误差理论与测量平差基础习题集1

1、第一章绪 论 1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？试 举例说明。1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定 误差的性质及符号：(1)长不准确；(2)尺尺不水平；(3)估读小数不准确；(4) 尺垂曲；(5)尺端偏离直线方向。1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的 性质及符号：(1)视准轴与水准轴不平行；(2)仪器下沉；(3)读数不准确；(4)水

2、准尺下沆。 1-2测量平差学科的研究对象1.2.06何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？1.2.07测量平差的基本任务是什么？ 1-3测量平差的简史和发展1.3.08高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些 方面？ 1-4本课程的任务和内容1.4.10本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么?第二章误差分析与精度指标 2-1正态分布2.1.01为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。 2-2偶然误差的规律性2.2.02观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什

3、么观测值的真误差？2.2.03在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？ 2-3衡量精度的指标5何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？6在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这 些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度 高？7若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误 差一定相同？为什么？8为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角a=45000 00”作12次观测，结果为： TOC o 1-5 h z 450006”445955”445958”

4、450004”450003”450004”450000”445958”445959”445959”450006”450003”设a没有误差，试求观测值的中误差。9有一段距离，其观测值及其中误差为345.67m+_15mm试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差。2.3.10 已知两段距离的长度及其中误差分别为300.465m+_4.5cm及660.894m+_4.5cm,试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的精度是否等？2-4精度、准确度与精确度试写出协方差的定义式，并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的。两个独立观测值是否可称为不相关观测值？而两个观

5、测值是否就是不独立观测值呢？相关测量值向量X的协方差阵是怎样定义的？试说明Dx中各个元素的含 义。当向量X中的各个分量两两相互独立式，其协方差阵有什么特点？试写出描写两个观测值向量X和Y之间相互关系的互协方差阵的定义式， 并说明Dy中各个元素的含义。何谓准确度？何谓精确度？当观测值中不存在系统误差时，精确度就是精度吗？ 2-5测量不确定度测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的？不确定度评定的标准是什么？2-6综合练习题社队某量进行了两组观测，它们的真误差分别为：第一组：3, -3,2,4 , -2, -1,0 , -4,3 , -2第二组：0, -1 , -7,2,1 , -1,8,0 ,

6、-3,1试求两组观测值的平均误差 &、隹和中误差c、鸟，并比较两组观测值的精度。设有观测值向量X= L1 L 2 T已知CTt1=2秒，CTt2=3秒，(T t1t2 =-2秒2,试写出21其协方差阵DXx。设有观测值向量X= L1 L2 L3】的协方差阵口触=,试写出观测值L1、 31AA3133L2及L3的中误差以及协方差 (T L1L2、 (T L1L3 和 L L2L3o第三章协方差传播律及权 3-1数学期望的传播3. 1.01数学期望是怎祥定义的？何谓数学期望的传播？试写出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值=x(i=1,2,、,n)的数学期望均为 小,问其算术平均值x=1

7、 Xi的数学期望等于多少？ n i 1 3-2协方差传播律3.2.02什么是协方差传播律？其主要用来解决什么问题?3.2.03协方差传播律主要包含哪几个公式？试写出这些公式的推导过程。3.2.04能否说协方差传播律就是误差传播律？为什么？3.2.05当观测值的函数是非线性形式时，应用协方差传播律应注意哪些问S?试举例说明之。3. 2. 06试简述应用协方差传播律的计算步骤。3.2.07下列各式中的Li(i = l , 2, 3)均为等精度独立观测值，其中误差为(T ,试求X的中误差：X=1/2(Li+L2)+L3X=LL2/L33.2.08 巳知观测值的中误差(T 1=(T 2=(T , (T

8、12 =0,设 X=2L+5,Y =Li -2L 2,Z=LL,t=X+Y,试求X,Y,Z和t的中误差。3. 2. 09已知独立观测值L1,L2的中误差为(T1和(T 2,试求下列函数的中误 X=L 1-2L2;Y=0.5L i2+LiL2；Z=sinL 1/sin(L 1+L2).3.2. 10设有观测值向量L =L1 L2L3T,其协方差阵为 TOC o 1-5 h z 400、DLl=030 ,002)试分别求下列函数的方差：F1-L1 -3L 3；F2 =3L2L3。6-1 -2 (3)3.2.11设有观测值向量L = L l L2 L3 T,其协方差阵为DLl= -141-212试分

9、别求下列函数的方差：F i=Li+3L2-2L3；1(2)F 2=Li2+L2 + l| o3. 2. 12 已知观测值向量L及其协方差阵DLl,组成函数X=AL,Y=BX试求协方差CXl, DYl 和 DXy.3. 2. 13设有观测值向量L=Li L 2 Lit,其协方差阵为3 0)DLl= c 0 41I/1 23. 2. 14L 2和L 3. 2. 14L 2和L 3及其协方差阵为屯 1r|1ni1，Du D12 D13 D21 D22 D23 Du D32 D33 0 现组成函数(x=al+ay=bl+bz=cl+g式中,A,B,C为系数阵,A。, Bo,CO为常数阵.令W=X Y

10、Z试求协方差阵 即3. 2. 15 已知边长S及坐标方位角a的中误差各位（7 s和6“，试求坐标增量 AX=SZ cos a和AY=SZ sin a的中误差。3 2. 16设有同精度独立观测值向量L=L1 L 2 L 3厂的函数为Yu&BsL1, Y=a AB-L2sin L3式中，aAB和SA叨无误差的已知值，测角中误差 （T =1,试求函数的方差 J, 42及协方差。y1y2。2. 17 在图3-1 的 AABC中，由直接观测得 b = 106. 00m 0.06m, B= 29 0 39 1和丫=120 07 2,试计算边长c及其中误差 小2. 18 在图3-2的A ABC中测得/ A

11、（ta,边长bbb, a山,试求三角 形面积的中误差（Tso2.19由已知点A（无误差）引出支点P,如图3-3所示。a。为起算方位角， 其中（7 0,观测角B和边长S的中误差分别为（TB和（TS,试求P点坐标X, Y的10协方差阵。图323. 2. 20为了确定图3-4中测站A上B、C、D方向间的关系，同精度观测了三 个角，其值为Li=45 02 , L2 =85 00, L 3=40 0 1。设测角中误差 6=1, 试求：(1)观测角平差值的协方差阵；(2)观测角平差值(2)观测角平差值L、i关于L3的协方差。 3-3协方差传播律的应用3- 3. 21水准测量中两种计算高差中误差的公式为(T

12、hAE=7N (T站和(ThAB=7S (T公里，它们各在什么前提条件下使用？(T x = .N(T x = .N推导过程，并说明此式使用的前提条件。怎样计算交会定点的点位方差？纵向方差及横向方差各是由什么因素引 起的误差？在巳知水准点A B(其高程无误差)问布设水准路线，如图 3-5所示。路线长 为S =2km,S2 =6km,S3 =4km,设每千米观测高差中误差 a = 1.0mm,试求：1111(1)将闭合差按距离分配之后 Pl,P2两点间高差的中误差；(2)分配闭合差后Pl点高程的中误差。在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm,今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于 5c

13、m,问可以设多少站？若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线(图 3-6),已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C点高程中误差不大于10mm问该线路长度最多可达几千米？(提示：HC=H+h1, H：=H-h2, H=( hC + H；)/2) TOC o 1-5 h z 上】瓦O0ACB3. 3. 27 在图3-7中，由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角a，借以计算 P点的坐标。观测值及其中误差为 S = 127.00mmt0.03m, a =30 00 2.5,设 A点坐标无误差，试求待定点 P的点位中误差(TPo3. 28有一角度测4测回，得中误差0.42问再增力口多少测

14、回其中误差为 0. 28?在图3-8的梯形稻田中，测量得上底边长为 a=50. 746m下底边长为b = 86. 767m,高为 h = 67.420m,其中误差分另为 (ra=0.030m,(rb=0.040m,6 h=0.034m, 试求该梯形的面积S及其中误差(7S设图3-9的 ABC为等边三角形，观测边长和角度得观测值为b(T b=1000m 0. 015m, a = 0 =60 0 000,且为使算得的边长 a具有中误差 人 =0. 02m,试问角a和B的观测精度应为多少？3-4杈与定权的常用方法3 3-912权是怎样定义的？权与中误差有何关系？有了中误差为什么还要讨 论权？_2在公

15、式中R 二粤中，表示什么？仃2能否是不同量的观测值的方 二 i差？什么叫做单位权、单位权观测值及单位权中误差？对于某一个平差 问题，它们的值是惟一的吗？为什么？4. 34 水准测量中的两种常用定权公式 Pi = 和Pi=各在什么前提条 -iS件下使用？试说明两式中C的含义。4. 35 设某角的三个观测值及其中误差分别为30 4120 2.030 41264.030 41161.0现分别取2.0、4. 0及1.0作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同 的观测值的权，再按各组权分别计算这个角的加权平均值X及其中误差仃八x3. 4. 36 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A,B,C之

16、间的高差，设该三角形边长分别为 S1 =10km, & =8km,S3=4km,令40km的高差观测值为 单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。3.4.37设n个同精度观测值的权为P,其算术平均值的权为P,问P与P的关系 如何？3. 4. 38设一长度为d的直线之丈量结果的权为1,求长为D的直线之丈量结果 的权。4. 39在图3-10中，设巳知点A, B之间的附合水准路线长为80km,令每千米 观测高差的权等于1,求平差后线路中点（最弱点）C点高程的权及该点平 差前的权。以相同精度观测/ A和/B,其权分别为Pa =1 ,P b= 1 ,已知（TB =8试 42求单位权中误差（T0和

17、/A的中误差GA。设对/ A进行4欢同精度独立观测，一次测角中误差为2. 4已知4次算术平均值的权为2。试问：（1）单位权观测是什么？（2）单位权中误差等于多少？ （ 3）欲使/ A的权等于6,应观测几次？设对A角观测4次，取平均得a值，每次观测中误差为3,对B角观测9 次，取平均得B值，每次观测中误差为4试确定a, B的，权各是多少？解令C = l ,则由定权公式Ni P i= L C 覆 行P =4, Pb=9。试问以上这样定权对吗？为什么？设对某一长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差（r=2mm,设4次观测值平均值的权为3。试求：（1）单位权中误差 。；（2）一次观测值的 权；（3

18、）欲使平均值的权等于9,应观测几次？在相同条件下丈量两段距离 S1=100m &=900m设对S1丈量3次平均 值的权PS1=2mm试求对&丈量5次平均值的权Ps20由已知水准点A,B和C向待定点D进行水准测量，以测定 D点高程 （图3-11 ）。各线路长度为Si =2km, S2 =S3 =4km,S4=1km设2km线路观测高差 为单位权观测值，其中误差（T0=2mm试求：（1）D点高程最或是值（加权平均值） 的中误差（7D；（2）A、D两 点间高差最或是值的中误差（7 ADo设有水准网如图3-12所示。网中A,B和C为已知水准点，Pi =Ps =P5 =2, P2=R =5,单位权中误差

19、（T0=2mm式求：（1） D点高程最或是值（加权平均 值）之中误差；（2）C、D两点间高差最或是值之中误差（TCDo143-5协因数和协因数传播律什么叫做协因数？ H么叫做相关权倒数？它们与观侧值的方差或协 方差有何关系？观测值向量的协因数阵和权阵各是怎样定义的？它们之间有什么关 系？5.49设观测值向量L的协因数阵为Qll,权阵为Pll,试问（1）协因数阵的 n1nnnn对角元素Q是观测值Li的权倒数吗？ （ 2）权阵的对P是观测值L的权吗？为什 TOC o 1-5 h z 3. 5. 50何谓协因数传播律？其主要用来解决什么问题？3-5.51协因数传播律主要包含哪几个公式？试写出其推导过

20、程。3.5.52什么是权倒数传播律？试写出其公式并说明应用该公式的前提条件。5. 53巳知观测值向量L的协因数阵为l3 1、, 一Ql=，试求观测值的权Pl1和Pl2。1-1 2 ）已知观测值向量L的权阵为1-24 J试求观测值的权PL1和PL20设有观测值向量L=L1 12厂的权阵为3Pll= 5 5 ,3 915 5 J15单位权方差仃单位权方差仃0 =3.试求a2,仃2 ,12 12 以及 Pl1 和 Pl2o3.5.56已知观测值向量L的协方差阵为DLL= 2-1-13以及L1的协因数Q1=2,试求单位权方差仃2,权阵PLl和P.1, Pl2053.5.57已知观测值向量3.5.57已

21、知观测值向量L的协方差阵为-2123.5.58-2123.5.58已知观测值向量Z=X31 w的权阵为6D LL= 02单位权方差a0=2,现有函数F=L1+3L2-2L3,试求：（1）函数F的方差D和协因数 Q;（2）函数F关于观测值向量L的协方差阵E和协因数阵Ql3 1 TOC o 1-5 h z ,20102TU32试求P XX, P YY 以及P已知观测值向量L的协方差阵为Dll=/4 TiT 2观测值 L 1 的权 P - = 1 ,现有函数 F i = Li+3L2 4, F2=5Li L2 +1 ,试求：（1） F 1与F 2是否统计相关？为什么？ （2） F 1与F2的权Pfi

22、和 P F 2 o设有一系列不等精度的独立观测值L 1, L 2和L 3,它们的权分 别为P 1 , P2和P 3,试求下列各函数的权倒数（协因数）：（1 ） X=店L 1；一_1 一 -、-Y= (L1+L2) + L 3 216（3 ） Z = L2 L33. 5. 61已知观测值a、b、c的权分别为Pa = P b=2, Pc=3, x = 3 0 y =60。（无误差），试求函数 A = a2 sinx + b cos x + 2c 2 sinx 2 cosy 的权 Pa。3. 5. 62设有函数尸=f i x + f 2 y ,其中x = a 1L1+ 0C2L2 +anLn,y =

23、 B 1 L 1+ B 2 L 2+ B n L n,a】，B1（i = l, 2,，n）为无误差的常数,而LPF3.5.63已知观测值向量l的协因数阵为Q L L =鱼12,的协因数阵Q已知观测值向量L的协因数阵为设有函数1鱼1而LPF3.5.63已知观测值向量l的协因数阵为Q L L =鱼12,的协因数阵Q已知观测值向量L的协因数阵为设有函数1鱼121111L,L,试求协因数阵 Q yy, Qyz, Qxz, Qyw, Qz w 和 Q ww 3 . 5 . 6 5 在途3 1 3中，令方向观测值1 ( i = 1 , 2 ,，10)的协因数阵Q u=I,试求角度观测值向量L的协因数阵Q

24、ll。613 . 5 . 6 6 在图3 1 4中，令方向观测值1 ( i = 1 , 2 ,，12)的协因数阵Q u=I,试求角度观测值向量L的协因数阵Q llo813.5.67已知独立观测值向量L的协因数阵的单位阵，组成方程31V = B X L n1 nt t1 n1B T B X-B TL= 0式中，BTB为可逆阵。由上式得解向量X= (B tB) 1 B t L17后，即可计算改正数向量V和平差值向量L = L + V。c图3 13(1 )试求协因数阵Q XX和Q於c图3 13(2)改正数向量V与X, V与 是否相关？试证明之。 3-6由真误差计算中误差及其实际应用Z W：在菲列罗公

25、式 =1中，Wi代表什么量？ n是观测值的个数 3n吗？计算得到的(7B是什么量的中误差？一个观测对的差数d是双观测差的什么误差？为什么？3.6.70在公式仃。P 是什么量的权？ n等于什么？求得的单位权中误差代表什么量的中误差？6. 71某一距离分三段各往返丈量一次，其结果如表3-1所示。令1km 量距的权为单位权，试求：(1)该距离的最或是值S;.(2 )单位权中误差；(3)全长一次测量中误差；18(4)全长平均值的中误差；(5 )第二段一次测量中误差表3-1t号往测/m返测/m11 000. 0091 000. 00722 000.0112 000. 00933 000. 0083 00

26、0. 0103. 6. 72有一水准路线分三段进行测量，每段均作往返观测，观测值见表 32.路线长度/tm往局差An返测高差/m2.22. 5632. 5655.31.5171,5131.02. 5262. 526表3-2令2km观测高差的权为单位权，试求:(1 )单位权中误差；(2)各段一次观拥高差的中误差；(3)各段高差平均值的中误差；(4)全长一次观测高差的中误差；(5 )全长高差平均值的中误差 3-7系统误差的传播3. 7. 73何谓观测值的综合误差？它包括哪些误差？观测值的综合方差是怎样定义的？试写出系统误差的传播公式及系统误差与偶然误差的联合传播公式。用钢尺童距，共测量12个尺段，

27、设量一尺段的偶然中误差(如照准误差 等)为cr = O. 0 0 1m,钢尺的检定中误差为e=0. 0 0 0 2 m ,试求全长综合中误差(T全。设有相关观测值L的两组线性函数n119Y = F L+ Fo si sn n1 si已知L的综合误差为？ =+写，式中和&分别为观测值L的偶然误差与系统误 ni ni nini ni差,L的协方差阵为试求Z的综合方差阵D一一 ， T、E ( QzQy )。图ZZ=E （QzQzD及Z与Y的综合协方差阵D ZY 3-8综合练习题3.8. 77 在图3-i5的AAB P中，A, B为已知点，Li、L2和L3为同精度 独立观测值，其中误差（T = i,试

28、求平差后P点坐标x、y的协方差阵。3.8.78有一水准路线如图3-i6所示。图中A, B点为已知点，观测高差h 1和 h2以求P点的高程。设hl和h2的中误差分别为 门和（T2,且已知（71=2（72, 单位权中误差（7。=，若要求P点高程的中误差（7p=2mn,那么，观测精度（73.8.79巳知观测值向量QUL2T3.8.79巳知观测值向量QUL2T的协方差阵为D LL =3 -i-i 2设有观测信函数 Y 数 Y i = 2LiL2 和 Y2 = Li + L2 ,试求协方差 （TY1Y2 （TY1L 和（TY2L1。3.8.80 已知距离3.8.80 已知距离AB =i00m 丈量次的权为2,丈量4次平均值的中误差为2cm若 以同样的精度丈量距离CD i6次，CD =40 0 M,