大数定律及中心极限定理讲义

1、第五章大数定律及中心极限定理内容介绍本章讨论概率论与数理统计的重要理论：大数定律及中心极限定理。内容讲解切比雪夫不等式.切比雪夫不等式定理：设随机变量的期望（）及方差（）存在，则对任意小正数有PX-E（X）到三，或尸1|X丁（幻K以之1.因为事件（1一纵片）色与事件（IX-矶是对立事件，所以户一回七|证明：先设是离散型随机变量，分布律为，则有kk用工-国士|之0=E式&=魂=pk|-3（不|虱了、心|双_总（丫）|三因为一所以，上式式。一.，=3矶加户网再设是连续型随机变量，概率密度为（），则有网X-以幻|之=内心g三T回y3*,同理可得另一个不等式.切比雪夫不等式的意义：估计落入区间（）W,

2、（）的概率，当很小时此区间也很小，若（）也很小时，几乎不会落到此区间的外部，所以有第一个不等式；反之，有第二个不等式.例题1.P117【例一】设是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定2.实际计算网匡一总（幻|之目，并验证切比雪夫不等式成立。【答疑编号1205】0101例题2.P117【例52】设电站供电网有100盏0灯0，夜晚每一盏灯开灯的概率都是或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在，7而假定所有电灯开2的0概，7而假定所有电灯开2的0概0率。5.2大数定律本节从理论高度解决通过试验得到的频率随试验次数增大逐渐稳定于概率等问题.1贝.努利大数定律（）定理：设是次独立重复试验

3、中事件发生的次数，是事件的概率，则对于任意正数e，有证明：由已知，（），所以，（），（），其中1而E（%）=工职就=Lp=p,盟西殷L九手写板图本050LL4由切比雪夫不等式，对任意正数L九手写板图本050LL4由切比雪夫不等式，对任意正数0有/.、当n-8时，上式右端的极限值为，而左端的概率不超过，所以（2）解释：此定理从理论上说明了“概率是频率的稳定值”.m贝努利大数定律表明，当n充分大时，”事件发生的频率咫与概率的绝对偏差小于任意给定的正数8”这一事件的概率可以任意接近于，即当充分大时“频率与概率的绝对偏差小于任意给定的正数8”几乎必然发生。这正是“概率是频率稳定值”的确切的含义。2独.

4、立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律（）定理：设2，n是独立同分布随机变量序列，（）|J,）均存在，则对于任意8有证明：由于，相互独立，则有口/AW再由切比雪夫不等式可得当n-8时，上式右端的极限值为，而左端的概率不超过，所以1再由切比雪夫不等式可得当n-8时，上式右端的极限值为，而左端的概率不超过，所以1i他%I入公内仁口三一囚*打=|定的稳定性，稳（2）解释：这个定理从理论上说明，随机变量序列的算术平均值在统计上具有定于期望附近.定的稳定性，稳3贝.努利大数定律是切比雪夫大数定律的特殊情况中心极限定理引言：论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。许多观察表明，如果大

5、量独立的偶然因素对总和的影响都是均匀的、微小的、彼此又是独立的，即其中没有哪一项起特别突出的作用，那么就可断定描述这些大量独立的偶然因素的总和的随机变量是近似服从正态分布的。9I如kf%a&夕彳破也喉从/二卜*j=Aj-c（4）=A喉中口弋A1独.立同分布随机变量序列的中心极限定理（）定理：设，是独立同分布随机变量序列，且具有相同数学期望和方差（）12niM,（）o2（=i，）均存在；再设随机变量=r.4旌3的分布函数为（），则对任意实数有nlim凡（工）=limF9jc=2e*就二工）raici-Jtdd,L?其中（）为标准正态分布函数.（2）两个结论定理说明，当充分大时，不论独立同分布随机

6、变量服从什么分布，其和近似服从正态分布;定理说明：当充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值例题1.P121【例53】对敌人的防御地段进行10次0射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.，5求在10次0射击中有18颗0到22颗0炮弹命中目标的概率。【答疑编号】0201【答疑编号:手写板图示0502-04微匕芋或酢1的月眸微匕芋或酢1的月眸1电,或才自总工底例题2.P121【例54】某种电器元件的寿命服从均值为10（0单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于192小0时的概率。【答疑编号1

7、205】0202一中心极限定理()定理：设随机变量是独立重复试验中事件发生的次数，是事件发生的概率，则对任意实数有其中，()为标准正态分布函数证明：定义随机变量序列10若第i次试验中事件A不发生1若第歌试疆中事件生则4=国，日且（），（），由上述定理知，iiE（Z）=n，pD（Z）=n，pqbbk=中)-中(2)两个结论：入N(p,r?pq)；当充分大时，近似地；豆M3%)当充分大时，祝近似地遑.例题3.P122【例55】用中心极限定理求解5.1例5-2的概率。【答疑编号120502】03例题4.P123【例56】设某单位内部有100台0电话分机，每台分机有5的%时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95以%上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？【答疑编号】0【答疑编号】0至此，概率论知识全部结束本章小结：一、内容切比雪夫不等式大数定律二1贝努利大数定律切比雪夫大至此，概率论知识全部结束本章小结：一