中值定理及导数应用

1、第四章中值定理及导数应用在这一章 ,我们应用上一章所学的导数来研究函数以及曲线的某些形态 ,并利用这些知识来解决一些实际问题 ,为此 ,我们先要学习微分学的几个中值定理 ,它们是导数应用的理论基础。4.1中值定理我们先讲罗尔(Roll) 定理 ,然后根据它推出拉格朗日(Lagrange) 中值定理和柯西定理。罗尔定理首先, 我们观察图3-1-1 。设曲线弧 AB 是函数f ( x) ( x a,b) 的图形。这是一条连续的曲线弧 , 除端点外处处有不垂直于x 轴的切线 , 且两个端点的纵坐标相等,即 f (a)f (b) 。可以发现在曲线弧的最高点或最低点C 处,曲线有水平的切线。如果记C 点

2、的横坐标为, 那么就有f ( )0 。现在用分析语言把这个几何现象描述出来, 就可得下面的罗尔定理。为了应用方便, 先介绍费马引理。图 4-1-1费马引理设函数 f ( x) 在点 x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义 , 并且在 x0 处可导 , 如果对任意的 xU ( x0 ) , 有f ( x)f (x0 ) ( 或 f (x)f ( x0 ) )那么 f ( x0 )0 。证不妨设 xU (x0 ) 时 ,f (x)f (x0 ) (如果 f ( x)f ( x0 ) , 可以类似地证明) 。于是 , 对于 x0 xU ( x0 ) , 有f (x0 x)f (x0 )从而当x

3、0时 ,f (x0 x)f (x0 )0 x当x0 时 ,f (x0 x)f (x0 )0 x因 f( x0 ) 存在，故极限 limf ( x0 x)f (x0 ) 存在，且其左、右极限均都等于f (x0 ) 。x0 x从而f ( x0 )f(x0 )f ( x0 x)f (x0 )0limxx0f (x0 )f ( x0 )f ( x0 x) f (x0 )0limxx 0所以 ,f (x0 )0 。证毕。通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点 ,临界点 )。罗尔定理若函数f ( x) 满足：在闭区间 a, b 上连续；在开区间 ( a, b) 内可导 ;(3)在区间端点处的函数值相等

4、,即 f (a)f (b),那么在 (a,b) 内至少存在一点(ab) ，使得 f() 0。证 由于 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理, f (x) 在闭区间 a,b 上必能取得最大值M 和最小值 m，此时，又有二种情况：(1)Mm ，即 f ( x) 在闭区间 a,b 上取得最大值和最小值相等，从而知，此时 f (x) 为常数： f ( x)Mm ，由此 , x(a,b) ,有 f ( x)0 ，因此，任取(a,b) 内，都有f ( )0 。(2)Mm 。因为在区间端点处的函数值f (a)f (b) ,m这两个数必有一个所以M 和不等于 f (a)

5、 或 f (b) ，不妨设 Mf (a)（对 mf (a) 同理证明），这时必然在开区间(a,b)内存在一点，使得 f ()M 。因此 ,即 f(x) 在点得最大值 ,即 , x a,b ,有 f ( x)f ( ) ,从而由费马引理可知f( )0 。定理证毕。我们再对罗尔定理的三个条件作如下几点说明:1 定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。试看下例 :端点的值不等 ( 图 3-1-2)yf ( x)x a,b0,1f (x)1 0o1x图 3 12非闭区间连续 ( 图 3-1-3)yf ( x)1x010 x11xa,b0,1o1xf ( x)1

6、0 x1x2图313非开区间内可导 ( 图 3-1-4)yf ( x)x a,b1,11x0f (x)不存在x01x01o1x图314条件是充分而不是必要的 ( 图 3-1-5)图 3-1-5中的函数对定理中的三个条件均不满足, 但也存在一点，使得f ( ) 0y2罗尔定理中的点不一定唯一。3定理的几何意义：在两端高度相等的连续aob x曲线弧上 ,若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线存在， 则图3 15此曲线弧上至少有一点处的切线平行于x 轴。拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊的条件f ( a)f (b) ，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理如

7、果函数f ( x) 满足如下两个条件:(1) 在闭区间 a, b 上连续；在开区间 (a,b) 内可导；则至少存在一点(a,b) ，使得ff (b)f (a)（ 1）( )ab在证明之前，我们先看一下定理的几何意义:f (b)f ( a) 是弦 AB 的斜率， f ( ) 为曲线在点 C 处的切线斜率。 在曲线 yf (x) 上ba至少有一点C ，使曲线在 C 点处的切线平行于弦AB 。由于拉格朗日中值定理与罗尔定理十分相似，我们设法构造一个满足罗尔定理三个条件的辅助函数( x) ，并利用它完成拉格朗日中值定理的证明。很自然地，取弧AB与弦 AB所代表的函数之差就行了。证明 作辅助函数(x)f

8、 (x)f ( a)f (b)f (a) ( x a)(a x b)ba(x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 可导，且(a)(b) 0 ，由罗尔定理，至少存在一点(a,b) ，使( )0 ，即() f (f (b)f (a)0f (b)f (a)ba亦即f (。)ba拉格朗日中值定理是微分学中最基本的一个定理，有广泛的应用。注 1: 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；定理中的结论，可以写成f (b)f (a)f ( )(ba)( ab)此式也称为拉格朗日中值公式。3:当 ba 时式子 (1) 仍然成立。4: 设在点 x 处有一个增量x ，得到点 xx ，由于x 可正可负，因此，无法确

9、定是区间 x, xx ，还是区间 xx, x ，因此，我们只能讲“介于x 与xx 之间” ,可表示成为：xx, 其中 01。在以 x 和 xx 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有f ( xx)f ( x)f ( xx)x(01)即yf (xx)x这准确地表达了y 和x 这两个增量间的关系，故该定理又称为又称为有限增量定理。它在微分学中占有重要地位 , 有时也称为 微分中值定理 。它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这个区间内的某点处的导数之间的关系。由定理还可得到下列结论:推论 1: 如果 yf (x) 在区间 I 上的导数恒为零，则f (x) 在 I 上是一个常数。证 在 I 中

10、任取两点x1 ,x2 ， x1x2 。在 x1, x2 上使用拉格朗日中值定理得f ( x2 )f ( x1 )f ( ) (x2x1 )(x1x2 )又在 I 上， f ( x)0 ，从而在 x1, x2 上， f ( )0 ，所以f ( x2 )f (x1)0即f ( x2 )f (x1)可见， f ( x) 在 I 上的任意两点的函数值均相等, 因而 f (x) 在 I 上是一个常数柯西中值定理若函数f ( x) 、 F ( x) 满足下述三个条件：f ( x) 、 F ( x) 在 a,b 连续；f ( x) 、 F ( x) 在 (a,b) 可导；(3)F ( x)0 x(a,b)

11、，则至少存在一点(a,b) ， 使得f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F (2)柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线XF (x)x a, bYf ( x)曲线上点 (X ,Y)处的切线斜率为dYf ( x)dXF ( x)弦 AB 的斜率为f (b) f (a)F (b)F (a)假定点 C 对应于参数x，那未曲线C 点处切线平行于弦AB ，于是f (b)f (a)f()F (b)F (a)F ()证 首先注意到 F (b)F (a)0 ，这是由于 F (b)F (a)F () (ba)其中 ab ，根据假定 F () 0 ，又 ba0 ，所以 F (b)

12、F (a) 0 。类似拉格朗日中值定理的证明，取弧AB 与弦 AB 所代表的函数之差。作辅助函数(x)f (x) f ( a)f (b)f (a) F (x)F (a)(axb)F (b) F (a)显然，这个辅助函数适合罗尔定理的条件：(a)(b)0 ；( x) 在 a,b 上连续；(x) 在 (a,b) 内可导且( x)f ( x)f (b)f (a) F (x)F (b)F (a)根据罗尔定理，( a, b) ， ( )0 ，即f ( )f (b)f (a) F ( )0F (b)F (a)故f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F (。)注 : 柯西中值定理是拉格朗日中值定理

13、的推广，事实上，令F (x) x ，就得到拉格朗日中值公式。中值定理运用举例例 1 设多项式p(x) 的导函数p ( x) 没有实根，证明p( x) 最多只有一个实根。证 假设多项式函数p( x) 有两个实根 x1, x2 ,p( x) 在 x1 , x2 上满足罗尔定理的三个条件 ,则在区间 ( x1, x2 ) 内至少存在一点,使 p ()0 ,即是 p ( x) 的实根 ,这与已知 p (x)没有实根相矛盾。故p(x) 最多只有一个实根。例 2试证： 当 x0 时， 有不等式xln(1x) x 。x1证 考虑辅助函数f ( x) ln(1x), 显然 f (x) 在区间 0, x 上满足

14、拉格朗日中值定理的条件，根据定理有f ( x)f (0)()0 xxf0由于 f (0)0, f (x)11，因此上式即为xln(1x)1x1又由 0 x ，有1111x110故xln( 1x)x.( x0)1x例 3 证明 arcsin x arccos x（ 1x 1）。2证 令 f (x)arcsin xarccos x ，f (x)110，x211x 2由推论知 f ( x) 为常熟，再由f (0)2，故 arcsin xarccos x。2例 4 若 方 程 a0 x na1 x n 1an 1 x0 有 一 个 正 根 x x0，证明方程a0 nxn 1a1 ( n1) xn2an

15、1 0必有一个小于 x0的正根。证 令 f (x)a0 x na1 xn1an1 x ，在闭区间 0, x0 上满足罗尔定理的三个条件，故 f ( )0(0 x0 )由于f (x)a0 nxn 1a1 (n1)x n2an 1则有a0 n n 1a1 (n 1) n 2an 10上式表明 x（ 0 x0 ）即为方程 a0 x na1 xn 1an1 x0 的根。例 5 对函数 f ( x)sin x 、 F (x)x cosx 在 0, 上验证柯西中值定理的正2确性。解 显然 f ( x) 、 F ( x) 在 0, 上满足柯西中值定理的三个条件：f ( x) 、 F ( x)2在0, 上连续

16、, 在(0,)上可导,且22F ( x)1sin x0 x( 0,)2欲在 (0, ) 上找到一点使下式成立：2f ()f (0)f()2F ()F (0)F ()2即10cos11sin2由三角函数公式上式可化为 :2(cossin)(cossin)cossin1tg22222222(cossin)2cossin1tg2222222tg(2)(2) tg，224tg24tg，2由 041， 有arctg4(0, )24只需取2 arctg 4，显然(0,)2这就验证了柯西中值定理的正确性。4.2洛必达法则我们在第一章讨论过无穷小的商的极限问题，它们有的存在， 有的不存在， 例如 x 0时，

17、sin x1 ，而 sin x。类似地，两个无穷大的商的极限问题也是有的存在，有的xx2不存在，对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一法则。当xa ( 或 x) 时，两个函数 f ( x) 与 F ( x) 都趋向于 零或都趋向于 无穷大 ，那么，极限 lim f ( x)可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式 ，并分别简记为 0 型或xa0( x) F (x)型。基本类型的未定式0 ,型0定理 1设当 x a 时，函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零；(2)f ( x) 及 F ( x) 在点 a 的某去心邻域内存在，且F ( x)0 ；lim f

18、( x) 存在 ( 或无穷大 ) ，a F ( x)则lim f ( x)lim f ( x) 。xa F ( x)x a F (x)这就是说，当 limf (x)存在时 ， lim f (x) 也存在且等于lim f (x) ；当 lim f (x) 为x a F ( x)x a F ( x)x a F (x)x a F (x)无穷大时， limf ( x) 也是无穷大。这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确a F ( x)定未定式的值的方法称为洛必达法则。证因 为 求 极 限lim f (x)与 函 数 值f (a) 、 F ( a) 无 关 ， 那 么 我 们 可 设a F (

19、x)f (a)F (a)0 ， 这并不会影响极限lim f ( x) 。由这一假设及条件(1) 、(2) 知， f (x) 与a F ( x)F ( x) 在点a 的某个邻域内是连续的，设 x 是这邻域内的一点，那么在以x 及 a 为端点的区间上，f ( x) 与 F ( x) 全部地满足柯西中值定理的条件，因此有f ( x)f ( x) f (a)f ( )( 介于 x与 a之间）F ( x)F ( x) F (a)F ( )当 xa 时，a ，而由条件 (3) 知lim f ()lim f (x)x a F ()x a F ( x)故lim f ( x)limf ( x) 。x a F (

20、 x)x a F ( x)注: 1、此定理用来处理 xa 时的 0型未定式极限问题。02、如果极限 lim f (x) 仍属于0型， 且 f (x) 、 F ( x) 又满足定理中的条件，则可x a F (x)0以再使用洛必达法则。即f (x)limf (x)f ( x)limlimx a F (x)x a F ( x)x a F ( x)3、如果 limf ( x) 不存在，不能断言lim f ( x) 也不存在，只能说明该极限不适合x a F ( x)x a F (x)x2sin 11用洛必达法则来求。例如，极限limxlim x0 存在，sinx0 xx 0 xx2sin 111而使用洛

21、必达法则limxlim (2x) 不存在。sincosx 0 xx0 xx例1求极限ex1(2)limcos x1(1) limxx2x0 x0解 lim ex1lim ex1x 0 xx 01limcos x 1limsin xlimcos x1x22 x22x 0 x 0 x0上述定理仅是适合于xa 时的 0型不定式；对于 x0有相应定理。时的 0 型不定式，我们也0定理 2设(1)当 x时，函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋向于零；(2)f ( x)及 F ( x) 当 xX 时存在，且 F (x)0， X 是充分大的正数；(3)lim f( x) 存在 ( 或无穷大 )F (

22、x)则limf ( x)limf ( x) 。xF ( x)xF ( x)这一定理的证明略。定理1 的注解对它同样适用，仅需将x a 改成 x即可。例 2求极限lim 2arctanxln(1 1)(1)1(2)limxxxarc cot xxarctanx12x21解 lim 2lim1 xlim2lim1xx1x1x1x1xx21x21 )1(x 2 )ln(111lim 1211limxlimxx 2limx21xarc cot xx1xxxx11x21x对于 xa (或 x) 时的型不定式，我们有如下相应的定理；定理1 的注解对它们仍适用，仅需作相应地改动。定理 3设当 x a 时，

23、函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋向于无穷大；(2)f ( x) 及 F ( x) 在 a 点的某去心邻域内存在，且F (x)0 ；lim f ( x) 存在 ( 或无穷大 ) ，a F ( x)( x)则lima F ( x)定理 4设f ( x)lim。当 x时， 函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋向于无穷大；(2)f ( x) 及 F (x) 在 xX 时存在，且 F ( x)0 ， X 是充分大的正数；(3)lim f ( x) 存在 ( 或无穷大 ) ，F ( x)则limf ( x)limf ( x) 。xF ( x)xF ( x)例3 求极限(1)lim(ln x

24、)n(n 0)xx(2)limxn(n为正整数，0)xe解lim(ln x) nlimn (ln x)n 1limn(n1)(ln x)n 2xxxxxxn(n1) 2 1 (ln x) 0limn!0limxxxxlimxnn xn 1limn(n 1) xn 2exlime x2 exxxxlimn( n 1)2 1 x0n!1n!n elim0 0 xxn xexn此例中的正整数n 改为一般正实数时，结论仍成立。同学们可以自行验证。这样，我们获得 了一把 函数趋向于无穷大的快慢标尺 。e x(ln x)xe x当 x时， x慢快(ln x)4.1.2 其它类型的未定式上述类型的未定式均可

25、化归为0 型或型的未定式。0例 4 求lim xln x(0)(0型)x0解 lim xln x(0型 )x 0limln x(型)x 01x1limx1(用洛必达法则 )xx 01 lim x0 x0结论可推广到一般lim x(ln x)0( , 均为正实数 )x0例 5 求 lim (11 )(型 )x0sin xx解lim (11 )x 0sin x xlim xsin x0 x sin xcos xlimx0sin xx cos xlimsin x2 cosxx sin xx0002000 , 0 ,1 型的不定式，一般是(型)0(型 )(用洛必达法则)(再用洛必达法则,已非未定式 )

26、(商的极限法则 )幂指函数的极限，可采用对数求极限法。例 6 求lim xx(00型)x0解设yx x取对数 ln y x ln xln x1xy 的极限。对上式两端求极限，最后转化为对函数lim ln ylimln x(型 )x 0 x 01x1limx(洛必达法则 )1x 0 x2limx0 x 0y lim eln ylimln y1从而有limex 0e0 x0 x01例 7 求 lim (cosxsin ) x(1 型)x0 x1ln(cos x sin x)解令 y(cos xsin x) x ,则ln yxlim ln ylim ln(cos xsin x)(0 型 )x0 x0

27、 x0sin xcos xlimcos xsin x(用洛必达法则 ,已非不定式 )x0101110limylimln ye故lim ex0e1x 0 x 01tan x例 8 求lim(0型)x 0 x1tan x解令 y，则xln ytan x ln 1tan x ln xxlim ln ylimln x(型 )1x 0 x0tan x1limx(用洛必达法则sec2xx0tan2 xlimsin 2 xx0 xlimsin xlim sin x0 x0 xx0limy lim eln ylimln y1 。故ex0e0 x0 x0ln x1tan x)利用几个工具极限、求极限四则运算法则

28、，可帮助我们快速地求出许多较为复杂的极限。1.当 x时，(lnx)xe x慢快2. lim x(ln x)0(,均为正实数 )0例9求极限lim tan x ln xx0解 已知极限lim x ln x0 x0limtan x ln xlim x ln xsin x1x 00 x0 xcosxlim (x ln x)limsin xlim1x0 x 0 xx 0cosx1 1 4.3泰勒公式多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在 2.6中，我们已见过：ex1x,sin xx( x 充分小 ) 等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，当然这种近似

29、表示式还较粗糙（尤其当x 较大时），从下图可看出。图 4-3-6上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法进一步地数学化：对复杂函数f (x) ，想找多项式pn (x) 来近似表示它。自然地，我们希望pn (x) 尽可能多地反映出函数f ( x) 所具有的性态如：在某点处的值与导数值；我们还关心pn (x) 的形式如何确定；pn (x) 近似 f ( x) 所产生的误差Rn ( x)f ( x)pn ( x) 。问题1 设 f (x) 在含 x0 的开区间内具有直到n1

30、 阶的导数，能否找出一个关于( xx0 ) 的n 次多项式pn (x) a0a1( x x0 ) a2 ( xx0 )2an ( x x0)n(1)且 pn(k ) ( x0 )f (k ) ( x0 ) ( k 0, 1, n )近似 f (x) ?问题 2 若问题 1 的解存在，其误差Rn (x)f (x)pn (x) 的表达式是什么 ?4.3.1 泰勒 (Taylor)中值定理问题 1 的求解就是确定多项式的系数a0 ,a1 ,an 。pn (x) a0a1 (x x0 ) a2 (x x0 ) 2an (x x0 ) na0pn ( x0 )pn ( x)a12a2 ( xx0 )3a

31、3 (xx0 )2nan ( xx0 )n 1a1pn ( x0 )pn(x)2 1 a23 2 a3 (x x0)4 3 a4 (xx0)2n (n 1) an (xx0 )n 22 1 a2pn ( x0 )pn (x)3 2 1 a34 3 2 a4 (x x0)5 4 3 a5 (x x0)2n (n 1) (n 2) an (x x0 )n 33 2 1 a3pn( x0 )上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：a 0p n ( x 0 )f ( x 0 )1 a 1p n ( x 0 )f ( x 0 )2 1 a 2p n ( x 0 )f ( x 0 )3 2 1 a 3p

32、 n ( x 0 )f ( x 0 )一般地有,k ( k1 )( k2 )2 1 a kp n( k ) ( x 0 )f ( k ) ( x 0 )从而得到系数计算公式,a 0f( x 0 )a 1f( x 0 )1!a 2f( x 0 )2!a 3f( x 0 )3!a kf( k ) ( x 0 ) ( k0 ,1,2 , n )k !于是 , 所求的多项式为 :pn(x)f ( x0 )f (x0 ) ( xx0)f ( k)(x0 ) ( x x0)kf (n) (x0 ) (x x0)n(2)1!k!n!泰勒 (Taylor)中值定理若函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间

33、 ( a, b) 内具有直到 n1阶导数，则当 x( a, b) 时，( x) 可以表示成f ( x) f (x0 ) f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f (n) (x0 ) ( xx0 )nRn ( x)(3)2!n!其中 Rn (x)f ( n1) () ( xx0 )n 1（介于 x0 与 x 之间）( n1)!证 令 Rn (x)f (x)Pn (x) ，下证在 x0 与 x 之间，使得：Rn ( x)f ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1(n1)!由于 f (x) 有直到 ( n1) 阶导数， Pn (x) 为多项式， 故 Rn (x) 在

34、 (a,b) 内有直到 ( n 1)阶 导 数 ， 并 且 Rn ( x0 ) Rn (x0 ) Rn (x0 )Rn (n ) ( x0 )0 。 现 对 函 数 Rn (x) 和( x x0 )n 1 在以 x0 和 x 为端点的区间上应用 Cauchy 中值定理，Rn ( x)Rn ( x) Rn ( x0 )Rn ( 1 )(x x0 ) n 1( x x0 )n 1(x0 x0 )n 1(n 1)( 1 x0 )n（1在 x0 与 x 之间）Rn ( 1 )Rn ( 1 ) Rn ( x0 )Rn ( 2 )(n 1)( 1x0 )n(n 1)( 1x0 ) n(n 1)( x0 x

35、0 )n(n 1)n( 2 x0 )n 1（ 2介于1 与 x0 之间）如此继续下去，经过(n1)次后，一个n 1 介于 n 与 x0 之间，使得Rn ( x)n 1(n1)Rn(n 1)， 显然n1 介于 x0 与 x 之间。(xx0 )(n1)!一般地，记号Rn ( x)Rn(n1)n 1(xx0 )n 1(n1)!又因为 Rn ( x)f ( x)Pn ( x)而 Pn (x) 为 n 次多项式，故当Pn (n 1) ( x)0Rn (n 1) ( x)f (n 1) ( x)Rn ( x)f ( n 1) ( )或Rn ( x)f ( n 1) ( ) ( xx0 )n 1（ 介于 x

36、0 与(xx0 ) n1(n1)!(n 1)!x 之间）。注:1 、 f ( x) f ( x0 )nf (k ) ( x0 ) ( x x0 ) kf ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1k1k!(n 1)!此式称为函数f (x) 按 (xx0 ) 的幂展开的n 阶泰勒公式；或者称之为函数f ( x) 在点x0 处的n阶泰勒展开式。当 n0时， 泰勒公式变为f (x)f (x0 )f (01) ( ) (xx0 ) 0 1f ( x0 )f( ) ( x x0 )(01)!这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项:f ( n1)( )( xx0 )n 1Rn (

37、x)1)!(n为拉格朗日型余项。2、对固定的 n ，若f (n 1) (x)M ,a xb有 Rn ( x)Mxn 1(n1)!x0此式可用作误差界的估计。Rn ( x)Mx00( xx0)( xx )n( nx1)!0( )(n,() 。即误差时较n高阶故)是当Rnxoxx0 xx0Rn (x)xx0(x x0 )无穷小 , 这一余项表达式称之为佩亚诺型余项 。3、若 x00 ，则在 0 与 x 之间，它表示成形式x (01) ，泰勒公式有较简单的形式 麦克劳林 ( Maclourin) 公式f ( x)f (0)f( 0) xf( 0) x 2f ( n ) ( 0) x nf ( n 1

38、) (x) x n 1 (01)1!2!n!(n1)!近似公式f ( x)f (0 )f(0) xf( 0) x 2f ( n ) (0) x n (01)1!2!n!误差估计式Rn (x)Mxn1(n1)!。4、麦克劳林展开式是一种特殊形式的泰勒展开式，容易求。因此求函数f ( x) 在任意点 xx0处的泰勒展开式时，可通过变量替换xx0t化归到这一情况。令xx0t，则 f (x)f (tx0 )F (t)，对函数F (t ) 作麦克劳林展开。4.3.2几个初等函数的麦克劳林公式例 1 求 f ( x)ex 的麦克劳林公式。解(k )( )x(0,1,2, )fxeknf (0)f (0)f

39、(0)f (n ) (0)e01 ， f ( n 1) ( x) e x于是ex1x x2xne xxn 1 (01)1!2!n!(n1)!ex1xx2xn有近似公式1!2!n!Rn ( x)e xn1其误差的界为(nx1)!我们有函数(1) 、ex 的一些近似表达式 :y 1 x(2) 、 y1 x1 x2(3) 、 y 1 x1 x21 x3226例 2求f ( x)sin x的n 阶麦克劳林公式。解f ( n) ( x)sin( xn )f (n) (0)sin n22f (0)0, f(0)1, f(0)0, f ( 3) (0)1, f (4 ) (0) 0,它们的值依次取四个数值0

40、,1,0, 1sin x xx3x5( 1) m 1x2m 1R2m ( x)3!5!(2m 1)!sinx ( 2m1)其中 :R2m ( x)(2m 1)!2x2 m 1 (01)函数 ysin x的一些近似表达式并给出它们的图象( 见图 4-3-7)(1) yx (2) yx1 x3(3) yx1 x31x5(4) yxx3x5x7661203!5!7!x3x 5x 7x3y x 3 !5 !7 !y x43!yx26420224图 4-3-7同理有：cosx1x2x4(1)mx2 mR2 m 1()2!4!( 2m)!x ，其中： R2m 1 ( x)cos( x(m1) x2m2(0

41、( 2m 2)!例 3 求 (1 x) 的麦克劳林公式解y xx3x53!5!ysin x46。(1 x) 1x(1) x2(1)(2) x3( 1)(2)(n 1) xnRn ( x)2!3!n!其中： Rn ( x)(1)(2)(n) xn 1(1 x)n 1 ，（ 01）(n 1)!例 4 求 ln(1x) 的麦克劳林公式。解ln(1x)x2x3( 1) n 1 xn( )x3nRn x2(1)nn! xn 1n1xRn (x)(1x) n 1( 1)n 1。(n1)!(n1 1x例 5 求 f ( x)tan x 的麦克劳林展开式的前四项，并给出佩亚诺型余项。解 (tan x)1cos

42、2 x(tan x)2 cos x( sin x) 2 sin xcos4 xcos3 x(tan x)2 cos xcos3 xsin x 3cos2 x ( sin x)2cos2 x 6sin 2 xcos6 xcos4 xtanx x00,(tan x)x 0 1,(tan x) x 0 0,(tan x) x 0 2于是tan xx2 x3o( x3 )3!利用泰勒展开式求函数的极限， 可以说是求极限方法中的 “终极武器” ， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。例 6 利用泰勒展开式再求极限lim tan x3sin x 。x0 x解tan xx1 x3o(x3 ) ，si

43、n xx1 x3o( x3 )36tan xsin x x1 x3o(x3 ) x1 x3o(x3)36( xx)(1x31x3 )(o(x3)o( x3 )361 x3o( x3)2lim tan x1 x3o( x3 )1 x33sin xlim 2x3lim 2lim o( x)1x 0 x3x 0 x 0 x3x 0 x32注: 现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为 tan x x sin x( x0)，从而lim tan xsin xlimxxlim 00 x 0 x3x0 x3x0当 x0 时， tan xsin xxx 0 ，应为tan xsin x1 x3o(x3

44、)2例 6三阶泰勒公式求sin 18的近似值，并估计误差。解：181818010 x3sinx52sin x x(1)31x53!5!故： sin101()30.3094251061015R4( )( )510 52.55 10 5 。105!101204.4导数的应用 (1)函数的单调性从图 4-4-7 可观察到函数yexx1与它的导函数yex1 在 1,1 上的图象 :yex1yexx1图 4-4-7函数 yexx1 在 1,0) 上是单调减少，在(0,1 上是单调增加；其导函数 yex1 在 1,0) 上小于零，在(0,1 上大于零。函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?yyABy f

45、( x)y f ( x)BAoabxoabxtanf ( x) 0tanf ( x) 0图 448我们从图4-4-8 可观察到函数yf (x) 在 a,b 上单调增加 ( 减少 ) ，则它的图形是一条沿 x 轴正向上升 ( 下降 ) 的曲线，曲线上各点处的切线之斜率均为正的( 负的 ) ，即：yf ( x)0 (yf ( x)0 )这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函数的单调性 , 下面我们用拉格朗日中值定理来讨论这个问题。设函数 yf ( x) 在 a,b 上连续 , 在 (a, b) 上可导， 任意 x1 ,x2 a,b( x1x2 ) ，则f (

46、x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1)( x1x2)若在 (a,b) 内 f (x)0 ，则 f ( )0 ，从而f (x2 )f ( x1 ) ；即函数 yf (x) 在 a , b 上单调增加；若在 (a,b) 内 f (x)0 ，则 f ( )0 ，从而f (x2 )f ( x1 ) ，即函数 yf (x) 在 a , b 上单调减少。我们讲上述讨论归纳为如下定理:定理 1 ( 函数单调性判别法)设函数 yf ( x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 上可导，(1) 若在 (a, b) 内 f ( x)0 ， 则 yf ( x) 在 a, b 上单调增加；(2) 、

47、若在 ( a, b) 内 f ( x)0 ， 则 yf ( x) 在 a,b 上单调减少。注:1、判别法中的闭区间若换成其它各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。2、如果在(a,b) 内 f (x)0 (0 ) ，且等号仅在个别点处成立，则yf ( x) 在 a,b 上单调增加 ( 减少 ) 。（见例 4）3、以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。例 1 讨论函数yexx1的单调性。解 函数的定义域为(,) ， 且 yex 1当 x(,0) 时，y0 ， 故函数在 (,0) 上单调减少；当 x(0,) 时，y0 ， 故函数在 (0,) 上单调增加（见图4-4-7 ）。我们注意到 , x0

48、是函数单调减少区间(,0 ) 与单调增加 ( 0,) 的分界点， 且函数在分解点的导数为零，即y (0)e010例 2 讨论函数yx 的单调性。解 函数的定义域为(,) ，当 x(,0) 时，yx ，y10 ，故函数在 (,0) 上单减；当 x(0,) 时，yx，y10 ，故函数在 (0,) 上单增。我们看到，函数在单调减少区间(,0 ) 与单调增加 ( 0,) 的分界点为 x0 ，且函数在分解点不可导，即y (0) 不存在。一般讲， f ( x) 在定义域内未必单调，但可用适当的一些点把定义域分为若干个区间，便得 f (x) 在每一个区间上都是单调函数。而这些分点主要有两大类：其一是导数等于

49、0 的点，即 f ( x) 0 的根；其二是导数不存在的点。事实上，只要f (x) 在定义域内连续，且只在有限个点处导数不存在，则可用分点将区间分为若干个小区间，使得 f ( x) 在各小区间上，保持有相同的符号，即恒正或恒负，这样f ( x) 在每个小区间上为增函数或减函数，各小区间则相对地称为单增区间或单减区间。例 3 试确定函数y8的单调区间。2xx解： 当 x 0 时，函数无定义，故函数在 x0 处不可导；当 x82x 28 2( x 2)( x 2)0 时， 导函数为 y 2x2x2x2令 y0 得： x2于是，点 x2,0,2 将函数定义域 (x0 ) 分划成四个区间 (, 2)、

50、(2,0) 、(0,2) 、 (2,) ，列表讨论如下：x(, 2)(2,0)(0,2)( 2,)+-+f ( x)yf (x)例 4 讨论函数yx3 的单调性。解 函数的定义域为(,) ，它的一阶导数为y3x2 ，除去点 x 0外，恒有 y 0因此，函数在区间 (,0) 及 (0,) 上单调增加。 故函数在 ( , )单调增加。利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。例 5 试证明：当 x4 时， 有 2 xx2 。证 作辅助函数() 2x24, )，f xxx ，f xxx( )2 ln 2 2f ( x) 2x (ln 2)22 2 2 x 3 (ln 4) 2 1 ，当 x 4,

51、) 时，2x 32 ，(ln 4)21 ，故f ( x)0,x4,) ， f ( x) 在 4,) 上单调增加，从而有f ( x)f (4) ，而 f (4) 24 ln 2 2 4 16 ln 2 8 8 (ln 4 1)0 ，于是f ( x)0 ， f (x) 在 4,) 上也单调增加。从而有f ( x)f ( 4)244216160 ，即2xx2 x4,) 。该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助此法。例 6 求方程 ln xax （其中 a0 ）有几个实根？1解 设 f ( x)ln x ax x (0, ) f (x) a x令 f( x)0, 则 x1，用 x1

52、)分为 (0,1) 和 (1,) 二个区a点将其定义域 (0,aaa间，且当0 x1时 ， f(x)0， 所 以 f ( x) 在 (0, 1) 是 单 增 的 ， 故 当 x1时 ，aaaf ( x)f ( 1 ) 。a当 1x时， f ( x)0，所以f ( x) 在 1 ,) 上为单减的，故当x1时，aaaf ( x)f ( 1 ) 。a由以上讨论知，当x1时， f ( x)f ( 1 )(1ln a)aa即对x(0,), f ( x)(1ln a) ，下面来讨论 ln xax 有几个实根 ：（a）若 (1ln a)0 ，即 a1时， f ( x)0 ，即方程无解。e（b）若 (1ln

53、a)0 ，即 a1时， f ( x)0 ，且仅在 x a1f (x)0 ，e时，有e此时，方程有唯一的解。（ c）若 (1ln a)0，即0a1时， f ( 1 )0 ，又在 (0, 1 ) 上， f ( x) 单增，且eaalimf ( x)，故在 (0, 1 ) 上，函数 f ( x) 与 x 轴有一个且只一个交点，即方程的根，又x 0a在1,1 ,) 上， f ( x) 单减，且 limf ( x)，故在 ) 上， f ( x) 与 x 轴有一个且只axa有一个交点，即方程的根，合起来，此时方程有二个实根。函数的极值及其求法定义设函数 f (x) 在区间 (a, b) 内有定义，点x0

54、是 (a,b) 内的一点。若存在点x0 的一个邻域，对于该邻域内任何异于x0 的点 x ，不等式f (x)f ( x0 )(f ( x)f (x0 ) )成立，称f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值 ( 极小值 ) ；称点 x0 是函数 f ( x) 的极大值点 ( 极小值点 )。函数的极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点统称为极值点。yyf ( x)ax1ox2x3x4x5x6 x7b x图 4-4-9关于函数的极值，如下几点注记是十分重要的。1、函数的极值概念是一个局部概念。如果 f ( x0 ) 是函数f ( x) 的一个极大值，那只是对x0 的一个局部范围

55、来说f ( x0 ) 是f ( x) 的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说，f ( x0 ) 就不一定是最大值了。对于极小值也是类似的。2、极小值有可能较极大值更大。图4-4-9的 函 数f ( x) 有 两 个 极 大 值f (x2 )、f ( x5 ), f ( x7 ) ， 三 个 极 小 值f ( x1 )、 f ( x4 )、 f ( x6 ) , 其中 f (x2 )f ( x6 ) ( f (x2 ) 是极大值，而 f (x6 ) 是极小值)从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线( 当切线存在时 ) 或者没有切线，如曲线在xx7 处，但有水平切线的点不一定是极值

56、点，如曲线在xx3 。现在，我们来讨论极值存在的必要条件和充分条件。定理 2 ( 可导函数取得极值的必要条件)设函数 f ( x) 在点 x0 处具有导数，且在x0 处取得极值，则f (x0 )0 。定理 2 的结论可换成等价的说法：可导函数的极值点必定是为驻点。反过来，函数的驻点不一定就是函数的极值点,例如函数yx3 的导数为 y3x2 ，f (0)0 ，因此 x0 是这可导函数的驻点，但x0 却不是这函数的极值点。定理 3(函数取得极值的第一充分条件)设函数 f ( x) 在 x0 处连续，且在0 x0 的某个去心邻域 U (x0 , ) 内可导，(1) 若 x( x0 , x0 ) 时，

57、 f ( x)0；而当 x ( x0 , x0) 时， f (x)0 ，则 f (x) 在x0 处取得极大值；(2)若 x( x0, x0 ) 时， f (x)0 ；而当 x( x0 , x0) 时， f (x)0 ，则 f (x)在 x0 处取得极小值；0(3) 当xU( x0 ,)时，f (x) 的符号保持不变，则f (x) 在x0 处没有极值。图证4-4-10证(1) 由函数f ( x)在( x0, x0 ) 单调增加,即当xx0 时，f ( x)f (x0 )；在( x0 , x0) 单调减少，即当xx0 时，f (x)f (x0 ) . 又由于函数f ( x)在x0 处连续，因此x0

58、 是f ( x) 的极大值点,f (x0 )是f ( x)的极大值类似可以证明(2) 及情形(3) 。（图4-4-10）根据上面的两个定理，如果函数f ( x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可以按下列步骤来求在该区间内的极值点和相应的极值:求出导数 f (x) ；求出 f (x) 的全部驻点与不可导点；考察 f ( x) 的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点，进一步是极大值点还是极小值点；并求出各极值点的函数值，就得函数f (x)的全部极值。例 7 求函数f (x)x33x29x5 的极值。解 (1) 函数的定义域为(,) ，且f( x)3x2

59、6x9 3( x22x 3) 3( x1)( x 3) ，(2)令f(x)0 ，可得到函数的驻点 : x1,3 。(3)当x(, 1)时，f(x) 0 ，当 x( 1,3) 时，f ( x) 0 ，故 x1 是函数的极大值点，且函数的极大值为:f ( 1) ( 1) 33(1)29(1) 5 10。当x(3,) 时， f ( x)0 ，故x3 是函数的极小值点，且函数的极小值为f (3)333 329 3522 。另外我们要注意函数的不可导点，也是函数可疑的极值点，在讨论函数的极值时，应予以考虑。 例如 yx 在 x0 处不可导， 但函数在 x0 处取得极小值， 故点 x0 是函数的极小值点。

60、2例 8 讨论函数y1(x2) 3 的极值。解 (1)函数的定义域为 (, ) ，且 x2 时， y2,3 x32当 x2 时， y 不存在。(2) 当x(,2) 时，f ( x)0 ，函数单调增加，当x( 2,) 时，f ( x)0 ，函数单调减少，故 当 x2 时，尽管 y 不存在，由上面的单调性可知，图 4-4-12x 2是函数的极大值点，且y(2) 1是函数的极大值（图4-4-12 ）。定理 4( 函数取得极值的第二充分条件)设函数f ( x) 在点 x0 处具有二阶导数，且 f ( x0 )0 、 f ( x0 )0，则当当f ( x0 )0 时， 函数 f (x) 在 x0 处取得