空间点线面的位置关系及公理

1、第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公理基础知识自主学习T知识梳理四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）.公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类平行直线 共面直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线I】，项。/b景，这两条相交直

2、线所成的 锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角（或夹角）.范围：（o, J直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.4 .平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.等角定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【知识拓展】1 .唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与巳知直线平行.过直线外一点有且只有一个平面与巳知直线垂直.过平面外一点有且只有一个平面与巳知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与巳知平面垂直.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在

3、括号中打“”或“ X”) TOC o 1-5 h z 如果两个不重合的平面a, &有一条公共直线。，就说平面a, &相交，并记作aC&=a.()两个平面a, &有一个公共点力，就说a, &相交于过A点的任意一条直线.()两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()经过两条相交直线，有且只有一个平面.()没有公共点的两条直线是异面直线.() 下列命题正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.0 B. 1 C. 2 D. 3(2016 浙江)巳知互相垂直的平面a，&交

4、于直线/.若直线m， n满足mH a，n，&，则()m/ B. mHn C. nX/ D. mXn (2016合肥质检)巳知l，m，n为不同的直线，a，&，y为不同的平面，则下列判断正确的是()若 mH a， n a，贝mH n若 mXa， n&，aX&，贝mXn若 aC&=l，mH a， mH &，贝mH l若 aC&=m，aC y=n， lXm， IXn，IXa(教材改编)如图所示，巳知在长方体ABCD-EFGH中，AB = 2；3, AD = 2?3, AE=2，贝【J BC和EG所成 角的大小是, AE和BG所成角的大小是.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且刀4CQ,

5、则直线EF与正方体的六个面所在 的平面相交的平面个数为.题型分类深度割析题型一平面基本性质的应用例1 (1)(2016山东)巳知直线a, b分别在两个不同的平面a,万内，则“直线a和直线b相交”是“平面a 和平面万相交的()充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)巳知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG TOC o 1-5 h z 11,、一=%BC，CH=DC.求证：E、F、G、H四点共面；:-跟踪匕II练1三直线FH、EG、AC共点.跟踪匕II练1D如图，平面ABEF上平面ABCD，四边形AB

6、EF与四边形ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZF4B = 90，BCAD 且 BC=AD，BEAF 且 BE=AF，G、H分别为 FA、FD 的中点.D证明：四边形BCHG是平行四边形；C、D、F、E四点是否共面？为什么？题型二判断空间两直线的位置关系 例2 （1）（2015广东）若直线11和/2是异面直线，11在平面a内，12在平面B内，l是平面a与平面B的交线， 则下列命题正确的是（）l与11，12都不相交l与11，l2都相交l至多与l1，l2中的一条相交l至少与l1，l2中的一条相交CD1的中点，则下列判断错误的是（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N分别是BCCD1的中点

7、，则下列判断错误的是（A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行 D. MN与A1B1平行（3）在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）跟踪以跟踪以I练2（1）巳知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：若aLb，aLc，则bc；若a Lb，ac，则bLc；若ab，bLc，则aLc.其中正确的个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2）（2016南昌一模）巳知a、b、c是相异直线，a、万、?是相异平面，则下列命题中正确的是（）a与b异面，b与c异面na

8、与c异面a与b相交，b与c相交na与c相交a&，$naaa，b怯 a与&相交na与b相交题型三求两条异面直线所成的角例3 （2016重庆模拟）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为.巳知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）1V31 V3A 6 B- 6 C.3 D- 3思想与方法系列16.构造模型判断空间线面位置关系典例 巳知m, n是两条不同的直线，a, &为两个不同的平面，有下列四个命题:若 mXa, nX&, mXn，则 a&；若 mH a，n &，mXn，则 a&;若 mXa， n&，mX

9、n，则 a&；若 mXa， n&，a&，贝mXn.其中所有正确的命题是.课时作业 设a，b是两条不同的直线，a，&是两个不同的平面，a a，b&，则“a&”是“。业”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（2016福州质检）在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为棱 f CQ的中点，则在空间中与直线孔鸟、EF、BC都相交的直线（）A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 对于任意的直线l与平面a，在平面a内必有直线m，使m与1（）A.平行 B.相交 C.垂直D.互为异面直线 在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F

10、，G，H四点，如果EF与HG交于点M，贝【J（）M一定在直线AC上M 一定在直线BD上M可能在AC上，也可能在BD上M 既不在AC上，也不在BD上四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为45,底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A.2寸 A.2寸 555 B.5-43c.5 d，5下列命题中，正确的是（）A.若a， b是两条直线，a，&是两个平面，且a a， b &，则a， b是异面直线若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面若直线。与平面a不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行若直线。平面a,点Pa,则平面a内经过点P且与直线a平行的直线有且只

11、有一条（2016-南昌高三期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形./ACB = 90, AC=6, BC= CC1=而，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为.卜、h如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这A个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是.b H E N C中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（2015浙江）如图，三棱锥 ABCD 中，AB=AC=BD = CD = 3, AD=BC=2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是:10.（2016郑州质检）如图，矩形ABCD中，AB = 2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成 W1DE.若M为线段A1C的中点，则在AADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是BM是定值；点MBM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEXA1C；存在某个位置，使MB 平面A1DE.12.如图所示，等腰直角三角