1=C0（1+g）、C2=C0 (1+g)2、C3=C0 (1+g)3 Cn =C0 (1+g)n，其现值计算公式可表示为： 当增长率g折现率r时，该增长型永续年金现值可简化为： 三、利率与计算期数的计算 影响现金流量时间价值的因素有四个：现值、终值、利率（折现率

15、）和计息期数，只要知道了其中任意三个因素就可求出第四个因素。在以上计算中都是假定利率（折现率）、计息期数、现值（或终值）是已知的，求解终值（或现值）。但在某些情况下，也可以根据计息期数、终值或现值求解利率（折现率），或根据利率（折现率）、终值或现值求解计息期数。 （一）利率r的计算 计算利率r时，可以首先列出终值或现值的计算公式，然后通过求解方程式的方法将未知数r求出来。首先根据已知的条件计算出终值或现值的换算系数： 插值法 Excel财务函数例29假设你现在在银行存入10 000元，问折现率为多少才能保证在以后的10年中每年年末都能够从银行取出2 000元？从年金现值表中可以看出，在n=10

16、的各系数中，r=14%时，系数是5.216；r=16%时，系数是4.833，可见利率应在14%16%之间。设X为超过14%的百分数，则可用插值法计算X值如下： （二）计息期数n的计算 在已知终值、现值、利率的情况下，即可求出计息期数，其基本方法同利率（折现率）的确定方法相同。在实务中通常是利用Excel软件进行计算。 第二节 利率决定因素利率报价与调整一利率构成 二利率的期限结构三一、利率报价与调整 在实务中，金融机构提供的利率报价为名义的年利率，通常记作APR（Annual Percentage Rate）。 通常将以年为基础计算的利率称为名义年利率APR，将名义年利率按不同计息期调整后的利

17、率称为有效利率EAR（Effective Annual Rate）。 设1年复利次数为m次，名义年利率APR为rnom，则有效利率EAR的调整公式为：频率mrnom/mEAR按年计算16.000%6.00%按半年计算23.000%6.09%按季计算41.500%6.14%按月计算120.500%6.17%按周计算520.115%6.18%按日计算3650.016%6.18%连续计算06.18%以APR为6%为例，不同复利次数的EAR如表2-1所示。表2-1 不同复利次数的EAR 上表表明，如果每年复利一次，APR和EAR相等；随着复利次数的增加，EAR逐渐趋于一个定值。从理论上说，复利次数可以

18、为无限大的值，当复利间隔趋于零时即为连续复利(continuous compounding)，此时： 例210假设你刚刚从银行取得了250 000元的房屋抵押贷款，年利率12%，贷款期为30年。银行给你提供了两种还款建议：（1）在未来30年内按年利率12%等额偿还；（2）在未来30年内按月利率1%等额偿还。（1）如果按年偿还，则每年偿还额（P/A，12%，30）=250 000=PV， ，即每年偿还额为31 037元（250 0008.055）。（2）如果按月偿还，月利率为1%，共有360个月（3012），则每月偿还额（P/A，1%，360）=250 000元=PV， ，即每月偿还 额为2 5

19、72元（250 000/97.218）。第（2）种偿还方式可使每年偿还额降低173元（31 037122 572）。如果选择按月支付1%，那么有效利率不是12%，而是12.68%，每年的利息支出高出了0.68个百分点。二、利率构成 一般情况下，利率由以下三大主要因素构成，即真实无风险利率RRFR（Real Risk-Free Rate）、预期通货膨胀率I（Inflation）及风险溢价RP（Risk Premium）。用公式可以表示为： 利率r=真实无风险利率+预期通货膨胀率+风险溢价 利率r=基准利率+风险溢价 （一）真实无风险利率与名义无风险利率 真实无风险利率是指无通货膨胀、无风险时的均

20、衡利率，即货币的时间价值，反映了投资者延期消费要求的补偿。 名义无风险利率(nominal risk-free rate, NRFR) 是指无违约风险、无再投资风险的收益率，在实务中，名义无风险利率就是与所分析的现金流量期限相同的零息政府债券利率。 名义无风险利率=（1+真实无风险利率）（1+预期通货膨胀率）1 根据上式，一项投资的真实无风险利率如下：（二）风险溢价 基准利率与有效利率之间的利差不是由经济因素造成的，而是由产生不同风险溢价的不同资产的基本特征引起的。以债券为例，风险溢价可从五个方面进行分析：债券信用质量、债券流动性、债券到期期限、契约条款和外国债券特别风险。在这五个因素中，债券

21、信用质量和到期期限对公司债券风险溢价的影响最大。（1）债券信用质量 （2）流动性风险 （3）期限风险 （4）税收和债券契约条款 （5）外国债券特别风险三、利率期限结构 不同期限债券与利率之间的关系，称为利率的期限结构(the term structure of interest rate)。在市场均衡情况下，借款者的利率与贷款者的收益率是一致的，因此，利率的期限结构也可以说是收益率的期限结构。三、利率期限结构（一）即期利率 假设有一笔在时点1支付1元钱的简单贷款，则这笔贷款的现值为： 这里是用一个对于1年期贷款的适当利率水平r1来对现金流进行折现，这一利率通常被称为当前的1年期即期利率（spo

22、t rate）。使用即期利率表示，可以假设有一笔贷款，要求必须在时点1和时点2分别支付1美元，则其现值应为： 即第1个期间的现金流是用当前的1年期即期利率折现，而第2个期间的现金流要用当前的2年期即期利率折现。一系列的即期利率r1、r2等正是利率期限结构（term structure）的一种表示方法。三、利率期限结构（一）即期利率 给定期限的零息债券（zero coupon bond）的收益率就是该期限内的即期利率。由于一种期限的即期利率是单一的，即期利率可以准确地反映货币的时间价值。在任何一个时点，资本需求和资本供给共同决定了每个期限的即期利率，这个即期利率可以用来为各种未来现金流量定价。

23、理解这一问题的方法是把附息债券（国库券）看做一组零息债券的组合，各期收到的利息就是到期价值与所付价值间的差额。 三、利率期限结构例如，面值为1 000元、息票率为5%、5年期的附息国库券，可以看成5张零息债券：第一张的到期价值为50元，1年后到期；第二张的到期价值为50元，2年后到期最后一张的到期价值为1 050元，5年后到期。显然，对于每种有息债券，它的价值等于其组成的零息债券的价值之和。假设有一张不能提前赎回的2年期债券，面值1 000元，息票率为5%，目前市场报价为914.06元，则债券的现值可写为：假设r1=8%，则2年期零息债券的利率为： 即期利率或零息债券收益率为10%，高于第1期

24、的即期利率。（二）远期利率 即期利率适用于贷款等现在投资而在以后偿还的债务合约，而远期利率则是现在签订合约在未来借贷一定期限资金时使用的利率。 即期利率与远期利率之间的关系如下式所示： 其中：fn 表示n年后的远期利率；rn 表示n年的即期利率；rn-1表示n-1年的即期利率。 假设投资者面临两种可选择的投资策略：（1）投资于一张面值为100元、年利率（折现率）为10%的2年期零息债券；（2）投资于一张面值为100元、年利率为8%的1年期债券，同时签订一个远期合约，以远期利率f1在1年后再投资于一张1年期的零息债券。 对于第（1）种选择，面值为100元的两年期零息债券的现值为82.64元，也就

25、是说，将82.64元投资2年，每年利率为10%，2年后可得到100元。事实上，一个2年期债券的支付可以看成是以两个潜在的不同利率投资2年的结果。这样，在第（2）种选择中，开始投入的82.64元在第1年年末为82.64（1+r1），在第2年年末为82.64（1+r1）（1+f2）。如果第1年的利率为8%，2年后的投资所得是100元，则远期利率f2：即期利率与远期利率的关系可用下式描述： 即期利率是远期利率的几何平均数，而远期利率可以看成是未来某一段时期借款或贷款的边际成本。利率的期限结构可根据收益率曲线进行分析，图2-2描绘了四种假设国库券收益率曲线的形状。 图2-2 国库券收益率曲线图第三节

26、Excel时间价值函数Excel时间价值函数的基本模型一现值、终值及其它变量计算举例 二混合现金流的现值与折现率三一、Excel时间价值函数基本模型Excel电子表格程序输入公式 求解变量输入函数计算终值：FV = FV(Rate,Nper,Pmt,PV,Type)计算现值：PV= PV(Rate, Nper, Pmt, FV, Type)计算每期等额现金流量：PMT= PMT (Rate,Nper,PV,FV,Type)计算期数：n= NPER(Rate, Pmt, PV, FV, Type)计算利率或折现率：r= RATE（Nper, Pmt, PV, FV, Type） 如果现金流量发生

27、在每期期末，则“type”项为0或忽略； 如果现金流量发生在每期期初，则“type”项为1。 利用Excel计算终值和现值应注意的问题： 1.现金流量的符号问题，在FV，PV和PMT三个变量中，其中总有一个数值为零，因此在每一组现金流量中，总有两个异号的现金流量。 2.如果某一变量值为零，输入“0”或省略。 【 例】计算一个等额现金流量为4 000元，计息期为6年，利率为7%的年金终值。 3. 如果某一变量值（在输入公式两个变量之间）为零，也可以“，”代替。 【 例】假设你持有现金1 200元，拟进行一项收益率为8%的投资，问经过多少年可使资本增加一倍? 4.在使用函数时，函数名与其后的括号“

28、（”之间不能有空格；当有多个参数时，参数之间要用逗号“，”分隔；参数可以是数值、文本、逻辑值、单元格地址或单元格区域地址，也可以是各种表达式或函数；函数中的逗号、引号等都是半角字符，而不是全角字符。 5.对表输入公式不熟悉，可在Microsoft Excel电子表格中，点击菜单栏中的“fx”项，在“粘贴变量”对话框中点击“财务”，在 “变量名”中点击需要计算的变量，点击“确定”后，即可根据对话框中的提示进行操作，求解变量值。二、现值、终值及其他变量计算举例RateNperPMTFVTypePVExcel函数公式已知0.1250-8000求PV453.94=PV(0.12,5,0,-800,0)

29、表2-3 复利现值计算举例 假设某投资项目预计5年后可获得收益800万元，按年折现率12%计算，问这笔收益的现在价值是多少？采用Excel财务函数计算如下： RateNperPMTPVTypeFVExcel函数公式已知0.13-10000求FV331=FV(0.1,3,-100,0,0) 假设某项目在3年建设期内每年年末向银行借款100万元，借款年利率为10%， 问项目竣工（即第3年年末）时应该支付给银行的本利和总额是多少? 采用Excel财务函数计算如下： ： 表2-4 年金终值计算举例 NperPMTPVFVTypeRateExcel函数公式已知102000-10 00000求Rate15

30、.1%=RATE(10,2000,-10000,0,0) 假设你现在向银行存入10 000元钱，问折现率为多少时，才能保证在以后的10 年中每年年末都能够从银行取出2 000元？采用Excel财务函数计算如下： 表2-5 利息率计算举例三、混合现金流量的现值与折现率 Excel财务函数NPV 功能：基于一系列现金流和固定的各期贴现率，返回一项投资的净现值。 输入方式：NPV（Rate，Value1， Value2，）【例2-14】假设某投资项目在未来4年的年末分别产生90元、100元、110元、80元确定的现金流量，初始投资300元，折现率为8%，计算该项目的净现值。 Value1,Value

31、2, 所属各期的长度必须相等，且现金流均发生在期末在计算净现值时，应将项目未来现金流量用NPV函数求出的现值再减去该项目的初始投资的现值 RateValue1Value2Value3Value4NPVExcel函数公式已知0.089010011080求NPV15.19=NPV(0.08，90，100，110，80)300 Excel财务函数IRR 功能：返回由数值代表的一组现金流量的内部收益率。 输入方式：IRR（Values，Guess）【例2-15】假设某公司支付200万元购买一台设备，预计使用5年。设备投入使用后每年预计现金净流量分别为30、50、60、80、60万元。计算该项目的投资内

32、部收益率。 这些现金流量不一定必须是均衡的，但他们必须按固定的时间间隔发生。Value1Value2Value3Value4Value5Value6IRRExcel函数公式已知-2003050608060求IRR10.96%=IRR(B2：G2)本章小结 1时间轴就是能够表示各个时间点的数轴；单利和复利是两种不同的利息计算体系。在单利情况下，只有本金计算利息，利息不计算利息；而在复利情况下，除本金计算利息之外，每经过一个计息期所得到的利息也要计算利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。 2现值是一个或多个发生在未来的现金流相当于现在时刻的价值，用PV表示；终值是一个或多个现在发生或未来发生的现金流相当

33、于未来时刻的价值，用FV表示。 本章小结 3单一支付款项是指在某一特定时间内只发生一次的简单现金流量；系列支付款项是指在n期内多次发生现金流入或现金流出。年金是系列支付款项的特殊形式，是在一定时期内每隔相同时间（如一年）发生相同金额的现金流量。可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等形式。 4货币时间价值中最常用的是终值F和现值P的计算；但在某些情况下，也可以根据计息期数、终值或现值求解利率（折现率），或根据利率（折现率）、终值或现值求解计息期数。本章小结 6在实务中，金融机构提供的利率报价为名义的年利率，通常记作APR。如果年复利期数大于1，如每半年、每季度或每月复利一次，则按不同计

34、息期计算的现值或终值就会发生很大差别。通常将以年为基础计算的利率称为名义年利率APR，将名义年利率按不同计息期调整后的利率称为有效利率EAR。 5金融机构提供的利率报价有可能和我们使用的利率有不同的时间间隔，如按月、半年计息等，所以有必要对利率进行调整，以使其与现金流量发生的时期相匹配。 本章小结 8不同期限债券与利率之间的关系，称为利率的期限结构。在市场均衡情况下，借款者的利率与贷款者的收益率是一致的，因此，利率的期限结构也可以说是收益率的期限结构。利率的期限结构可根据收益率曲线进行分析。 7一般情况下，利率由以下三大主要因素构成，即真实无风险利率RRFR、预期通货膨胀率I及风险溢价RP。以债券为例，风险溢价可分解为五个方面：债券信用质量、债券流动性、债券到期期限、契约条款和外国债券特别风险。本章小结 10在变量输入过程中，需要注意以下五个问题：第一，现金流量的符号问题；第二，如果某一变量值为零，可直接输入“0”或省略；第三，如果某一变量值（在输入公式两个变量之间）为零，也可以“，”代替；第四，在使用函数时，变量的输入格式问题；第五，可以使用Microsoft Excel电子表格中财务函数的“变量名”帮助求解变量值。 9Excel电子表格程序通常包含五个变量：PV、FV、PMT（A）、RATE(r)