空间解析几何与向量代数

1、第七章 空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算知识点、重点及难点知识点：向量的概念向量：既有大小，又有方向的量(又称矢量).P向量的表示：以A为起点，B为终点的有向线段AB，或。.数学上只研究与起点无 关的自由向量.向量的模：向量的大小.向量a AB的模记作饵AB .B单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.记作e .w零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.负向量：与向量a的模相同而方向相反的向量，即一a. p ww w向量相等：a与b大小相等，方向相同，记作a = b -pwp p p wp w向量平行：a与b方向相同或相反，记作a /

2、b .a与b平行，又称a与b共线.向量的线性运算向量的加法：平行四边形法则，三角形法则w w w w 运算规律：交换律a + b=b+aw w w w w w 结合彳聿(a + b) + c = a + (b + c)w w p w 向量的减法：a - b = a + (b)向量与数的乘法：实数人与向量?的乘积是一个向量，记作入片.其大小为0句=四|pl:当 0时， a与月反向；当=0方向当备0时，&:当 0时， a与月反向；当=0P、八 w / C、w运算规律：结合律 入(Ma) = Ma) = (Oap w. .w。zp w w. .p 分配律(人 + M)a = a + Ma; 人(a

3、+ b) = a + Mb .pea表示与a同方向的单位向量.P c p pp p若a。0则a/b o存在唯一的实数，使b=a（3）空间直角坐标系：在空间取定一点。（原点）和过原点三个两两垂直的数轴，构成一 个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则，即以右手握住兀z轴，当右手的四个手指从正向X轴以一角度转向J轴时，大拇指 2的指向就是z轴的正向.三个坐标面xOy面、yOz面、zOx面将空 间分成八个卦限，含有x轴、轴、z轴。正半轴的卦限叫第一卦限, 其他第二、第三、第四卦限在xOy面上方，按逆时针方向确定，第五至第八卦限在xOy面下方，第一卦限之下是第五卦限，按逆时针 方向确定其他卦限。

4、这八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、 VI、VII、VIII 表示。设点M在空间直角坐标系的坐标为（X, y, z）则向量P p p P . .,一，r = OM = xi + yj + zk 或表示为（X, y,z），MX, y,z）既是向量OM的坐标，也是M的坐标。向量的坐标运算：设M (x y z ),M (x ,y ,z )则向量M M1111222212pP向量a = (a ,a ,a ),b = (b ,b ,b )则X y zX y zp pa + b = (a + b , a + b , a + b )X x y y z zP Pa - b = (a - b , a

5、 - b , a - b )pPpPppbbb若 a。0 则 a / b o 唯一3e R, b =a o = -y = a a a(5)向量的模、方向角、投影i)向量的模 Pip 若向量 r = (x, y, z )则 |r| = yx 2 + y2 + z2若 A(x , y ,z ),B(x , y , z )则 AB = ：(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 111222212121ii)方向角与方向余弦 p pp p作OA = a, OB = b ,称 = /AOB,(0 V中V兀)为向量a与b的夹角，记作pppp方向角：尹=(%X) 0，r与三个坐标

6、轴的夹角以,P,Y称为向量r的方向角。cos axcos ax= -p =rx；x 2 + y 2 + z 2cos p =丰= rzcos y = -p =r.：x 2 + y 2 + z 2(cos以,cosP ,cos y) = (p,丰,条)=辛=p r r r r rCOS2 a + COS2 P + COS2 y = 1p ,p)向量的投影p ,pp_ I p p 、 p向量a在u轴上的投影：P. =|a|cos(a,u)或记作(r)p,R,R aa = aaa在x,y,z轴上的投影：P =|acosa =同=a x y zrjxa x,Q,p aP. = |a| cos p =|

7、a-p- = app aP z = |a cosy = |a| -p- = app p p(a + b) = (a) + (b)(人 )=人(a)uu重点：向量的概念，向量的线性运算，向量的模，方向角，投影。难点：向量的线性运算的坐标表示，向量的方向角，投影。主要题型与向量的概念，线性运算有关的习题。综合题型。典型例题解析例1设已知两点、(4,巨,1)和M2(3,0,2)，计算向量MM2的模，方向余弦和方向角。解 M1M 2 = J(3 - 4)2 + (0 - 扼)2 + (2 -1)2 = 2M 1 M 2 = (3 - 4,0 -巨,2 -1) = (T,-)方向弦为cos 方向弦为co

8、s a=-,cos P =2*21,cosY =223 兀方向角分别为以=兀，P = 4兀，Y = yPP例2设向量,的模是4,它与轴的夹角是60。，求r在u轴上的投影。解已知 |月=4， P. = | - cos。= 4 - cos 60。= 4 x 2 = 2四同步自测练习题向量与x轴和y轴夹角相等，而与z轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角 以，P，Y各为多少？参考答案与提示1以=三 P=Ey= 或a = 3兀P = 兀y = 3兀8，8，4一 8，8，4第二节数量积向量积混合积知识点、重点、及难点知识点：ppipP八八 pP _i 定义：i b = Id，b cos, = (a

9、,b)，运算结果是一数。p p p pii性质：交换律：a b = b ap, P、p_ p p, F p结合律：(a + b) * c = a * c + b * c数乘律：(、片)* b =(a * b),入为实数。=p 2pPiii 坐标表示：a = (a ,a ,a ), b = (b ,b ,b )x y zx y zp pa - b = a b + a b + a bxx yy zzcos。= cos(, b)=a b + a bcos。= cos(, b)=x xy yz z a 2 + a 2 + a 2 ，b 2 + b 2 + b 2 x y z Y x y zp p p

10、pp p p pa b o a b = 0 o a b + a b + a b = 0 xx yy zz(2)向量积：(2)向量积：i定义：。x b = c ,|c| = |a|b|sinU, = (a, b) ；c的方向垂直于a与b决定的平面，cP P的指向按右手规则，从a转向b来确定。PP PPii性质：负交换律b x a = a x bP P P P P P P分配律 (a + b) x c = a x c + b x c数乘律 (a) x b = a x (、b) = (a x b),入为实数。Sx a=0? b o P b= 0P P P PP Paxb等于a与b为邻边的平行四边形的

11、面积，或者说以a与bP Pa / b(3)混合积|pi定义：aPii性质：a=(a,a , a)，xyzPPpijkP Pa / b(3)混合积|pi定义：aPii性质：a=(a,a , a)，xyzPPpijk=aaaxyzbbbxyz)P 0Paa xbiii坐标表示：aP bP bPPx b) c结果为一个数。四0 x b) c等于以P=(a b 一 a b )i + (a byaa=- = -b by zPP一 a b ) j + (a b 一 a b )kxzxy yxP P P一a b ,c为棱的平行六面体的体积。PPx b) c = 0aP=重点：向量的数量积、向量积、混合积的定

12、义与应用。难点：数量积、向量积、混合积的应用。主要题型与向量代数运算(数量积、向量积、混合积)有关习题。综合题型。典型例题解析解题注意事项：区分哪些是数量，哪些是向量；区分各个运算的规律、特征；区分向量 平行、垂直、共面的充要条件。ppp pp p例 1. (1)设a = (3,6,1), b = (2,4, k)，若 a 上 b，则k =()，若 a / b，则 k 二()。pppppppp(2,一3,1), b = (1,2,3), c = (1,2,7), d 上 a , d 上 b , c -d =1,pp plp pp plp pa x b = 6，则 a , b =()(3)份=3

13、，b = 4，p p p p | p w贝u a + bx b + cc + a=(p p p p解：(1) a 1 b o a b = n 3 x 2 + 6 x 4 + k = 3 + k = n k = 3。p？ox /p=pn 3 = 6 = 1 k = 2 a / b o a x b = n = = n k =4 k 3 p设d = 3, y乙则由条件可得2 尤 一 3 y + z = 尤=7 p尤-2 y + 3z = ny = 5 n d = (7,5,1)、x + 2 y _ 7 z = 、z = 1P p ?？ p p 或者：由 d 1 a，d 1 b 知d / a x bp

14、pp、i j kp p而 a x b = 2 31 = (7,5,1) 2 3pd =人(7,5,1)pp又由 c d = 1知从7,5,1) (1,2,-7) = 1人=1 n 人=1pd = (7,5,1)片Xb 片Xb = aib|sin。npba x b63X4J3p p 1 ppn cos0 = - n a - b = |a|b cos6 = 673rp p p p 1 p p rp p p p p p ip p(4) (a + b) x (b + c)(c + a) = a X b) + (a X c) + (b X c)也 + a)ppp ppp ppp=(a x b) - c

15、+ (b x c) - a = 2(a x b) - c = 4。iQ ip 兀 p pp 1 p p例2.已知同=1, b = 2，0= - , 0为a与b的夹角，求a - -(a - b)解：p 1,p ?、_ 1 9p.?- 1，+?、？、- 1 Mp2F+4p ? a -(a -b) = 2a + b = -(2a + b)(2a + b)=-节4|a 2 + p2 + 4a b解：1 /12 =4 + 4 + 4 -1 - 2 -=23pPpppPpp p p例 3. (a + 3b) 1 (7a-5b),(a 4b)上(7a -2b)，求a 与b 的夹角0。解：(p+ 3$-(7么

16、5$ = 0 n7a2 +16pb-15|b|2 = 0解：0 =1n6 =123 /-4b)-(7a)-2b) = 07|p2 -30p0 =1n6 =123 向=bI，p b = p pp求|a| ; (3) a的方向余弦；p pp求|a| ; (3) a的方向余弦；(4)与a平行的单位向量。四同步自测练习题1.已知 |p = V2,|b| = 2, b = 2ppp.求同时垂直a = (2,-1，1)和b = (1,2,-1)的单位向量c0。qiR兀 p pp p 择 p一.已知同=1, bl = 1,0 = 6 , 0为a与b的夹角，求以a + 2b和3a + b为边的平行四边形的面积

17、。ppppppp p p p p p p4.已知a、b、c均为单位向量，且满足关系式a + b + c = 0,求a b + b c + c /。P5 .已知A(1,2,0),B(2,-1,3)求(1)向量a = AB在%轴，y轴，z轴上的投影；参考答案与提示1.22. % = 土-1,3,5)325. (1)1,一3,3 59 点蛆品(4) *3,3)第三节曲面及其方程.知识点、重点、及难点知识点：(1)曲面的方程：一般式F(x, y,z) = 0显式 z = f (x, y), y = g (x, y), x = h(y, z)球面标准式 (x x )2 + (y - y )2 + (z

18、- z )2 = R2 000一般式 x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0旋转曲面：以一条平面曲线(曲线)绕其平面上的一条直线(旋转轴)旋转一周所 成的曲面。i：母线为f(x, !： 0，绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为f (x,J y 2 +z 2 ) = 0L z = 0绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为f (土y 2 + z2,y) = 0ii：母线为V z)n ,绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为g(x，土Jy2 +z2) = 0L y = 0绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为g (土、注2 + y 2 ,z) = 0iii：母线为/(： =)0 0，绕y轴旋

19、转所成的旋转曲面方程为h(y，土；x2 +z2) = 0绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为f (土Ux2 + y2 ,z) = 0F (x, y, z) = 0iv：母线为曲线1，绕z轴旋转所成的曲面：x2 + y2 = x2(z)+ y2(z)G(x, y, z) = 0 x = x( z)其中x(z),y(z)为空间曲线参数式方程 y = y(z)、z = z.柱面：平行于定直线并沿曲线C (准线)移动的直线L (母线)所成的轨迹。. F (x, y) = 0，表示以F (x, y) = 0为准线，母线平行于z轴的柱面。G (x, z) = 0,表示以G (x, z) = 0为准线，母线平行于

20、y轴的柱面。H (y, z) = 0,表示以H (y, z) = 0为准线，母线平行于x轴的柱面。x 2 , y 2卜特殊柱面：椭圆柱面一 +厂=1;圆柱面x2 + y2 = R2a 2 b 2双曲柱面5 一 土=1；抛物柱面y=ax 2IF (x, y, z) = 0宙.准线为曲线C Ig(x,y,z) = 0，母线z轴的柱面方程求法：将上曲线方程组中消去变量z,即得所求柱面方程.IF (x, y, z) = 0/、iv.准线为曲线C ，母线L的方向向量为(m,n,p)的柱面方程的求法：G (x, y, z) = 0,、x - x _y - y _z 一 z准线上取一点(x0y0z 0，则过

21、该点的母线方程：寸=FF (x0, y 0, z 0) = 0消去方程组1G(x0,y0,z0) = 0的x0,y0,z0即得所求柱面方程.x - 2 , y 2 、z 2 x 2 + y 2 , z 2椭球面：云+ 7 + a = 2 , y 2 、z 2 x 2 + y 2 , z 2椭球面：云+ 7 + a =1 ；旋转椭球面：一云一+ Ci =1、m n p注：柱面上任意一点处切平面的法向量与母线的方向向量垂直。二次曲面x 2 , y 2椭圆锥面：一 + = z2 ；圆锥面：x2 + y2 = az2或z = a、；x2 + y2 a 2b 2X 2, y 2z 2x 2+ y 2 z

22、 2单叶双曲面：云+ b2-a = 1 ；旋转单叶双曲面：a2-a = 1X 2y 2z 2_X 2 y 2+ z 2_双叶双曲面：云一 7 一 *=1 ；旋转双叶双曲面：云.2=1椭圆抛物面：土+土=z;旋转抛物面：x 2+y 2=a 2 zX2 y2双曲抛物面（马鞍面）：3 - b=z重点：曲线方程，旋转曲面，柱面方程，能用截痕法画出常见曲面及投影区域。难点：根据条件确定所求的曲面方程及投影区域，曲面方程各式间的转换。主要题型求旋转曲面的方程。求柱面方程。综合题型。典型例题解析题型一求旋转曲面的方程解题注意事项：不要带错旋转曲面的计算公式z = 3x例1.求曲线1 _八绕x轴旋转一周所得的

23、抛物面方程。L y = 0解 绕x轴旋转一周所得的抛物面方程为y2 + z2 = 3XX 2 + y 2 + z 2 = 1例2.求曲线1绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程L z = y2解 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程X2 + y2 = 1 z2 z + z = 1 - z2题型二. 求柱面方程解题注意事项：不要带错柱面的计算公式。2 X 2 + y 2 + z 2 = 16例2.求母线平行于x轴，准线为1工 八的柱面方程。L X 2 y 2 + z 2 = 0解：将上曲线方程中消去变量X,得所求柱面方程为3y2 z2 = 16同步自测练习题。14 x 2 + 9 y 2 = 36求曲线1

24、 八绕x轴旋转一周所得旋转椭球面方程。I z = 0求直线X = 2 = 1绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程。3.求母线平行于z轴，准线为3.求母线平行于z轴，准线为5x2 + 20y 2 -16z2 = 80 x 一 2 z + 3 = 0的柱面方程。参考答案与提示1. 4x 2 + 9(y 2 + z 2) = 362 . x 2 + y 2 = 13 z 23. x2 + 20y2 - 24x -116 = 0第四节空间曲线及其方程知识点、重点、及难点知识点：、 F (x, y, z) = 0任)空间曲线的一般方程1厂/G (x, y, z) = 0 x = x(t)空间曲线的参数方程1

25、y = y(t)、z = z (t)空间曲线在坐标面上的投影：F (x, y, z) = 01在xoy面上的投影柱面为：消去z, H(x, y)=。，投影曲线方程为G (x, y, z) = 0H (x, y) = 0z = 0F (x, y, z) = 01在yoz面上的投影柱面为：消去x, R(y,z)=。，投影曲线方程为G (x, y, z) = 0|R( y, z) = 0 x = 0F (x, y, z) = 01在xoz面上的投影柱面为：消去y, T(x,z)=。，投影曲线方程为G (x, y, z) = 0T 3, z) = 0J = 0重点：曲线方程，能用截痕法画出常见曲线，曲

26、线在坐标面上的投影。难点：根据条件确定所求的曲线方程，投影曲线方程，曲线方程各式间的转换。主要题型求曲线的方程。求投影方程。综合题型。典型例题解析题型一求投影方程解题注意事项：不要带错投影的计算公式，区分投影曲线的投影区域曲线一般式与参数式之间相互转换。例1求球面z =七4 - x2 - J2与锥面z = .JX2 + J2的交线在xoy坐标面的投影及此交 线的参数方程和这两个曲面围城的区域在xoy坐标面的投影区域。解：将两个方程联立消去变量z,可得交线在xoy坐标面的投影柱面，在与xoy面联I X 2 + J 2 = 2立得投影方程：1八I z = 0-只x =寸2 cos t投影曲线参数方

27、程为1 J = 2 sint两个曲面围成的区域在xoy坐标面的投影区域为交线在xoy坐标面的投影方程围 成的区域：x2 + J2 2X 2 + J 2 + z 2 = 4例2.将曲线|(x-1)2 + j2 =1的一般式转化为参数式并写出曲线在xoy坐标面的投影曲 线方程。(X - 1)2 + J 2 = 1解：曲线在xoy坐标面的投影曲线方程：(消去z)得1 _八I z = 0X = X = 1+ cos tX = 1+ cos t曲线参数方程为曲线参数方程为1.z 2j = sin tn 1 j = sin t=4 - x2 - j2 = 4 - 2(1+ cos t)z = 2sin -

28、I 2同步自测联系题。求曲面乙=6-3+ y 2)与锥面z = .2+ y 2交线在xoy坐标面的投影，交线的参数 方程和这两个曲面围城的区域在xoy坐标面的投影区域。I X 2 + y 2 + z 2 = 4 将曲线的一般式方程转化为参数方程并写出曲线在xoy坐标面的I z = 1投影曲线方程。参考答案与提示I x 2 + I x 2 + y 2 = 41.投影方程1 八I Z = 0；参数方程I y = 2sint ;投影区域：x2 + y 2 4z = 2x = J3cos t(,_ k . .1 x2 + y2 = 32.参数方程1 y =展矶 ；投影方程1 八z = 1 z = 0第

29、五节平面及其方程一、知识点重点及难点1、知识点：平面的点的法式方程(向量点积德应用)r平面n的法向量n:垂直于平面n的非零向量n。r给定平面上一个定点M(x 0，y0，z0 )平面的法向量n=(A,B,C)则平面方程为A(X- X0 )+B(Y-匕)+C(Z- Z )=0平面的一般式方程平面法向量n=(A,B,C)则平面一般方程为Ax+By+Cz=0若D=0 平面Ax+By+Cz=0过原点若A=0 平面Ax+By+Cz=0平行于x轴若A=D=0则平面By+Cz=0过x轴若B=0 平面Ax+By+Cz=0平行于y轴若B=D=0则平面By+Cz=0过y轴若C=0 平面Ax+By+Cz=0平行于z轴

30、若C=D=0则平面Ax+By=0过z轴若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0则平面Cz=0为xoy面若A=B=0平面Cz+D=0平行于xoy平面 若A=B=D=0则平面Cz=0为xoy面若A=C=0平面By+D=0平行于xoz平面 若A=C=D=0则平面By=0为xoz面即平面方程Ax+By+Cz=0中缺少某个坐标，则平面就平行于该坐标轴，平面方程缺少某两 个坐标，则平面就平行于这两个坐标确定的平面，平面方程中缺少常数项，则该平面过坐标 原点。平面得截距式方程平面在三个坐标轴上的截距分别是a,b,c则平面方程为x + y+z=1 a b c平面的三点式方程(向量混合积的

31、应用)平面上三点为MxyzMyzMxyz则平面方程为11112222333x 一 x 一 x1x 一 xX - xy 一 y1y2 y1y3 y1z 一 z1z2 - z1z3 _ 1（5）平面得位置关系设两个平面方程为Ax + B y + C z + D = 0法线向量n = (ABC )11121111(A2 B2C2)则两平面的夹角。：两平面法线向量的夹角（通常指锐角）cos 0 = cos (n , n )| = 勺刀2.1 2cos 0 = cos (n , n )| = 勺刀2.1 2州加2+ B2 + C2 ：A2 + B2 + C211*222两平面平行A = 5 = C AB

32、CC二CC二C-不成立2AB两平面相交了 -2A _B _C _D 两平面重合可-b -,-可（6）点到平面的距离公式点M（XZ0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为|Ax0 + By0 + Cz0 + D=A2 + B 2 + C 22重点平面与方程的我确定3难点：如何确定平面的方程使求解平面方程更简单二主要题型1求平面方程2确定平面之间的位置关系3求点到平面间的距离4综合题型三典型例题分析题型一求平面方曾（关键找一定点姬法线向量）解题思路（1）利用条件找到所求平面的法向量及其定点，使用点法式（2）设出平面的一班式，利用已知条件确定一般式中的待定常数（3）根据条件设出平面的特殊式，确

33、定其中的待定常数（4）若条件中出现平面通过已知的一直线，则可考虑使用平面式方程例一过已知两点 与x轴平行（1，2,-1) (-5, 2, 7)的一个平面，使（1）与平面2x+y-z=0垂直解法1例一过已知两点 与x轴平行（1，2,-1) (-5, 2, 7)的一个平面，使（1）与平面2x+y-z=0垂直解法1令M 1（1，21,-1)-1) M2 (-5， r取n =(-6, 0,r2, 7），则待求平面的法向量n垂直于M 1 M2同时也垂直于（2用点法式可得平面方程为4（x-1）-5（y-2）+3（z+1）=0即 4x-5y+3z+9=0解法2设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0A +

34、2 B C + D = 08) x (2，1，-1)=-2(4，-5，3)由题意知系数满足j-5 A + 2 B + 7C + D = 02 A + B C = 03 A = 4C 3B = -5CD = 3C从而得平面方程为4x-5y+3z-9=0（2）从而得平面方程为4x-5y+3z-9=0（2）法1由题意知平面的法向量n同时垂直于（1, 0, 0）=-8（0, 1, 0）有点法式得平面方程为y-2=0法2设所求平面方程为By+Cz+D=0则|2B - C + D = 0 n |C = 012 B + 7C + D = 012 B = - D(-6r0，8），（1，0，0）取n =（-6,

35、 0，8）x由题意知（+227、_ 由题意知（+227、_ ,14 日 从而万市为(x+y-+5z-1=0)3再土 (2x+3y-z+2)=0从而得平面方程为y-2=0例2求过两平面x+y+5z=1与2x+3y-z+2=0得交线及点（3，2，1）的平面方程和和这两个 平面平分面方程 解（1）设过两平面交线的平面为人（x+y+5z-1）+日（2x+3y-z+2）=0将（3，2，1）带入得9 =13 从而得平面方程为5x+14y-74z+31=0设过两平面交线的平面为人（x+y+5z-1）+日（2x+3y-z+2）=0* +3 *,5 - *）与（1, 1, 5）（2, 3, -1）的夹角相等（或

36、者所求平面上任意一点到已知两平面的距离相等）从而得平面方程题型2确定平面之间的位置关系解题注意事项：要记清平面之间位置关系的特点 例3当a取何值时两平面x+ay+3z=1与2x-4y+6z=5平行垂直相交 相交但不垂直并确定此时两平面的夹角解平行-=土 = - na=2一4 6垂直相交 1.2+ （-4） a+3.6=0 na=5相交但不垂直a。-2且a。5cos 6 二-0 - 2|.10 + a 2 14题型3求点到平面的距离解题注意事项：要记清点到平面的距离公式 例4求点（1，2，-1）到平面x-3y-z=15的距离1971 - 3 x 2 Tx (-1) -15|197-2 + -2

37、+ 12四同步自测练习题1求平行于平面4x-y-+z+5=0且与三个坐标面构成的四面体的体积为9的平面2在过平面2x+y-3z+2=0与5x+5y-4z+3=0得交线的平面集中，求两个相互垂直的平面， 其中一个平面过点（4，-3，1）3 求两个平面 19x-4y+8z+21=0 与 19x-4y+8z+42=0 的距离参考答案与提示4x-y+z+6=0 或 4x-y+z-6=02过点（4，-3, 1）的平面3x+4y-z+1=0与它垂直的平面x-2y-5z+3=03.1第六节空间直线及其方程一知识点重点及难点知识点：（1） 空间直线的点向式（对称式标准式）方程（向量平行的应用）rr r直线L的

38、方向向量S与直线L平行的非零向量S，S的方向余弦称为直线L的方向余弦设直线L上定点为M（）直线L的方向向量S =（m,n,p）则直线方成为（2）空间直线的参数与方程S直线上定点M（七y0 z0）直线L的方向向量=（m,n,p）则直线的参数方成尤=尤+ mty:y：: rL z = z + pt 0（3）空间直线的一般方程直线 L 可以看做平面n 1 Ax + B y + C z + D = 0 与n2A x + B y + C z + D = 11122222的交线即直线L的方程为n = ABCi i, i, in2 =（A2 b2 c2）为n 1与的交线即直线L的方程为n = ABCi i,

39、 i, in2 =（A2 b2 c2）为n 1与n2的法线向量则直线l与ni, 2都垂直S为L的方向向量，则S=i x 2（4）空间直线的两点式方程直线上的两个点MyzMyz2则直线的两点式方程为x xi = y yi = z Zix 一 xy 一 x z 一 z2 i 2 i 2 i(5)两直线昂之间的位置关系r直线L1其上定点Mx y z方向向量s = m n p方程iii iii 11i i, i, iii, i, ix _ xi = y _ yi = z _ zim inipir直线L2其上定点M (xyz方向向量s = mn p222222 2 2x 一 x方程hm2则两直线L1与L

40、2的夹角0 :两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）cos 0 =T- s i- .-rs2JL2r rs .smm + n n + ppi 2 i 2i2+ n2 + p2两直线L1与L2平行：L1 m 2 + n 2 + p 2222m in=：pm2n2p2r sirr 两直线L1与L2重合：M M2II * s2两直线L1与L2垂直：L1 1L212两直线L1与L2共面：M M .(s x s ) = 0即i 2 i 2rr两直线L1与L2异面：M M .(s x s )。0即i 2 i 2minipim2n2p2_minipim2n2p2_ xy2yiz2-ziminipim2n2p2

41、A (xLi（6）直线与平面之间的位置关系直线L：* = 工 = （6）直线与平面之间的位置关系直线L：* = 工 = Jo，L上的定点M (xyz )方向向量S =(m,n,p)平面H m n po, o, orAx+By+Cz+D=0法向量n =（A,B,C）直线L与平面H的夹角9 :直线L和它在平面H上的 投影直线的夹角（通常指锐角）cos 9 =,r r S .n|Am + B n + Cp|A 2 + B 2 + C 2 %： m2 + n 2 + p 2直线L与平面H平行（不在平面上）:Am + Bn+Cp=0 Ax0 + B* + Cz + D。0直线L在平面H上：Am + Bn

42、+Cp=0Ax。+ By0 + Cz 0 + D = 0直线L与平面H垂直 直线L与平面H相交：Am + Bn+Cp丰0（7）过空间直线的平面集方程过直线 L : A x + B y + C z + D = 0的平面集方程为人(Ax + B y + C z + D) 1 I 1 1 I1 / /+ p, （ A x + B y + C z + D ） =0其中， 不全为零（8）点到空间直线的距离公式（x y z）到直线L: x-xi =一 =至一、的距离公式0, 0, 0m n pr件（气七七）为直线L上的点s =（m,n,p）为L的方向向量 TOC o 1-5 h z rrxykrMM xS

43、Sx - xy- yz-rMM xSS1 m01n01p02重点：直线方程的确定及直线与平面的关系3难点：利用直线与平面关系确定所求解的问题二，主要题型1求直线方程2直线各方程之间的转化3确定直线之间的位置关系4确定直线与平面之间的位置关系5求交点，投影问题6求点到直线之间的距离7综合题型三，典型例题解析题型1求直线方程(关键找一定点及方向向量)解题思路：1，若求过一定点且与一直线平行的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知 直线的方向向量若求过一定点且与一平面垂直的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知 平面的法线向量若求过定点且与两直线垂直的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知两 直线的

44、方向向量的向量积若求过定点且与已知直线垂直，与一平面平行的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知直线的方向向量与已知平面的法线向量的向量积也可设出所求直线的方向向量s =(m,n,p)利用所求直线与已知直线平面关系 来确定方向向量中的参数x y z ,例1求过点(-1，2, 3)平行于平面2x+3y+4z+7=0且垂直于直线3 = 4 = 5的直线方程 r解法 1取 s =(2,3,4) x (3,4,5)=(-1,2,1) TOC o 1-5 h z x +1 y 2 所求直线为一厂=土一1121rrr法 2 取 S =(m,n,p)则 S (2,3,4) s (3,4,5)2m + 3n

45、+ 4p = 0 I 2m = n 3m + 4n + 5 p = 0m = px +1 = y 2T 2x 1 y z + 2 例2求过点(2, -1，3平行于平面3叫+5=0且与直线亍=1 = 丁相交的直线方程上(3,-2,1 )即 3m-2n+p=0r上(3,-2,1 )即 3m-2n+p=0解法 1 设s =(m,n,p)所求直线与已知直线相交即共面，因此=0 n -4m-9n-p=0 nm=-11n,p=35nx 2 _ y +1 _ z 3所求直线为亓 r故所求直线为35故所求直线为法 2 设s =(m,n,p)贝|s 上(3,-2,1 )即 3m-2n + p=0 x = mt

46、+ 2所求直线与已知直线相交，故满足所求直线的参数方程J = nt -1满足已知直线方程 z = pt + 所求直线与已知直线相交，故满足所求直线的参数方程mt+ 2 一 1 nt 一 1 pt+ 3 + 2 .即一-=(t 力 0)=-1111m=9tmt+ 2 一 1 nt 一 1 pt+ 3 + 2 .即一-=(t 力 0)=-1111m=9t-35pFx 2 j +1 z 3所求直线为=k11-1-35题型2直线各方程之间的转化解题注意事项：记清直线各式之间关系2 z - 4 j + z -1 = 0 例3将直线的-般方程I x + 3 j + 5 = 0转化为对称式和参数式方程r解

47、s =(2,-4,1) x (1,3,5)=(-3,1,10)在直线上任取一点，令y=0则x=-5,z=11x + 5j z 一 11所求对称式方程为一厂 =-3110 x = -3t 一 5参数式方程为1J=tz = 10t +11题型3确定直线之间的位置关系解题注意事项1记清直线之间位置关系的公式例4确定空间三直线之间的位置关系，三直线位置关系如下-5L2x = 3tI yM2I x + 2 j - z +1 = 0L3 Lx + J - z = 0LI:方向向量(-2,-5，3）定点为M1 =（-3，-4，0）L2: 方向向量rS2二(3,3，7）定点为M 2 =（0， -1， 2）L3

48、: 方向向量rS3 顼，1，（0，-1，1）rrss2 = -2 x 3 5 x 3 + 3 x 7 =-2-53337 = -45 丰 00 + 3-1 + 420L1与L2异面垂直3）L1 与 L2 : M M2 ( x 12)=L1 与 L3 L1 与 L3 : M 1M3（ x s2）=-210 + 3-5313 =-30 丰 0-1 + 4 -12-53._，2七=-2 - 5 + 3x 7。0且 1 丰丰 3 . L1 与 12异面3 7M M （s x S ） = 1 1 3 = 02 3 2 30 0 -3r r3 3 7.s2.s3 = 3 + 3 + 3x 7 = 27。0

49、且,= 丰 . L1 与 L2 共面相交 题型4确定直线与平面之间的位置关系解题注意事项1记清直线与平面之间位置关系的公式2复杂问题要巧妙使用过交线的平面 集方程可使问题简化确定直线三J2 = 2+2 =三3与平面x+y+z=3的位置关系31-4r r， 八解s.n = (3,1,-4).(1,1,1)= 3 +1 -4 = 0 且有 2+(-2)+3=3所以直线在平面上x 1 y 2 z 3x + 2 y 1 z例6求过直线=土一= 一T且平行于直线一=亍的平面方程10-1211r r r 一八 、一分、去所求平面法线向量 n = s1 s2 = (1,0,-1)x (2,1,1) = (1,-3,1)且平面过点(1，2，3)故所求平面为x-3y+z+2=0 x + 4 y 5 z = 1例7求过直线6x + 8y + z = 24且与球面X2 +产*2 = 例7求过直线解过已知直线的平面集为 即，与已知平面相切，即球心(0，0，0)到该平面的距离为2，故有，= 2（3 人 + 6 四）2 = 2（3 人 + 6 四）2 +（ 4 人 + 8人）2 + （一5人 + jlx）2n 199人2 + 312人日一172日2 = 0 n人=-2日或199人=86目所求平面为 z=2 或 132x+176y-21z-