《高等数学》第04章 不定积分习题详解

1、 解：在积分表中查得公式（28）J1dxJ1dx=(b+ax2)22b(ax2+b)+-1J2bax2+b于是现在a=于是现在a=1,b=1，于是J1dx=(1+x2)2_+arctanx+C2(x2+1)2x2+12(x2+1)dxJx、xdxJx、x2-1解：在积分表中查得公式51)J1dx=iarccosaax、x2一a于是现在a=1，于是(5)Jx2、；x2-2xdx解：令t=x-1(5)Jx2、；x2-2xdx解：令t=x-1，因为Jx2i：xJ吕x、x2-1二arccos-1+Cx2-2xdx=Jx2：(x-1)2-Idx=J(t2+2t+1)t2-Idt由积分表中公式（56）、（

2、55）、（54）Jx2Jx2-a2dx=(2x2-a2)#x2-a2-lnx+px2-a2+C88a21Jx、：x2-a2dx=十(x2-a2)3+Cfix；a21Jx2-a2dx=寸x2-a2-一lnx+屮x2-a2+C22于是x一1Jx2.x2-2xdx=2(x-1)2-a2)J(x-1)2-a285a2一Inx-1+J(x-1)2一a2+dx解：在积分表中查得公式（16）、（15）dxJx2Jax+b、ax+baf2bxaxdxJx2Jax+b、ax+baf2bxax+bdxbxdxJFx、ax+bi1ax+b小arctan+Cb于是现在a=2,b=1，于是fdxx2、：2x一1dx,=

3、_1+2arctanJ2x1+Cxv2x1x7)Jcos6xdx解：在积分表中查得公式(135)Jcosnxdx=cosnixsinx-_1Jcosn2xdxnn现在n=6，重复利用此公式三次，得fd1.5.15(1.2x、厂coS6xdx=coS5xsinx+coS3xsinx+(sin2x+)+C.2424428)Je2xsin3xdx解：在积分表中查得公式(128)Jeax(asinbxbcosbx)+Ca2+b2现在a=2,b=3，于是Je2xsin3xdx=右eax(2sin3x3cos3x)+C=占eax(2sin3x+3cos3x)+C.本章复习题A、填空.sinxsinx已知函

4、数已知函数y=f(x)的导数为y=2x，且x=1时y=2，则此函数为y=x2+1.已知F(x)是的一个原函数，则d(F(x2)=2dx.xx3)如果Jf(x)dx=xInx+C,则f(x)=Inx+1.4)已知Jf(x)dx=sinx+x+C则Jexf(ex+1)dx=sin(ex+1)+ex+1+C.5)如果Jf(sinx)cosxdx=sin2x+C则f(x)=2x.、求下列不定积分.1)1+C0S21)1+C0S2x1+cos2x1+cos2x11+cos2x解：Jdx=Jdx=J1+cos2x1+2cos2x-12cos2xdx=J(1+sec12x)dx=x+tanx+C2)解：丿竺

5、=JS=-Jd(e-x+D=-ln(ex+1)+C1+ex1+e-x4)5)解：解：4xxdx-2-3x-5-2xdx=xdx=In3-In4x+5土+Cln2J(arcsinx)2dx=xarcsin2x一2Jarcsinx-dx1一x2=xarcsin2x-2Jarcsinxd1-x2=xarcsin2x-21-x2arcsinx+2匚,1-x2darcsinx=xarcsin2x-2、1-x2arcsinx+2x+C解：令t=：x+1，则x=t2-1，于是=J当=J詈=J(占-占dt=in解：J乂dx(1+x2)2=Jxdx=J1+x2(1+x2)21+x22(1+x2)+C7)dx解：

6、J(arcsinx)2*1-x2=J(arcsinx)-2d(arcsinx)=1+Carcsinxd(9-4x2)(9)解：Jtan5xsec4xdx=Jtan4xsec3xdsecx=J(sec2x-l)2sec3xdsecxsec8xsec6xsec4x=J(sec?x2sec5x+sec3x)dsecx+C83410)nn10)解：令xsint,tw(2,2)，于是11)12)J=J竺竺=J1+cost-1dtt11)12)J=J竺竺=J1+cost-1dttJ1+V1x21+cost1+costdx-1J1+costtC0S22ttt2smsinttan+Carcsinx22+C22

7、t.t2cossm22arcsinx1小一x2+C21J11J11解：Jx3ex2dxx2dex2x2ex2ex2dx2x2ex2ex2+C22222解：JIn1nxdxJginxdlnxln|lnx|+Cx1x0、设f(x)=x+1,0 x1解：f仁)在(-卩+)上连续，则必存在原函数F(x)，使得C2,x00 x1又F(x)须处处连续，有lim(x+C)lim(x2+x+C)x1x+22，即CC,12lim(x2+C)=lim(x2+xlim(x2+C)=lim(x2+x+C),xTl-2彳=C,可得C=丄+C,2XT1+联立并令C13即1+C=_+C322C=1+C.3四、若IC,x00

8、 x1Jtannxdx,n=2,3,证明：tann-1x-1n1n-2证明：因为I=Jtannxdx=Jtann-2xtan2xdx=Jtann-2x(sec2x-1)dxn=Jtann-2xsec2xdx-Jtann-2xdx=Jtann-2xdtanx-Jtann-2xdxnntann1xIn-1n-2tann-1x-1n1n2本章复习题B、填空.11-2e-11-2e-x2)3)x2+x2+cx+c153124)(-2x2-1)e-x2+c、求下列不定积分.arctanex(1)Jdxe2xarctanexdx=e2xexdx1+(ex)2e2x-Jarctanexdearctanexd

9、x=e2xexdx1+(ex)2e2xarctanex-J(丄一e)dx=-1(e-2xarctanex+e-x+arctanex)+C。ex1+e2x2dx(2)J-x2t解：令t=tan，贝ysmx=2x2t解：令t=tan，贝ysmx=21+12-t2cosx=1+12x=arctant,dx=帀7dt。于是Jdx=1J(1+1)dt=1lntan-+1tan2-+Csin2x+2sinx4t4282(3)Jln(x+、；1+x2)dx；解：Jln(x+p1+x2)dx=x-ln(x+、；1+x2)-Jxdln(x+；1+x2)dx1x82=x-ln(x+J1+x2)-Jxdx1+x2=xln(x+、1+x2)-；1+x2+Cxex(4)Jdxex12u解：令u=1：ex一1，则x=ln(1+u2),dx=du,于是有1+u2J座dx=J(1+u2)ln(1+u2)2udu=2Jln(1+u2)du.Jex-1u1+u2)-J4u2du=2uln(1+u2)-4u+arctanu+C1+u2=2xvex14讨ex1+arctan0时，有f(x)F(x)=sin22x,又F(0)=1,F(x)0，求f(x).解：因F(x)是f(x)的原函数，则f(x)=F(x).于是sin22x=f(x)