平面几何五种模型

1、平面几何五种模型等积，鸟头，蝶形，相似，共边1、等积模型等底等高的2个三角形面积相等2个三角形高相等，面积比=底之比2个三角形底相等，面积比 =高之比夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）等积模型是基本应用应是烂熟于心的都是利用面积公式得到的推定比例如下：1等底等高的2个平行四边形面积相等2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半32个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比= 高之比2、鸟头模型（共角定理）鸟头定理：2个三角形中，有一个角 相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）力X，卜两夹边的乘积之比（夹角 2边无

2、衣）鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。如图，浅紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鸟头定 理用的是乘积比！不是单独的线段比 k .AD XAE小X小记忆上用夹角2边天城天最好记，这里等于AbXAC鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。经由媒介的ABE,联系了 ADE和大三角形ABCBE辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得）第二种的证明方式

3、将对顶角压回来 ABC内，对顶角性质是相等的， 所以压回来的新跟 ADE是全等，再做一条辅助线就能用共角的方式 证明由对角的鸟头定理互补角的鸟头定理证明ADDSJAADE=SADE,因为同底等高AD=AD,高相等，所以面积相等写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线, 特别重要！3蝴蝶模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶 S = S4 或者G父S3 = S2父S4 AO:OC = S S : S4 s3S1左上 S4右上 S1左上-S4右上;上面旗 上线上下比 Sz左下=S3右下= S 2左下+ S3右下=下面积 =F线S1左上 S2左下 S1左

4、上+ S2左下=左面积 左线【上上比】S二右上二I右F = 右，、； 一下 行而出 =一出由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如S1左上S4右上面积交叉相乘的乘积相等 2左下=3右下=S父S3 = S2父S4 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）222. 2 S ： S3 = a : b 上：下二a : b2 . 22. 2 S ： S3: S2: S4 = a ：b :ab：ab一上：下：左：右=a : b : ab: ab2s的对应份数为（a + b）-a2+2ab+b 2=a2+b2+ab+ab有木有T4相似三角形形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变, 他们都相似。1相似三

5、角形的一切对应线段的长度成比例，并且=它们的相似比2相似三角形的面积比=相似比的平方3连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长 =它所对应的底边长的一半就是三角形任2边中点连由来的中位线就是第三边长的一半！由题几率：多产生于 2条平行线造成的相似三角形金字塔模型沙漏模型SADE: SABC=AF2: AG2特别注意！相似三角形的面积比是等于相似比的平方5共边定理燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理共边定理说明如图一想知道 PAB和QAB的面积比？我们就如图二做个高，因为 同底（就是共用一个边）所以面积比 =高之比，再想办法偷懒，延长PQ、AB的线相交于 M ,那么刚

6、学的相似三角形可以派上用场，因为PDM Q QEM如图三PPD PM所以.二丁共边定理：若直线AB和PQ相交于点 M（4种情况）则有PAB-PMqAB = qm图三图四最常应用到的其实是图一，无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比曲线段比。（图形不重叠）图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：延长 线段QM（切记，唯一对比线段不在图形内的哈 ）共边定理的证明S PABS qAB =PMQM1 , M点是PQ和AB延长后的交点2,取N ,使得MN长度=ABS PAB s PNM3、丁/屋=S QNMPNM 和QNM 是等高，塞瓦定理（燕尾定理模型补充）三边比例互乘为1在AABC内任取一点 O,直线AO、BO、CO分别交对边于 E、F、D ,则得出BE C