函数定义域值域求法十一种

1、高中函数定义域和值域的求法总结一、惯例型即给出函数的分析式的定义域求法，其解法是由分析式存心义列出对于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1求函数yx22x15|x3|8的定义域。解：要使函数存心义，则一定知足x22x150|x3|80由解得x3或x5。由解得x5或x11和求交集得x3且x11或x5。故所求函数的定义域为x|x3且x11x|x5。例2求函数ysinx1的定义域。16x2解：要使函数存心义，则一定知足sinx016x20由解得2kx2k，kZ由解得4x4由和求公共部分，得4x或0 x故函数的定义域为(4，(0，评注：和如何求公共部分？你会吗？二、抽象

2、函数型抽象函数是指没有给出分析式的函数，不可以惯例方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的分析式，一般有两种状况。（1）已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域。（2）其解法是：已知f(x)的定义域是a，b求fg(x)的定义域是解ag(x)b，即为所求的定义域。例3已知f(x)的定义域为2，2，求f(x21)的定义域。解：令2x212，得1x23，即0 x23，所以0|x|3，进而3x3，故函数的定义域是x|3x3。（2）已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(

3、x)的定义域。例4已知f(2x1)的定义域为1，2，求f(x)的定义域。解：由于1x2，22x4，32x15。即函数f(x)的定义域是x|3x5。三、逆向型即已知所给函数的定义域求分析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题往常是转变成恒建立问题来解决。例5已知函数ymx26mxm8的定义域为R务实数m的取值范围。剖析：函数的定义域为R，表示mx26mx8m0，使全部xR都建立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行议论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当m0时，mx26mxm80是二次不等式，其对一确实数x都建立的充要条件是m0(6m)24m(m8)00m1综上

4、可知0m1。评注：许多学生简单忽视m=0的状况，希望经过此例解决问题。例6已知函数f(x)kx7的定义域是R，务实数k的取值范围。4kxkx23解：要使函数存心义，则一定kx24kx30恒建立，由于f(x)的定义域为R，即kx24kx30无实数3当k0时，16k243k0恒建立，解得0k；当k=0时，方程左侧=30恒建立。4综上k的取值范围是0k3。4四、实质问题型这里函数的定义域除知足分析式外，还要注意问题的实质意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y对于一边长x的函数的分析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为1(a2x)于是

5、可得矩形面积。1(a1ax2yx2x)x222x21ax。2由问题的实质意义，知函数的定义域应知足x0 x01(a2x)0a2x020 xa。2x21ax，定义域为（0，a）。故所求函数的分析式为y22例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆构成的图形的面积，如图。由于CD=AB=2x，所以CDx，所以ADLABCDL2xx，x222故y2xL2xx22(2)x2Lx2依据实质问题的意义知2x0LL2xx0 x022故函数的分析式为y(2)x2Lx，定义域（

6、，L）。202五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，一定对分母分类议论。例9已知f(x)的定义域为0，1，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。解：由于f(x)的定义域为0，1，即0 x1。故函数F(x)的定义域为以下不等式组的解集：0 xa1，即ax1a0 xa1ax1a即两个区间a，1a与a，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当1a0Fx）的定义域为x|ax1a；2时，（1（2）当0ax1a；时，F（x）的定义域为x|a121（3）当a或a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不可以构成函数。22六、隐含型有些问题从表面上看其实不求定义域，可是不注意定义域，常常致使错

7、解，事实上定义域隐含在问题中，比如函数的单一区间是其定义域的子集。所以，求函数的单一区间，一定先求定义域。例10求函数ylog2(x22x3)的单一区间。解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为（1，3）。函数ylog2(x22x3)是由函数ylog2t，tx22x3复合而成的。tx22x3(x1)24，对称轴x=1，由二次函数的单一性，可知t在区间(，1上是增函数；在区间1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单一增；(1，3)(，1(1，1，(1，3)1，)1，3)，所以函数ylog2(x22x3)在区间(1，1上是增函数，在区间1，3)上是减函数。函数值域求

8、法十一种直接察看法对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。1y例1.求函数x的值域。10 x明显函数的值域是：(,0)(0,)例2.求函数y3x的值域。解：x0 x0,3x3故函数的值域是：,3配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数yx22x5,x1,2的值域。解：将函数配方得：y(x1)24x1,2由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin故函数的值域是：4，83.鉴别式法1xx2y1x2的值域。例4.求函数解：原函数化为对于x的一元二次方程(y1)x2(y1)x0（1）当y1时，xR(1)24(y1)(y1)013解得：2y213（2）当y=1时，x1,0，而22

9、3,故函数的值域为22例5.求函数yxx(2x)的值域。解：两边平方整理得：2x22(y1)xy2xR4(y1)28y04，当x1时，ymax8（1）解得：12y12但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0 x22x22(y1)xy20在实数集R有实根，由0，仅保证对于x的方程：而不可以保证其实根在区间0，2上，即不可以保证方程（1）有实根，由013,求出的范围可能比y的实质范围大，故不可以确立此函数的值域为22。能够采纳以下方法进一步确立原函数的值域。0 x2yxx(2x)0ymin0,y12代入方程（1）22242解得：x120,2x1222422时，即当原函数的值域为：0,12注：由鉴别

10、式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。反函数法直接求函数的值域困难时，能够经过求其原函数的定义域来确立原函数的值域。3x4例6.求函数5x6值域。x46y解：由原函数式可得：5y3则其反函数为：y46y，其定义域为：x35x35,3故所求函数的值域为：5函数有界性法直接求函数的值域困难时，能够利用已学过函数的有界性，反宾为主来确立函数的值域。ex1y1的值域。例7.求函数exexy1解：由原函数式可得：y1ex0y1y10解得：1y1故所求函数的值域为(1,1)cosx例8.求函数ysinx3的值域。解：由原函数式可得：ysinxcosx3

11、y，可化为：y21sinx(x)3ysinx(x)3yy21即xRsinx(x)1,113y1即y212y2解得：442,2故函数的值域为446.函数单一性法例9.求函数y2x5log3x1(2x10)的值域。解：令y12x5,y2log3x1则y1,y2在2，10上都是增函数所以yy1y2在2，10上是增函数当x=2时，ymin23log32118当x=10时，ymax25log39331,33故所求函数的值域为：8例10.求函数yx1x1的值域。2y解：原函数可化为：x1x1令y1x1,y2x1，明显y1,y2在1,上为无上界的增函数所以yy1，y2在1,上也为无上界的增函数22所以当x=

12、1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2明显y0，故原函数的值域为(0,2换元法经过简单的换元把一个函数变成简单函数，其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中相同发挥作用。例11.求函数yxx1的值域。解：令x1t，(t0)则xt21yt2t1(t1)2324又t0，由二次函数的性质可知当t0时，ymin1当t0时，y故函数的值域为1,)例12.求函数yx21(x1)2的值域。解：因1(x1)20即(x1)21故可令x1cos,0,ycos11cos2sincos12sin()140,05442)1sin(2402sin()1

13、124故所求函数的值域为0,12yx3x例13.求函数x42x21的值域。y12x1x2解：原函数可变形为：21x21x22xsin21x22可令xtg，则有1x2,x2cos1y1sin2cos21sin424k8时，ymax1当24k8时，ymin1当24而此时tan存心义。故所求函数的值域为1,144例14.求函数yx,的值域。(sinx1)(cosx1)，122解：y(sinx1)(cosx1)sinxcosxsinxcosx1令sinxcosxt，则sinxcosx1(t21)2y1(t21)t11(t1)222由tsinxcosx2sin(x/4)x,且1222t2可得：2ymax

14、32t232当t2时，2y42，当2时，32,32故所求函数的值域为422。例15.求函数yx45x2的值域。解：由5x20，可得|x|5故可令x5cos,0,y5cos45sin10sin()4405444当/4时，ymax410当时，ymin45故所求函数的值域为：45,410数形联合法其题型是函数分析式拥有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这种题目若运用数形联合法，常常会更为简单，了如指掌，心旷神怡。例16.求函数y(x2)2(x8)2的值域。解：原函数可化简得：y|x2|x8|上式能够当作数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB

15、上时，y|x2|x8|AB|10y|x2|x8|AB|10当点P在线段AB的延伸线或反向延伸线上时，故所求函数的值域为：10,例17.求函数yx26x13x24x5的值域。解：原函数可变形为：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可当作x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB|(32)2(21)243，故所求函数的值域为43,例18.求函数yx26x13x24x5的值域。解：将函数变形为：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可当作定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0

16、)的距离之差。即：y|AP|BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，依据三角形两边之差小于第三边，有|AP|BP|AB|(32)2(21)226即：26y26（2）当点P恰巧为直线AB与x轴的交点时，有|AP|BP|AB|26综上所述，可知函数的值域为：(26,26注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的双侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,1)，在x轴的同侧。不等式法利用基本不

17、等式ab2ab,abc33abc(a,b,cR)，求函数的最值，其题型特点分析式是和式时要求积为定值，分析式是积时要乞降为定值，可是有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19.求函数y(sinx1212sinx)(cosxcosx)4的值域。解：原函数变形为：y(sin2xcos2x)11sin2xcos2x1ces2xsec2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x25当且仅当tanxcotx即当xk4时(kz)，等号建立故原函数的值域为：5,)例20.求函数y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx4sin2xcosxy16sin4xcos2x8sin2xs

18、in2x(22sin2x)8(sin2xsin2x22sin2x)/33642722当且仅当sin2x22sin2x，即当sinx3时，等号建立。2648383由y27可得：y9983,83故原函数的值域为：99一一映照法axb原理：由于ycxd(c0)在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就能够求另一个变量范围。3x例21.求函数y2x1的值域。解：定义域为x|x1或x122由y13xx1y2y32x1得x1y1x1y1故2y32或2y32解得y332或y2故函数的值域为,33,22多种方法综合运用2例22.求函数yx3的值域。解：令tx2(t0)，则x3t21yt112112（1）当ttt，当且仅当t=1，即x0时，t1时取等号，1所以0y2162,17（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换