同济大学《高等数学(上)》期末试卷及答案

1、试 题一、填空、选择题111lim=x x02e 的带佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是2x3已知2)dx=lnx+C，则函数=4设有下列4个条件：() (1)fx在a,b上连续() (2)fx在a,b上有界() (3)fx在a,b上可导() (4)fx在a,b上可积则这4个条件之间的正确关系是(A)(3) (4) (1) (2)(C)(3) (2) (1) (4)(B)(3) (1) (4) (2)(D)(1) (3) (4) (2)5设两辆汽车从静止开始加速沿直线路径前进，图5中给出的a两条曲线a=a=aa=a122A两条曲线和直线t=T0)之间的图形的面积A所表示的物理意义a=a1OTt是x

2、 1图52二、已知函数y=+2，利用导数研究函数的性态并填写下x3表，并写出计算过程渐 近 线增加区间 减少区间三、计算导数：x=arcsin1 t ,2dy(0t dxuy=du,u1x=，求f 1 x2四、计算下列积分：x3(1)dx；1+x2arctan x(2)dx；xlnx(3) +dx；x21 +0，有a= ；f(x)dx 0(1)(2)a若f(x)连续且为偶函数，则对于任意的a0，有af(x)dx 2 f(x)dx=aa0现在考虑连续函数g(x).设x 为一常数，g(x)满足以下的性质I或性质II:0性质I：对任意的x，g(x x)=g(x +x)；00性质II：对任意的x，g(

3、x x)= g(x +x)00试将(1)式推广到满足性质I的g(x)上,将(2)式推广到满足性质II的g(x)上，写出相应的结果并加以证明六、设函数y = f(x)具有二阶导数且f(x)0，直线L 是曲线y = f(x)上任一点t, ft)处t的切线 t 记直线L 与曲线 =y f(x)以及直线x=0、x=1所围成的图形的面积为t)t1 证明：t)的最小值mint)= f( )1f(x)dx20t10七、 +y )dx 2xyd y =(x22(1)求解初值问题y=0.x1(2)设 =y y(x)满足微分方程y3y+2y =2e ，且其图形在点处的切线与曲线(xy = x x+1在该点的切线重

4、合，求函数y= y(x)2参 考 答 案一、11 x) x+ x) x+ 111 x+11lim = lim=lim=lim= x + x)x+ x)x2x22x0 x0 x0 x042e =1+2x+2x + x +o(x )2x23331213因为 (x )dx =f (x )dx = f(x )+C ，故222221f(x ) = 2lnx+C =lnx +C，22因此，=+ f(x) lnx C4因为可导必连续，连续必可积，可积必有界，因此选(B)5 时刻两车速率之差T3 x2x4 6)2二、，x5令y=0，得驻点：x=3令y=0，得拐点横坐标：x=6x 1x 122而+2)=2+2)

5、=x3x3xx0渐 近 线 (, 6,5铅直 =06,+2)x=3水平y=2 6 3 3 6, 6三、dy1dy(1) =1 2dt=l1=dxdxldt1 211 1= ()2 1 x 1+x2 x)n+1 n+11(nf = 四、x321uu=x(1)dx=du2 1+u1+x2131= u) u) +C223131= x) x) +C22223arctanxdx=2 arctanxd( x)(2)x1=2xarctanxdx1+x=2xarctanx x)+C1x1x+1(3) +dx=1x21u(4)2 1)dx=101ue du=0+u )du+12u1011 1= 6 2e五、性质

6、I和性质II分别推广为x +ag(x)dx=0，0 x a0 x +ag(x)dx=2 +a g(x)dxx00 x ax00因为x +ag(x)dx =gu+ x )dux=u+xa000 x aa0而性质I表明，hu)= gu+x )为奇函数，因此0 x=u+xag0gu+x )du =0；00 x aa0而性质II表明，hu)= gu+x )为偶函数，因此0( + )d = 2 x +a ( )d g u x u g x xx=u+xu=xxx +ag(x)dx =agu+x )du =2a000000 x a六、切线方程为a000y ft)= ft)(xt)，因此所求面积为t)=1f t x t f t f x x ( )( )+ ( ) ( )d01= ft)t ft)+ ft)1f(x)dx20dt)dt1= tf t)2dt)1令=0得唯一驻点t = ，易知该驻点为极小值点，从而必为t)取得最小值的点，因此dt211 f(x)dx mint) = A= f1 2 2 0t10七、dy 1 x 1 yy(1)=+ ，令u = ，则dx 2 y 2 xxdu 1u2x= ，udx解得1=Cx1u2由初值，解得C =1，故所求特解为x = x y 22(2)r2 r+2=0，解得特征值为r =1，r = 212设特解为y =