傅立叶级数表达形式与性质

1、傅立叶级数表达形式与性质程栋材 PB07210245周期函数是定义在(-,-)区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的函数,一般表示为:f (t) = f (t + mT) m = Q 1 2 -( 312)式中， T 为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为f = t或角频率0 =王=2吋rjiJ对于非正弦周期函数，根据定理3-1,可以用在区间(510 + T)内完备的正交函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。三角函数表示式由上节讨论可知，三角函数集cos匚血mQt(n，m二2)在区间(t0，10 + T) 内为完备正交函数集。根据定理3-1，对于周期为T的一类函数中任一个函

2、数f (t)都可 以精确地表示为cos nQt，sin mQt的线性组合，即对于f (t)二 f (t + nT)有cos nQt +bcos nQt +b sin nQt)n(3-13)n =1由式(3-10)，得anbna0anbna02JT/2-T/2T/2-T /2JT/2-T /2f (t )cos nQtdt f (t )sin nQtdt f(t)dt(3-14)式(3-13)称为周期信号f (t)的三角型傅里叶级数展开式。若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即f (t)二 A +三 A cos(n* +申)(3-15)0nnn=1比较式(3-13)和式(3

3、-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系A = ：a2 + b2nnnrbp = - arctan nnaanbnanbnA0=A cospnn= - A sin pnna3-16)=0-2式(3-15)称为周期信号f (t)的余弦型傅里叶级数展开式。式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中，ao/2是直流成分； 0 = 21ai COS 0t , bi sin 称为基波分量，T为基波频率；an C0S n0t , bn Sin n0t称n次谐波分量。直流分量的大小，基波分量和各

4、次谐波的振幅、相位取决于周期信号 f (t) 的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅“ , bn , An和相位P n都是nQ的函数，并有：An , aAn , an是的偶函数，即a = an- nA =An-n ；bn是nQ的奇函数，即-Q =Qn- nb = -bn- n二、指数形式因为复指数函数集e皿(n = ，1，2,)在区间Sto + T)内也是一个完备的正T =互交函数集，其中，因此，根据定理3-1，对于任意周期为T的信号f，可在区间(toto + T)内表示为ejnt的线性组合。即f (t)=工 F em(3-17)nn = -g式中Fn由式(3-10)可求得

5、为F =T/2 f (t)e-jn(3-18)n T T / 2式(3-17)称为周期信号f (t)的指数型傅里叶级数展开式。由于Fn通常为复数，所 以式(3-17)又称为复系数傅里叶级数展开式。同一个周期信号f (t)，既可以展开成式(3-13)所示的三角型傅里叶级数式，也可以 展成式(3-17)所示的指数型傅里叶级数式，所以二者之间必有确定的关系。因为e jn e jn t + e - jntcos nt =e jnt - e - jntsin nt =2j代入式(3-13)，得所以a 戶a所以a 戶a=0 +n22n=1(e jnGt + e - jnGt ) +n (e jnOt e

6、- jnQt )= 2j区F e jnQtnn=ga yf (t) = 0 +(a cos nQt +b sin nQt)n=12n=102(a jb ) (a jb ) =2nn21A-(a+ jb ) =e -j2nn2Fnn = 1,2,n = 1,2,(3-19)三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系要把已知周期信号f (t)展开为傅里叶级数，如果f (t)为实函数，且它的波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也变得比 较简单。周期信号的对称关系主要有两种：一种是整个周期相对于纵坐标轴的对称关系， 这取决于周期信号是偶函数还是奇函数，也就是展开式中

7、是否含有正弦项或余弦项；另 一种是整个周期前后的对称关系，这将决定傅里叶级数展开式中是否含有偶次项或奇次 项。下面简单说明函数的对称性与傅里叶系数的关系。1偶函数若周期信号f (t)波形相对于纵轴是对称的，即满足f (t) = f (t)(3-20)则f (t)是偶函数，其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量，即b = 0(n = 0,1,2,(n = 0,1,2,)a =JT/2 f (t )cos nQtdtn T 02 奇函数若周期信号f (t)波形相对于纵坐标是反对称的，即满足f (t )T (-t)(3-21)此时f (t)称为奇函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即(n =

8、 0,1,2,) TOC o 1-5 h z n 4(n = 0,1,2,)bT/2 f (t )sin nOtdt HYPERLINK l bookmark64 o Current Document n T o一熟悉并掌握了周期信号的奇、偶等性质后，对于一些波形所包含的谐波分量常可以作出迅速判断，并使傅里叶级数系数的计算得到一定简化。表3-1给出了周期信号波形的各种对称情况、性质，以及对应的傅里叶系数a和bnn的计算公式。表 3-1 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系函数f (t)性质a0a (n 丰 0)nb (n 丰 0)n偶函数只有直2只 T/2 f (t) dtT 04 ,JT/2 f (t )cos(nGt )dtT 00f (t) = f (-t)流分量和余弦项奇函数只有正00 JT/2 f (t )sin( nGt )dt T 0f (t) = - f (-t)弦项一、 四、傅里叶级数的性质若f (t) = Fejnd，则f (t)的傅里叶级数展开式具有以下性质(证明略):nn=8(1) f ()二追 F eg