空间向量的运算及应用

1、空间向量的运算及应用一、基础知识空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a, b(b0), abo存在AeR,使a=Ab共面向量定理若两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b共面。存在唯一的 有序实数对(x, y),使p=xa+yb空间向量基本定理及定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存推论在唯一的有序实数组x, y, z使得p=xa+ yb+zc.推论：设O, A, B, C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x,

2、y, z,使奇=xA +y Ob +zOC且x+y+z=1数量积及坐标运算两个空间向量的数量积：a b=|a|b|cosa, b；aboab=0(a, b为非零向量)；设 a=(x, y, z),则|a|2=a2，|a|=、vx2+72+72.空间向量的坐标运算：a =（气，a2, a3）, b = （bb2, b3）向量和a + b = （a1 + b1, a2+b2，a3 + b3）向量差a b = （a1 b1， a2b2， a3 b3）数量积a b=a1b1+a2b2+a3b3共线abna1=Ab1，a2=Ab2, a3=Ab3（AeR, b0）垂直aba1b1+a2b2+a3b3 =

3、 0夹角公式cosa，b= | 时+广Va+ag+agV b,+b2+b2直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行或或共线， 则称此向量a为直线l的方向向量.平面的法向量：直线la,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2Whn1#n2n1=n2(eR)l1l2n1n2n1-n2=0直线l的方向向量为，平面a的法向量为mlanmn-m=0lanmon=km(k R)平面a, &的法向量分别为n, manmon=km(k R)a工&nmn-m=0空间向量基本

4、定理的3点注意空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.有关向量的数量积的2点提醒若a, b, c(b/0)为实数，则ab=bc=a=c;但对于向量就不正确，即ab = bc a=c.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即 (a-b)c不一定等于a(b-c).这是由于(a-b)c表示一个与c共线的向量，而a(b-c)表示一个与 a共线的向量，而c与a不一定共线.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一二、常用结论证明空间任意三点共线的方法对

5、空间三点P, A, B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:两=XPB QER)；(2)对空间任一点o, op = oa +t Alb (tR)；对空间任一点O, OP =x两 +y Op (x+y=1).证明空间四点共面的方法对空间四点P, M, A, B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面:rAaa(1) MP =xMA +yMB ；(2)对空间任一点 O, OOP = OM+x MA +y MB ；Pp App (或 PA MMB或 Pp/AM ).3.确定平面的法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量.(2)待定系数法：取平面

6、内的两条相交向量a, b,设平面的法向量为n=(x, y，z),由n-a=0,nb=0，解方程组求得.考点一空间向量的线性运算1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若App=a,而=b, AA1=c，则下列向量中与蜀相等的是()B.a+b+c22A-B.a+b+c22D.a-b+c22解析：选 A BM解析：选 A BM=BBp+BpM=AA1+2( AD 一B、AB )=C+2(b-a)=M+c.2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1 =a, AB =bAad =c, m, n,Bp分别是aa1, bc, cid1的中点，

7、试用Aad =c, m, n,B一. -(2) N；Q)MP +NC.解：(1)P是C1D1的中点， TOC o 1-5 h z 11.AP = AA1 +AD+DP = a+ AD +2DC = a + c+2 AB =a+2b + c.(2)VN是BC的中点，-p p . p . -p1 -p.A1N = AA + AB + BN = a + b+分 BC.1 -p. . . 1=a + b+)AD =a + b+)c. HYPERLINK l bookmark45 o Current Document AAVM是AA1的中点，.MP = MP + AP=AP + AP = 1a+(a+1

8、b+c|=1a+1b+c,. ivu iv_LrL i m21 i 日i2 k 2) 2 2，1又 Np = NP + Cp =2 BP + AA1 =2 AP + AA1 =a +c，. MP+Np= a+4b+c)+(a+4c)=ja+4b+%MP +NC1 k22 J k 2 J 222考点二共线、共面向量定理的应用 若 A( 1,2,3), B(2,1,4), C(m, n,1)三点共线，则 m+n=.解析：*.* AB =(3,1,1), AC =(m + 1, n2,2),且A, B, C三点共线，.存在实数尢使得ApC=A希.即(m+1, n2, 2)=2(3, 1,1)=(3A

9、, A, A),m +1 = 32,.- - - - -. -.A L / X rs.和 BC 上，且满足M=kAC1，BN =kBC (0WkW1).判断向量 MN 是:否与向量冒B，AAX共面.解：VBBB=kBM, BM=k BC,；. MC = MC + AC + BC =kCB + AC +kBC =k(CB + BC)+ AB =k(C/ +B1C1) +一=7 一, 一=7一一 . 一、一=7 一 AB =kBxA + AB = AB kAB 1 = AB k( AA1 + AB )=(1k) AB kAA 1,.由共面向量定理知向量MNN与向量alb , AM共面.考点三空间向

10、量数量积及应用典例精析如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长 都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1) EC BB ； (2) EC BM.解 设 AB = a, AC = b, AD = c,则|a| = |b| = |c| = 1,a, b=b, c=c, a=60.(1)因为 EF =2 BM =2(ADAB)=2c a, bM =a,所以 EF所以 EF BM =Gcga(a)=2a2!a,c=!AATB MM .FM(2)EC BB =( EB + AC)( AD AB )1 AM , 1 AM , 1 AM d d=2 AD +2 jAD +2

11、AD )( AD AB )=f- 1a+2b+1c)(ca) A A 4 /11 1 1=+ + + = 4十2十4 4十2 4 2.题组训练如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1 的正方形，AA1=2,ZA1AB=ZA1AD=120.求线段AC1的长；求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；求证：AA1BD.解：(1)设AB =a, AD =b, AA =c,则|a| = |b| = 1, |c|=2, a-b=0, c-a=c-b=2X 1Xcos 120= 1.AC1 = AC + CC = AB + AD + AA1 = a + b + c,| AC|

12、 = |a + b+c|=j (a + b+c)2=-.,： | a |2+1 b |2+1 c |2+2 (a b+b c+c a)=52+12+22+2 X(01 1)=2.线段AC1的长为72.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为饥,/ c一|DAD|则 cos 9=|cosAC1, AD|=.|再|.AC =a + b+c, AD=bc,.AC,AD=(a + b+c)(bc)=abac+b2c2=0+1 + 1222=2,|D|=., (bc)2=寸 b |22 b c+|c |2 =122X(1)+22 = -朽.cos 3=|CD| =|2|cos 3=c c19 X177|

13、C|iD|2X* 7故异面直线AC与AD所成角的余弦值为Y.(3)证明：. = c, BD =b a,.AA BD =c,(b a) = c，b c，a = (1)(1)=0,. AA -L BD，即 AA/BD.考点四 利用向量证明平行与垂直问题典例精析如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD典例精析如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，过点E作EFLPB于点F.求证：PA 平面 EDB；PB 平面 EFD.证明以D为坐标原点，射线DA, DC, DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向

14、建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.设 DC=a.连接AC交BD于点0连接EG.依题意得 A(a,0,0)，P(0,0，a), C(0,a,0)，El0,因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点(a a 一、故点G的坐标为版，2，0j，所以 PA =(a,0，a)，EG =(，。，一&A r则兀T=2EG，故 PA/EG.而EGU平面EDB，PAG平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得 B(a， a, 0)，所以 PB =(a， a，a).又赤=0，a，a)，故 PB. DBB = 0+孕一孕=0，所以 PBDE，所以PBDE.由题可知 EFPB，且 EFHDE=E，所以PB上

15、平面EFD.解题技法利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、 平面的要素.通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系.根据运算结果解释相关问题.提醒运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理.如用直线的方向向 量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外.题组训练 TOC o 1-5 h z 如图，在三棱锥P ABC中，AB=AC, D为BC的中点，PO;平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8, PO=4

16、, AO=3,OD=2.证明：APBC；,-若点M是线段AP上一点，且AM=3.试证明平面AMC平面 BMC.证明：以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP:，为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则 O(0,0,0)，A(0,3,0), B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4).,于是#=(0,3,4)，BC =( 8, 0,0)，所以 A?- BC =(0,3,4)(一8,0,0)=0，h L所以 A? BC，即 APBC.(2)由(1)知AP=5，又AM=3，且点M在线段AP上，所以 Ac=5 A? =(0，5，?)，又 BA =(4，5,0)， , r

17、, l 16 12、所以 BM= BA + AM=4，g，钥，一 bm ,、16 12、则 AP BM=(0,3,4)(4，g，yj = 0，所以 A? BM，即 APBM，又根据(1)的结论知APBC，且 BCCBM=B，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM 平面AMC，故平面AMC平面BMC.课时跟踪检测A级已知 a=(2,1，-3)，b=(1,2,3)，c=(7,6, 4)，若 a，b，c 三向量共面，则 A=()A. 9B.9D. 3C.D. 3解析：选 B 由题意知 c = xa + yb ,即(7,6, A) = x(2,1, 3) + y( 1,2,3),:.2xy=7

18、, =60 或 120.N N N NN又：BN = BN + AC + CN ,| BN |2 = | BN |2+| AC |2 + | CN R+2 BN AC +2 BN CNNN N、+2AC CN =3+2X1X1Xcos BN , CN ,当爵,CD =60时，BD2=4；当BA , CD =120时，BD 2=2.| BD |=2或寸2,即B, D间的距离为2或V2. TOC o 1-5 h z 如图，在四棱柱ABCDA1B1ClD1中，底面ABCD是平行四边:,(形，E，F，G 分别是 A1D1，D1D，D1C1 的中点.，如U二=试用向量 AAB，AK，AAX 表示 AG

19、；, j.用向量方法证明平面EFG平面AB1C.-：广二，.解：(1)设AB =a, AD = b, AA =c,N.N -C1 -n 11 N*则 AG = AA +AD1+D1G=c +b+2DC = a + b + c2 AB + AD + AA故 AG=2AB+AD+AA.(2)证明：无=AAb + BC =a + b,Er = nn+ rTG=虬+13=1 ACCEj ED + DG 2。 2 2 AC ,:EG与AC无公共点，:、EG AC,: EGQ平面 AB1C, ACU 平面 AB1C,.EG平面 AB1C.又,: AB1 = AB + BB =a + c,1 . 11FG

20、=FD1 +DG=2c2a=2AB,:FG与AB1无公共点，:.FG AB1,: FGd平面 AB1C, ABU 平面 AB1C,.FG平面 AB1C.又：FGOEG=G, FGU平面 EFG, EGU平面 EFG,.平面EFG平面AB1C.B级已知空间任意一点O和不共线的三点A, B, C,若QP =x OA +y OB +z OC (x, y,zER)，则 “x=2, y=3, z=2是 “P, A, B, C 四点共面的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B 当 x=2, y=3, z=2 时，即 Op=2 (OA 3 OA+2 元.则

21、AC-AV = 2 OB3( Alb ABA)+2( AAc ad),即 Alp =3 Alb +2 AAc,根据共面向量定理知，p, a, b, c四点共面；反之，当p, a, b, c四点共面时，根据共面向量定理，设Alp =mAlb + TOC o 1-5 h z -BB cc cB cc .nAC (m, ER)，即 OB OA =m( OB OA )+n( OC OA )，即 OB =(1mn) OA +m OB +nOC,即 x= 1 mn, y=m, z=n,这组数显然不止 2, 3,2.故 “x=2, y=3, z=2是“P, A, B, C四点共面”的充分不必要条件. 空间四

22、点A(2,3,6), B(4,3,2), C(0,0,1), D(2,0,2)的位置关系为()A.共线B.共面C.不共面D.无法确定解析：选 C Ap = (2,0,4), A?=(2,3,5), AD = (0,3,4)，由不存AA在买数A,使AB =AAC成立知，A, B, C不共线，故A, B, C, D不共线；假设A, B, C,0=2x2y,D共面，则可设4D =xAB +yC （x, y为买数），即4一3 = 3y,由于该万程组无、一4=4x5y,解，故A, B, C, D不共面，故选C.3 .已知。（0,0,0）, A（1,2,3）, B（2,1,2）, P （1,1,2）,点

23、Q 在直线 OP 上运动，当 QB QB取最小值时，点Q的坐标是.解析：由题意，设OB=A Op，则OQ=Q, A, 2久），即QQ,兀2少则QB=（1A,2 A, 3 2A),QB =(2A, 1A, 22A),. QA QB =(1A)(2A) + (2A)(1A)+(3.(.4 2.44 4 8、2A)(22A) = 6A2164+10 = 63少一3,当A=3时取取小值，此时Q点坐标是弓，3，3/4343,8)已知四面体 P ABC 中，-PAB=ZBAC=ZPAC=60, | ALB | = 1, | AAc |=2, | ALP |=3,则| 希 + AlP + AAC |=,解析

24、：.在四面体 P ABC 中，ZPAB=ZBAC=ZPAC=60。，| AlB | = 1，| AlC |=2, | AlPB B-b -B-b-B| = 3,.AB AC =1X2Xcos 60=1，AC AP =2X3Xcos 60 = 3,AB AP =1X3Xcos 603. B B .-B；B B .-B.=2，.| AB + AP + AC |= | AB + AP + AC |2= 1+ 9+4+2+6+3 = 5.答案：5如图，在四面体A BCD中，AD平面BCD, BCLCD, AD=2,BD=A/2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且 TOC o 1-5 h z AQ=3QC.广求证：PQ平面BCD. .证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴， 建立空间直角坐标系O