用向量法求空间角与距离

1、用向量法求空间角与距离向量的数量积和坐标运算_Aa, b是两个非零向量，它们的夹角为。，则数la I -1 b I - cos9叫做a与b的数量积（或内积），记作a -b，即a -b = a I -1 b I -cos9 .其几何意义是a的长度 TOC o 1-5 h z +与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若 a = 3 , y , z ）, b = 3 , y , z ），贝 111222a - b = x x + yy + z z ；1 21 21 2=_（*II a l= ：x 2 + y 2 + z 2 ,l b l=x 2 + y 2 + z 2 ；111%222a -

2、b = x x + y y + z z121212x x + y y + z zcos v a, b =121212_i； x 2 + y 2 + z 2 , I x 2 + y 2 + z 2111 v 222异面直线m, n所成的角分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m, n所.以彳成的角0等于向量信b所成的角或其补角（如图1所示），力/nm则cos0 = I a bJ .（例如2004年高考数学广东卷第18 D图1 b Ba I -1 b I题第（2）问）异面直线m、n的距离分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直

3、线m、n的距离d等于AB在n上的射影长，即d =业主n I证明：设CD为公垂线段，取CA = a, DB = b （如图1所示），则CD = CA + AB + BDB. P- * * * :.CD - n = (CA + AB + BD) - n:.I CD - n I=I AB - n I:d:d =I CD I=I AB-n II n I设直线m,n所成的角为0，显然cosO=丑二设直线m,n所成的角为0，显然cosO=丑二.a I -1 b I1.4.直线L与平面a所成的角在L上取定ab，求平面a的法向量n （如图2所示）再求cos 0 = I AB n I，则p=-6为所求的角.I

4、AB I -1 nI21.5.二面角方法一:构造二面角a-1-p的两个半平面a、&的法向量n、n2 （都取向上的方向，如图3所示），则若二面角a-1-p是“钝角型”的如图3甲所示，那图3甲么其大小等于两法向量n、n的夹角的补角，即cos0=- 气.（例12I n I -1 n I如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.若二面角a-1-p是“锐角型”的如图3乙所示， 那么其大小等于两法向量ni、七的夹角，即 c o 0 = ni n2 r .（例如2004年高考数学广东卷第I n I -1 n I18题第（1）问）.图3乙方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过图4图4EHA、B分别

5、在平面a .p内求出与l垂直的向量n1、七(如图4所示)，则二面角FIFa -1 - p的大小等于向量n、n的夹角，即cos0 =% 12I n I -1 n I1.6.平面外一点p到平面a的距离p到平面a的距离d等于AP在n上的射影长，即p到平面a的距离d等于AP在n上的射影长，即图5d = 1 AP.n |.(例如2004年广州一模第18题第(II)问).I n I1. 7.法向量基向量法由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、 数乘运算法则与基向量联系起来.再通过向量的代数运算，达到计算或证明 的目

6、的.一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.例1如图6,已知正三棱柱ABC - A1BC的棱长为2,底面边长为1，M是BC的中点.在直线CC上求一点N，使MN 1 AB；当MN 1 AB时，求点A到平面AMN的距离.求出AB1与侧面ACC1A1所成的角.分析1 (1)的问题显然是求使异面直线MN与AB1所成的角为直角的点N .依据向量数量积的概念，必须由条件MN1 AB n mN- AB = 0，求出CN的长度，而mN与AB都不是已知向量，且和CN没有直接联系，因此必须选择一组基向量来表示MN与AB .(1)解法一：取共点于B的三个不共面的已知向量BA、BC、BB为基向量，由正三

7、棱 柱ABC ABC %N 1 AB n MN - AB = 0, TOC o 1-5 h z 1 1 111AB = AB + BB , MN = MC + CN = - bC + CN1121n (AB + BB-(2 BC + CN) = 0n 1 AB - BC + AB - CN +1 BB - bC + BB - CN = 022111 cn 11cos120 + LI CN I -cos90+ -21cos90 + 2-1 CN I -cos0 = 021 c c 一，c.- .1n + 0 + 0 + 2I CN I= 0 n I CN I=48分析2 本小题还可以取共点于A的

8、三个不共面的已知向量AB,AC,AA为基向量，从而得（1）解法二:AB = AB + BB = AB + AA, TOC o 1-5 h z 1 1 _MN = AN AM = (AC + CN)(AB + AC) = (AC AB) + CN. 221 MN - AB1 = (AB + AA1) - 2( AC AB) + CN 1L L -=2(AB + AA1) - (AC AB) + (AB + AA - CN c P=(AB - AC AB2 + AA - AC AA - AB) + AB - CN + AA - CN111=-2 （1 1 - cos 60 12 + 2 1 cos

9、 90 2 1 cos 90）+1 a cos 90 + 2 a cos 0=1 1 + 0 0 + 2a4 2 1 T C C C C1 1,/ MN AB = 0， . 一 一 1 + 0 0 + 2a = 0, a =.I CN I=.1488比较方法一与方法二，方法一比方法二运算简便.因为用方法一选择的一组 基向量表示MN时式子较为简单.这告诉我们可选择的基向量并不唯一，我们应 选择使得运算简便的那一组向量作为基向量.当几何体中能够找到（或构造出） 三个共点且两两垂直的基向量时，我们就可以用下面的方法解决问题.坐标法所谓坐标法，就是建立适当的空间直角坐标系（本文所建立的都是右手直角 坐

10、标系），把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解 决问题的目的.运用坐标法时，也必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直， 由此建立空间直角坐标系.因而坐标法是基向量法的特殊情形，但坐标法用于求长度、角度或解决垂直问题时，比较简单.在坐标法下，例1几何体中容易找到共点不共面 且互相垂直的三个向量，于是有如下解法：（1）解法三：以北、叫分别为y轴、z轴，垂直于AGA*的版为x轴建立空间直角坐标系A - xyz， 设I CN 1= a，则有A(0,0,0)、B 疽,2)、M疽,3,0)、N(0,1,a).1 2 24 4于是mN =(悟1S 1-亍,4, a), AB

11、= (*,2),由 AB 1 MN得、；3 1、3 1MN AB1 = 0 n （-亍，4,a）-（亍，2,2） = 0. 1 .n + + 2a = 08 81n a =8由上面的解法三可知，通过建立空间直角坐标系，找出了相关点的坐标， 从而把几何图形的性质代数化，通过向量的计算解决问题，显得快捷简便.在空 间直角坐标系下，例1的第（2）、（3）问便迎刃而解了.下面给出解答.（2）解：当MN 1 AB时，由（1）解法三知，A(0,0,0)、B(W,L,2)、M(技,3,0)A(0,0,0)、B( TOC o 1-5 h z 24 4811*3 3A (0,0,2)，则 MN = (、, ,

12、), AM = Q , ,0), AA = (0,0,2)， 14 84 41设向量n = 3, y,z）与平面amn垂直，则有v3x =v3x =z81y = 一一 z8n 1 MN -矽 + 4 y + 8 z = 0i nn 1 AM I履 3 nx + y = 0 TOC o 1-5 h z 4(z 0)n = ( z,1 z, z) = Z (、(z 0)888，*J取 n0 = G3,1,1)向量AA在n上的射影长即为A到平面AMN的距离，设为d，于是I (0,0,2) (*,-I (0,0,2) (*,-1,1) I：(%；3)2 + (1)2 + 122,55d =1 AA I

13、 -1 cos 1=1 AA I 仙1 ”。11 01 I AA1 I I n0 I（3）根据上面“ 1.4.直线L与平面a所成的角”中所提到的方法，须求出平面ACC1 A1的一个法向量n，进而求AB与n所在直线的夹角。设平面ACC1 A1的一个法向量为n，则有 TOC o 1-5 h z n I AA I 2z = 01- _ _ n 1 An y = 0 In y = z = 0,. n = (x,0,0) = x(1,0,0) (x 0);取 n0 = (1,0,0)，则Icos I= I AB1 n0I10 HYPERLINK l bookmark30 o Current Docume

14、nt 启！2)Icos I= I AB1 n0I10I AB1I I n0I/43)2 + (1)2 + (2)2 f110I 故AB与侧面ACC A所成的角为：arc cos史2 = arcsin史211 121010本题的解题过程告诉我们，用坐标法求空间角与距离，就是用空间向量将空 间元素的位置关系转化为坐标表示的数量关系，解题的关键是根据几何体的特 点，选取恰当的坐标原点和坐标轴，一般来说，长方体、正方体中较为容易建立 坐标系.高考对空间向量的考查是以立体几何为载体，利用空 间向量求有向线段的长度，求两条有向线段的夹角（或其 余弦、正弦、正切），二面角、点到平面的距离、异面直线 的距离、

15、证明线线、线面、面面垂直等下面是今年广东高 考数学及广州一模，体现了高考对空间向量的考查要求.例2(2004年全国普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷第18题) 如右图8,在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E、F分别 是AB、BC上的点，且EB= FB=1.求二面角CDEC的正切值；求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.解题分析：本题主要考查了二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能 力、思维能力、运算能力.高考试卷给出的参考答案分别用了传统方法及向量法. 在传统解法中，运用三垂线定理作出二面角的平面角并正明，通过延长和平移线 段作出异面

16、直线所成的角，进而通过解直角三角形和斜三角形解决问题.在用向 量法的解答上，选择A为空间直角坐标系的原点，奇,AD,叫 分别为x轴，y辄 Z轴的正向，这不是右手直角坐标系，虽然与右手直角坐标系没有本质上的区别， 但教科书中所建立及提倡的是右手直角坐标系，所以考生习惯用右手直角坐标系. 用向量法解决第(1)问时只是用了本文所提到的“1.5.二面角”之“方法一”.下面本人以自己的习惯，通过建立右手直角坐标系来解答，并用本文所提到 的“1.5.二面角”之“方法二”补充第(I)问的解法二.解：(I)解法一：以D为原点，DA,DC,DD分别为x轴，y辄z轴的正向 建立空间直角坐标系，则有 D(0,0,0

17、), D1(0,0,2),C(0,4,0),C1(0,4,2),E(3,3,0), F(2,4,0), C1 (0,4,2)于是，DE = (3,3,0),EC = (3,1,2), FD = (2,4,2),设向量n = (x, y, z)与平面C1 DE垂直，则有n 1 DE I3 x + 3 y = 0 1-. nn x = y = -zn 1 EC 3 x + y + 2 z = 0j2-11 zn = (- z-z, z)=彳(1,1,2),其中 z 0取n0 = (1,-1,2)，则是一个与平面C1 DE垂直的向量，向量DD = (0,0,2)与平面CDE垂直，n0与DD1所成的角

18、9为二面角C DE C1的平面角II/ cos0n0 DD11 x 0 + (-1) x 0 + 2x 26 .七 / cos0I n0 I I DD y12 + (-1)2 + 22 x w02 + 02 + 223，2(I)解法二：令M点在DE上，且CM DE ,可设M点的坐标为M(3人,3人,0),则 CM = (3人,3人-4,0)CM DE, :. CM DE = (3人,3人-4,0) (3,3,0) = 18人一12 = 0 3, cm = (OFmc =(-22,0).再令N点在DE上，且CN 1 DE,设N点的坐标为N,3丫,0)，则CN =3 -4,-2)1CN 1DE,.

19、 C1N dE = (3y ,3y - 4,-2) (3,3,0) = 18y -12 = 0. Y = |,C1N = (2,-2,-2), NC = (-2,2,2)cosO.tan O6MC NC(-2,2,0) cosO.tan O61=. I MC I I NC I,(-2)2 + 22 + 02 .(-2)2 + 22 + 22a2(II)设EC1与FD所成角为p，则cos p = ECFp =- 3 x (-2) +1 x (-4) + 2 x 2I EC. I I FD I (-3)2 +12 + 22 x(-2)2+ (-4)2 + 214因为本题的已知条件和结论具有一定的解

20、题方向性，它明确告诉我们用向 量的方法解决问题.在高考结束后，本人询问了自己所任教班级的部分学生，他 们大多数能用向量法解这道题.如果不用向量法，对于中等(或以下)水平的学 生，他们连二面角的平面角或异面直线所成的角都作不出来.可见，用空间向量 处理立体几何中的角与距离问题，可以降低立体几何的论证、推理难度，使中等(或以下)水平的学生也能很好的掌握，提高得分的能力.对此问题，我们在高考备考上就有意识地引导学生.英德市在三月份组织了一次 全市统考，采用2004年广州一模试卷，下面的例3是其中一道考题.A11例3 (2004年广州一模第18题)如图，在正四棱柱A11ABCD - ABC D 中，已

21、知 AB = 2，AA = 5, E、F 分别为 11111D1 D、B1 B 上的点，且 DE = B1 F = 1.求证：BE 1平面ACF ；求点E到平面ACF的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空 间直角坐标系来达到解题目的.但实际情况是仍有相当部分学生的思维还停留在 传统的几何法上而未能解出第(II)问.解：(I)以D为原点，以DA、DC、DD的正向分别为并由、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0), A(2,O,0), B(220),C(020), DM E (0,O,D,F (2,M于是 AC = (2,2,0), AF = (0,2,4), BE = (2,2,1).BE- AC = 0,BE- AF = 0,. BE 1 AC,BE 1 AF,且 AC A A