函数恒成立问题端点效应

1、函数恒成立专题01：可求最值型基础知识：(1)不等式f(x)0在定义域内恒成立，等价于fQ)0；min(2)不等式f(x)0在定义域内恒成立，等价于f(x)0，f(x)=12x4lnx-3x4-c-2c2恒成立，求c的取值范围。【例2】函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-kx+1在区间(-上恒有f(x)0，求k可以取到的最大整数。【变式1】函数f(x)=-2x2+4x,g(x)=aInx(a0)，若f(x)0时，(x-k)f(x)+x+10，求k的最大值。【变式3】【2012新课标理】已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+1x22I求f(x)的解析式及单调区间；II若

2、f(x)x2+ax+b，求(a+1)b的值。2专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函数f(x)=x2-1,对任意3、xxG一,+8,f()-4m2f(x)f(x-1)+4f(m)恒成立，求头数m的取值范围。_2Jm【变式1】【2010安徽】若不等式(-a2)(x2+1)+x0对一切x(0,21恒成立，求a的取值范围。1,1,、，、一【例2】若函数f(x)=x2+ax+1在1,+j上单调递增，求a的取值范围。x_2J【变式2】【2012湖北】若f(x)=-1x2+bln(x+2)在(-1,+s)上是减函数，求b的取

3、值范围。2【变式3】【2014江西】已知函数f(x)=(x2+bx+b)%.!二I!(bR)，若f(x)在区间(0,3)上单调递增，求b的取值范围。专题03：端点与一次函数、二次函数基础知识：(1)研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。(2)一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。【例1】【2009北京】若f(x)=xex(k丰0)在(-1,1)上单调递增，求k的取值范围。引申：我们的习惯思维都是默认字母x为函数的自变量，而像a,m,t这样的字母代

4、表参数，但其实x,a,m,t这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将x视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。【例2】【2009福建】已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f(x),g(x)=f(x)-ax-3.若对满足-1a1的一切a的值，都有g(x)0，求实数x的取值范围。【例3】【2008天津】已知函数f(x)=x+a+b(x中0),a,beR，若对于任意的ae1,2卜不式f(x)x2-x-a+1对任意ae(0,+8)恒成立，求实数x的

5、取值范围。(3)对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设f(x)=ax2+bx+c(a0)在la,内上不单调且恒大于零，那么,b1b1f(x)在a,-一上递减，在-,B上递增，故f(x)的最大值也必然在端点处TOC o 1-5 h z2aL2a取得。所以对于任何一个函数f(x)而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值fqfq)0,fQ2)0；f(x)=ax2+bx+c(a0)在x,x上非正，等价于12f(x)=ax2+bx+c(a0时，若函数f(x)在区间匚1,21上是单调函数，求a的取值范围.【例2】【2008江苏】设函数f(x)=ax3-3x+1

6、，若对于xel-1,1总有f(x)0恒成立，则a说明：在例1和例2中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例1通过端点可以不必考虑单增情形，例2通过端点可以缩小a的范围，我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情形：(1)f(x)在区间a,b的端点a和b处均有定义且1fm0,f(b)丰0；(2)f(x)在区间(a,b)的端点a或b处无定义或区间是无限区间(a,+4(-8,b)；(3)f(x)在区间(a,b)的端点a或b处有f(a)=0或f(b)=0。一、端点处的取值有意义且不为0【例1】【2008天津】设f(x)是定义在

7、R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2，若对任意的1t,t+2，不等式f(x+1)2f(x)恒成立，则t的取值范围是()A.B.b,y)C.(0,2D.B.b,y)C.(0,2D.L2,-1【例2】若f(x)=ax2(3a)x+2a0在bl上恒成立，则实数a的取值范围是【变式1】【2013全国卷】已知函数f(x)-x3+3ax2+3x+1,当x金匕+)时，f(x)0,求a的取值范围。【变式2】【2012江西】已知函数f(x)-L2-(a+1)x+3在b1上单调递减，求a的取值范围。一、.，、_311,一【变式3】【2010天津】已知函数f(x)-ax3-x2+1,a0，若在区间-,上f(x)

8、0恒222成立，求a的取值范围。二、端点处的取值没有意义且趋于无穷f(x)-lnx的定义域是(0,+8)，且当x趋于0时，f(x)-lnx趋于负无穷，当x趋于+8时，f(x)=lnx趋于正无穷，为了后面方便表述，记f(0)-8,f(+8)=+8。然后不管函数f(x)在区间的端点a处有没有意义，也不管a是否为无穷，我们均记f(a)为当x趋于a时f(x)的值。这样的记法为了后面的叙述。则a的取值范围是()D.(2,2)B.I【例1】【2012新课标】当0则a的取值范围是()D.(2,2)B.I【例2】函数f(x)=alnx+-x2-(1+a)x(x0)，若f(x)0对定义域内任意x恒成立，求实数2

9、a的取值范围。【例3】【2012天津】函数f(x)-x-,Vx11,+8),f(mx)+mf(x)-2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围。【例5】【2009江西】已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正，则m的取值范围是.【变式1】不等式log(x2-2x+3)2)恒成立，则实数a的取值范围是()aA.(0,1B.J1,lC.(1,3)D3,+8)I3L3)【变式2】【2011北京】设函数f(x)=(x-k)2e：，若对于任意的xe(0,+8)，都有f(x)1，e求实数k的取值范围。【变式3】【2014江苏】已知

10、函数f(x)=e+e-x，其中e是自然对数的底数，若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+8)上恒成立，求实数m的取值范围。【变式4】【2012北京文】已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2，若VxeR,f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是.【变式5】【2012北京理】已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2，若同时满足(1)VxeR,f(x)0或g(x)0；(2)3xe(-s,-4)f(x)g(x)0时均有a-1)x-11x2-ax-1)0，贝Ua=.【例3】【2009天津】已知f(x)=3x3+x2+(m21)x,m0,f(x)=

11、0有三个不同的实根，分别为0,x,x(xf恒成立，求m的取值范围。121212【变式1】【2008全国卷】设函数f(x)=ax3-3x2，若g(x)=f(x)+f(x)(0 x2)在x=0处取得最大值，求a的取值范围。【变式2】【2011湖北】已知x3-3x2+2x=mx有三个不同的实根，分别为0,x,x(xx)，1212且对任意的xetx,x，x3-3x2+2x0在a,b上恒成立，若f(a)=0，则f(a)0；若f(b)=0，则f(b)0f(x)0在la,b上恒成立，若f(a)=0，则f(a)0特别提醒：这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。【例1】【2007全国I理】已知函数f(x)=

12、e-e-xI证明：f(x)的导数f(x)2；II若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围。【例2】【2008全国I文】已知函数f(x)=x(ex-1)-ax2I若a=1,求f(x)的单调区间；2II若x0时，f(x)0,求a的取值范围。【例3】【2008全国I理】已知函数f(x)=S1nx【例3】2+cosxI求f(x)的单调区间;II如果对任何x0时，都有f(x)0时，f(x)0,求a的取值范围。【例5】【2013全国理】已知函数f(x)=ln(1+x)-出土R+xI若x0时，f(x)ln2。nn23n2nn4n【例6】【2014全国I理】已知函数f(x)=ex-e-x-2x.I讨论f(x)的单调性；设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；III已知1.4142八/21,4143，估计ln2的近似值(精确到0.001).【例7】【2012大纲理】设函数f(x)=ax+cosx,xeb,冗1I讨论f