空间点线面的位置关系及四个公理

1、高考专题：空间点、直线、平面的位置关系及四个公理一空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形/7/7A 7符号aba aa 月相交关系图形符号a H b=Aa H a= AaH g=l异面或在内关系图形7符号a， b是异面直线a a2.异面直线所成的角 （1）定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa, bb,把a与b 所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.即，异面直线的平行线的 夹角就是两异面直线所成的角。（2）范围：（0, 2J- 3.异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个

2、平面内不经过该点的直线是异面直线.即，若A aa, B ea, l ua, B wl则AB与l异面。4.异面直线所成的角的求解方法：方法一，定义法：异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方 法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为90。，也是不可忽视的方法。其求解步骤为：做平移找出或做出有关的角-证明它符合定义即认定-通过解三角形求角。 简言之，“一做，二证，三算”注意：第二步认定的表述为：/A或其补角就是异面直线-与-所成的角。方法二，三弦公式法：如图，已知pa与PB分别是平面a的垂线和斜线，在平面a内过斜足B

3、 任意引一直线BC，设ZPBA = q,ZABC = 02,ZPBC = 0，有cos0 = cos01 -cos02。P【真题再现】1.（2014全国二）：正方体ABCD ABCD中，若E、F分别为AB和BB11111 11的中点，则AE与CF所成角的余弦值是2.（2017理科全国三）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60；其中正确的是 .（填

4、写所有正确结论的编号）推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是 这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。【真题再现】（2018浙江8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是 线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为* SE与平面ABCD所成的角为， 二面角S-AB-C的平面角为，则（）A. Qe,VQB.摭e,珥C. QVQVQD.成VQ们1一 2 33一 2一 11一 3 22一 3一 1方法三，空间向量法:建立恰当的空间直角坐标系，并设异面直线AB与CD所成的角为。，贝g cos贝g cos0 =AB CDa |cd

5、|【考点专练】L （09天津卷）在棱长为2的正方体ABCD-/RE中，是底面ABCD的中心，E、F分别是CR、AD的中点，那么异面直线OE和FD所成的角的余弦值等于（）v10A .15v10A .15B.4C. 52D,3132.在空间四边形ABCD中，已知AD=1, BC=3且 AD 1 BC，对角线BD = -，AC=2.在空间四边形ABCD中，已知AD=1, BC=33工占土一-，求AC和BD所成的角。已知异面直线a,b所成的角为60。，在过空间一定点P的直线中，与a,b所成的角均为60。的直线有多少条？过P与a,b所成角均为50。，与均为70。的直线又各有多少呢？兀已知两异面直线所成的

6、角为耳，直线l与两异面直线均成等角，则这个角。的取值范围是5.线段AB夹在直二面角a-1-P内，A ea, B e P，如果AB与平面a、P所成的角分别为0、中，那么0 +中应满足（）A .大于90。B,小于90。C .等于90。 D,小于或等于90。6.（08全国理）正六棱柱ABCDEF - BRR气的底面边长为1，侧棱长为很，则这个棱柱的侧面对角线E D与Bq所成的角为（）A .90。B .60。C .40。D .120。7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线BR与EF所成的角的大小为（）A. 30B. 45 C. 60 D. 90解析

7、：C 连接B1D1 , D1C（图略），则BflEF，故zD 为所求的角， 又 B1D1=B1C = D1C，.zD1B1C = 60.8.（2018-全国II卷理科）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA=V3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）2D.M9.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA=2AB=2,10.（2018-全国11卷文科）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与CD,10.（2018-全国11卷文科）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与CD所成角的正切值为（）A甦B?23E为棱CC1的中点c垂C.

8、2则异面直线AED.乎解析：C 如图，因为AB（CD ,所以AE与CD所成的角为zEAB.在RtAABE中，设AB = 2 ,BC=CC1BC=CC1 = 1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）D近D. 3E为AA1的中点云 B个12.已知正四棱柱ABCD-A1BlClDl中c远C. 5AA1 = 2AB，则异面直线BE与CD1BE岳5则BE = ：5 ,则tanzEAB=而二亏，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为云。11. （2017-全国II卷理科）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕ABC=120, AB=2,所成角的余弦值为（）A .端解析：D 连BA1 ,则在正四棱柱

9、中可得BAJICD ,.zABE即为异面直线BE与CD1所成 角（或其补角）.设AA1 = 2AB = 2 ,则在ME中，BE二& ,EA1 = 1,BA2=J5，由余弦定理6； 2）2 + （污）2 - 12 rT03 气：10得coszABE= 2Xi*V5= ,.异面直线BE与CD1所成角的余弦值为当莅.13.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP. BC的中点，PC=10, AB=6, EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为 .答案：60解析：取AC的中点D，连接DE、DF则DE(PC , DF(AB，-EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角，利用余弦定理可求得zEDF=12

10、0，所以异面直线AB与PC所成的角为60,14.如图，在长方体ABCD A BfR中。已知AB=4, AD=3, #=2，E、F分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB=FB=1(1)求二面角C DE C1的正切值；(2)求直线Eq与Fq所成角的余弦值A.DA.DFFDL15.如图，在二面角 al P, A、B ea, C、D e l，ABCD 是矩形，P e P, PA a，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点。证明：MN是异面直线AB和PC的公垂aAMNPC求异面直线PA与MN所成的角。aAMNPC16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，/BAD = 90。

11、，AD/BC,AB=BC=a，AD=2a，且 PA 1 底面 ABCD，PD 与底面成30。角。若AE1PD, E为垂足，求证：BE 1PD；求异面直线AE与CD所成角的余弦大小。17. (2016-全国I卷)平面a过正方体ABCD-A1BClD1的顶点A，a平面CBfi，aC平面 ABCD=m，aC平面 ABB1A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为()A?23 B.f C.*3 D.1解析：A 如图所示，设平面CBDC平面ABCD = m1 ,因为a|平面CB1D1，所以mj|m，又平面ABCD平面A1B1C1D1 ，且平面 BDCC 平面 A1B1C1D1=B1D1，所以 B1D1|m1

12、，故 B1D1|m.因为平面ABBA |平面DCCD，且平面CB D C平面DCC D = CD，同理可证CD |n.1 11 1，1 11 11，1.故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCD - AfiCfl中，心是正三3 角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.18. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF；AB与CM所成的角为60； EF与MN是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是解析：如图，ABEF，正确；显然ABICM，所以不正确；EF与MN是异面直线，所以正确；与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是

13、.答案：19.如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是边长为2的正三角形，侧棱AAL底面ABC, 点E, F分别是棱Cq, BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.当点M在何位置时，BM平面AEF?若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的 角的余弦值.解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM1AC于点M.因为侧棱AA1底面ABC，所以侧面AACC1底面ABC.又因为 EC = 2FB = 2，所以 OMFBEC 且 OM=、EC 二 FB，所以四边形OMBF为矩形，BM(OF.因为OFU平面AEF，BMG平面AEF

14、， 故BM|平面AEF，此时点M为AC的中点.法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为 EC = 2FB = 2 听以1、所以 PQAE , PBEF ,所以PQII平面AFE , PB|平面AEF ,因为PBQPQ = P , PB , PQU平面PBQ，所以平面PBQI平面AEF.又因为BQU平面PBQ，所以BQ|平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.(2)由(1)知，BM与EF异面，zOFE(或zMBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求 AF = EF = , MB = OF 二芸,OF1AE ,所以cos，OFE = F=1

15、 ,所以BM与EF所成的角的余弦值为号5.二四个公理及其应用：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理的应用：(1)证明直线在平面内：(2)证明点在平面内：公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、两条平行直线确定唯一一个平面。推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。推论3、两条相交直线确定唯一一个平面。公理的应用：确定平面或证明多点共面。公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。简言之，“面面相交成一线”。公理的应用：（1）判断两平面是否相交：（2）画相交两平面的交线：（3）证明多点共线：（4）证明三

16、线共点：公理4 （平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。推论：等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补. 公理的应用：证明两直线平行或证明角相等。【考点专练】判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“ X”.（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.（） TOC o 1-5 h z （2）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（）（3）已知a, b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.（）（4） 没有公共点的两条直线是异面直线.（）（5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（）答案：（1）X （2）X （3）

17、V （4）X （5）X 在下列命题中，不是公理的是（）平行于同一个平面的两个平面相互平行过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：A A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B , C , D是平面的基本性质公理.（2019-贵阳调研）a是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mGa，nUa，且AEm，AEa，则m，n的位置关系不可能是（）A.垂直B.相交 C.异面 D.平行解析：D 依题意 ,m A a = A , nUa，:.m 与 n 异

18、面、相交（垂直是相交的特例），一定不平行.4.已知直线a和平面a, &, aC=l, aS, a邛，且a在a, &内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是（）相交或平行 B.相交或异 C.平行或异面 D.相交、平行或异面解析：D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.5.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线1,使l与棱AB, AD, AA1所成的角都相等， 这样的直线1可以作（）A. 1条 B. 2条C. 3条 D. 4条解析：D 如图，连接体对角线Aq ,显然AC1与棱AB,AD,AA所成的角都相等，所成 角的正切值都为也.联想正方体的其他体对角线，如连接

19、BD1，则BD1与棱BC , BA , BB1 所成的角都相等.BB1|AA1 ,BC|AD ,.体对角线BD1与棱AB , AD , AA1所成的角都相等， 同理，体对角线A1C ,DB1也与棱AB ,AD ,AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1 ,A1C , DB1的平行线都满足题意，故这样的直线1可以作4条.6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别是AB和AA1的中点.求证:E BE B(1)E, C, D1, F 四点共面；(2)CE, D1F, DA 三线共点.:E , F分别是AB , AA1的中点，证明(1)如图，连接:E , F分别是AB , AA1的中点，EF|BA.又 AB|DC , EF|CD1 , :E , C , D1 , F 四点共面.(2)：EF|CD , EF 1