不等式的几种证明方法及其应用

1、 PAGE PAGE 4不等式的几种证明方法及其应用利用构造法证明不等式(P2) 方法常有以下几种形式：构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法例1设x,y,zR，证明x xy y 3z(x y z) 0 成立解令f(x) x(y3z)x y3yz 3z2 为x的二次函数由 y 3z2 4y 23yz 3z2 y z2 知 0 f (x 0故x x

2、y y 3z(x y z) 0 恒成立对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函f(xx) 2 ( ax)2 (ax 2 f (x) 0得出 0 ，从而即可得出所2n需证的不等式2n例2设a,b,c,dR，且abcd 1，求证4a14b4a14b14c14d1 6 2(P18) 证明令 f(x)=(4a1x1)2 (4b1x1)2 (4c1x2(4d 1x 24a14b14a14b14d 1)x4(因为abcd 1)4a14b14c14c1由f(x)0得0即4(4a14b14c14c14a14b14c14d4a14b14c14d12利用函数有界性若题设中

3、给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数例3设abc 求证12(P18) 证明令f(x)(ac)xac1为x的一次函数因为a c所以facac1c0f(acac1c0 即 xf(x) 0又因为b，所以f(b)0，即10利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决a2a2 an1 a1 a2 an11 a1a21 a2an1 an例求证M分析通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子，于是构造函数f(x)x(x 0)证明构造

4、函数f(x)x(x 0)1 x1M1 x (x)1 0f(x在0,(1 x)2令 a2 an ，x2 a2 an 因为 x2 f(x1 f(x2 a2 an1 a2 ana1 a2 an1 a1 a2 ana21 aa21 a2 anan1 a2 an ana11 a2a11 a21a11 a21 a2an1 an利用函数奇偶性x例求证 x (x 0) 12x2xx2x)证明设f(x) 12f(xf(x) 2 2x) ，2x) x(2x2x)f (x) 2x)2(2x1)2x f (x)，所以 f (x) 是偶函数当x 02x 1，所以1 2x 0 f (x 0y x 0f (x) 0即当x

5、0时，恒有f(x)0，即x x(x 0)12x2的关键构造几何图形证明不等式. 1(P52) 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：构造三角形3(P1)x2 y2x2x2 y2x2z2y2 z2AO分析注意到xxy y xy2xy，于是x2 y 2x2 y 2第三边，由此，易得出下面的证明:证图1 在内取一点O，分别连接OB,OC ，使 CB图 1AOB BOC 120， x, y, zx2 x2 y2，AC ，BCx2z2yx2z2y2 z2注该题可做如下推广:已知x,y,z 为正数，0 ，0 ，0 ，且x22xycosy2x22x22x

6、ycosy2x22xzcosz2y22cos z2令, , 为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式例7已知正数a,b,c,m,n,k满足ambnck p,求证anbkcm p2anDmFb证明图为p的正三角形ABC，在边AB,anDmFb上依次截取AD a, m,BEc,EC k, b,FA nSADF SDBE SFEC SABC3333BcEkC3333所以ancmbk p2，即anbkcm p2图24444构造正方形3(P1)例8已知xR ,a,b,c,d 均是小于x的正数，求证a2(xa2(xb)2b2(xc)2c2(xd)2d2(xa)2 4x 分析观察不等式的左边各式，易联想到用

7、勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边且a(xa)b(xb)c(xc) d (xd)，所以可构造边长为x的正方形证明图为x的正方形ABCD，在边AB,BC,CD,上A HbDAEa, EB xa, BFd, FC xd c，GD xcDH b xb EFGH 的周长为a EBdFx-c GcCa2 (x b)2a2 (x b)2b2(xc)2c2 (x d)2d2(xa)2EFGH ABCD 的周长， 从而命题得证构造矩形例9已知x,y,z为正数，证明 (x y)(y z)分析两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍证明图4 ，造矩

8、形ABCD使ADAB y x, EC z设AEDS矩形ABCD SABE SECD SAED 知111x yCBCEy(xz )xy yz (x y)(yz4222化简得 (x y)(y z)因为0 1，所以 (x y)(y z)当且仅当 90)构造三棱锥例10设xy z 求证x2 y2 y 2 z 2z 2 zx x2 4(P129) 分析注意到x 2 y 2 夹角为60 的三角形的第三边，同理x2 y2 2xy cos60 xy 为边，y2 z2 ，z2x2O也有类似意义证明图为O的四面体O ABC，使A 60 ， x, y, z ，则有ABx2 y2 ，BCy2 z2 ，AC z2x2

9、CB5在ABC AB BC AC ，即得原不等式成立注该题还可做如下推:已知x,y,z为正数，0 ,0 , 0 时0 且 ,求证x2 2xycos y2 x2 2xzcosz2 y2 2cos z2 .10 便是当 时的特殊情况构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想5 PAGE PAGE 132n 1例11证1 3 2n12n 1242n分析令P 1 32n中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为242nP的一个对偶式Q242n352n 1证明设P 1 32n1的对偶式Q242n242n因为0 PQP (132n1)(2

10、42n)1所以P1242n352n12n 12n2n1注构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、反关系、对称性关系等来构造对偶式构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明例12证:不等式2n1 n!，对任何正整数n都成立1(P55) 分析不等式可变形n1n12, n列an,其中an ,1 12只需证an a1 即可2n2n12n 2n1(nn)2n1对于任意正整数n，an1 an (n(n(n 0 ，所以an是递减数列所以an 1构造向量证明不等式利用向量模的性质例13

11、知a,b,c,dR,求证a 2 b2b2 a 2 b2b2 c2c2 d 2d 2 a22(abcd)2 OD证明在原点为O的直角坐标系内取四个点：b,bbc,bcdbcd,bcd 2 ODOAABBCCDOAABBCCD，该不等式显然成立利用向量的几何特征例4设an，Sn 是前nlog 0.2 Sn log 0.2 Sn220.25(P31)Sn1S分析可将上述不等式转化为SnSn22 Sn S, 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明证明设该等比数列的公比为q，如图6，构造向量A1,1,B Sn1,Sn , C 1 Sn1,1 Sn Sn2,Sn1，则 ，故O,C,B构成平行四边形y由于O

12、B 在对角线OC 的两侧，所以斜率kOA kOB 中CA必有一个大于kOC ，另一个小于 kOC B因为a是由正数组成的等比数列，所以kOC Sn1Sn2 1 kOA，Ox图 6所以kOB kOCSn， 即nSn1Sn1 SnSn2nSn22 Sn Sa ba b a bcos 找a b出不等关系，如a b a b,等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再aba b举例说明aba b利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式换元法主要有以下几种形式：2三角换元法2例15知xy求证x2 2xy y2 证明设x rco

13、s,y r r ，则2x22xyy2 r2cos22r2cosr22r2cos222r2cos2 2r2sin2r2 44注这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用若题设为x 2y 可设x cos,2y 题设为x2 y 2 可设x secy tan 等均值换元法例16设x,y,zR,x yz求证x y z 1 2(P12) 3证明设x1 ,1 ,1其中 0则333x2 y2 z2 (1)2 (1)2 (1)2 1 )2 2 2 133333(当且仅当 时取等号)增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明xy例17知x y 0,求

14、证xyx y6(x y证明由x y 可令x yt(t 0)yty因为yt yt 2(t )2，ytyy tytxyx y所以， y tytxyx y利用概率方法证明不等式7(P51)利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题A0 P1，证明不等式例18证明若0ab则ab1分析由0ab可把a看做事件A发生的概率，b看做事件B发生的概率 证明设事件A与B相互独立，且P( a,P(B)b,则PABPP(BPABabab 因为0 PAB所以0ab1，所以ab1Cauchy-Schwarz(E(2 E2E2i ii ii例19设i0，0in， 则 (ab

15、 )2(a2b2 ) 证明设随机变量,满足下列要求i1i1i1PaiP(b)=1(i 1,2,n)，n)=1(i 1,2,n)，in1(i j)P( aibj) n0，(i j)21n21n21n则 Enai ，Eni，E)naii i1i1i12221n21n21n2由(E)EE得2 (aii ) (ai (i )nnni1i1i1nnni ii即(ab)2(a2)(i iib2 ) i1i1i1用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中

16、值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理8(P120)若函数f(x)在上连续b在b内至少存在一点 f ( f (b f (a) b a例20知b 0,求证b arctanb b1 b2证明函数x在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有arctanbarctan0(arctanx)x(b 0)b，(0,b)1 2而bb b ， 故原不等式成立1 x212泰勒定理8(P138)若函数f(x)在b 至n在b内存在阶导函数，则对任意给定的x,x0 使得f (x)f (n)(x)f ( n1)()0f (x) f (x00) (xxx0)0(x x )00(x x )0(x (n )n1该式又称为带有拉格

17、朗日余项的泰勒公式例21设函数f(x)在上二阶可导，且 f (x) M ，f(ab)ba试证2f (a) f (b) M49(P69) 证明将函数f(x)在点a b展成二阶泰勒公式2f(x) f(ab) f (ab)(xab) 1f ()(xa b)222222f (ab)(xab)f ()(xa b)2 12将x ab代入上式得122222f(a) f (ab)(1)2222f ()，f(b) f(ab)(1) 22f ( ) f (a f (b) 1 (8 () f () 1取绝对值得f(a) f(b)1利用极值1 ( f 8) f ) ) M 242例22设a21为任一常数，求证x2x1

18、 ex x00(8) 证明原问题可转化为求证f(x) ex 2ax 1 0 (x 0) f(0 0,(x)e2x 2a 0f (x e 20(xx2当x2 (x 0当x2(x) 0 所以 x0 (x) f 2) 2 22 2a 2) 2a 0所以原不等式成立利用函数的凹凸性定义10(P193)f(x)在区间I 上有定义，f(x)称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：x , I f x2 ) f(x1) f(x2)（ f ( x2 )f(1) f(x2) 122222推论10(P201)若f(x)在区间I 上有二阶导数，则f(x)在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：f (x) 0（f (x) 0n

19、 a1a2 ana1 a2 n a1a2 an例23明n(a0,i 1,2,n)11(P125)证明令f(x) x,则 (x) 1 , (x) 1 0，所以ixx2if (x) x 在上是凹函数，对a2 ,an (0,有ln a1 a2 an 1 ln a ) ，nn12nn a1a2 ana1 a2 n a1a2 an所以n例24对任意实数a,b,有ab2 1(ea 2eb12(P80) 证明设f(x)ex，则(x)e 0, x (,) ，f (x为(,x a,xbfabf (a) f (b)ab即e 21(ea2eb )12225 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式4(P1

20、33)n a1a2 an定理 1设,a2,an 是n个正数，则H(n)G(n) A(n)n a1a2 anH (n)n1 1 1a2an, G(n) , A(n) a1 a2 an ,na21aa21a22na2n分别称为a1,a2,an的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值例25知0a xy 0求证a(aaaay)a2 1ax ax ayax yax y证明由0aax y0,a0ax ay 22，从而得aloga(ax ay)a) a 2x y，2故现在只需证x y 1或x y1即可而x y xx (x 1)21当x 1时取等号)，a所以loga(aaay)a24422 18Cauchynnn24(P135)设,R(i1,2,24(P135)设,R(i1,2,nab (a)2b1 b2 bn时等号成立.i1i1i1a2an1 n2 n2 1 n2 212(P33)例26式 (a) ai i i1 i1 i12nnn2证明因(ai i )(ai i )ai (ai1i1