排列、组合应用

1、排列、组合应用(学生自学材料及练习)学习目标： 1 掌握排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用2通过问题形成过程和解决方法的分析，提高分析问题和解决问题的能力3、培养自学习惯、提高自学能力、自学信心。一、知识要点 ：排列组合定义符号计 算公式性质特征从 n 个不同元素中， 任取 m（ m n）个从 n 个不同元素中，任取m（ m n）个元素，按照 一定顺序 排成一列叫从 n元素， 并成一组 叫从 n 个不同元素中取个不同元素中取 m 个元素的一个排列，m 个元素的一个组合若 mn,称选排列，若m=n 称全排列Anm（或 Pnm ）CnmAnmn( n1)(n 2)(n m 1)m An

2、mn(n 1)( n 2)( nm 1)n!Cnm!Amm( nm)!n!01m!( n规定 Cn规定0! 1Annn!m)!（ 1）CnmCnn m （ 2）Cnm 1CnmCnm 1排列：既取又排，与顺序有关组合：只取不排，与顺序无关相同排列：元素相同且顺序一致相同组合：元素相同，不计顺序二、内容分析 ：排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关 . 与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题 。从定义上来说是简单的， 但在具体求解过程中往往感到困惑， 分不清到底与顺序有无关系 .解答排列组合问题， 首先必须认真审题， 明确是属于排列问题还是组合问题， 或者属于排列与组合的混合问题， 其次要

3、抓住问题的本质特征， 灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。三、几种常见问题及方法：1、排列问题常见的限制条件及对策1）含有特殊元素、特殊位置的题特殊优先法对于带有特殊元素的排列问题， 一般应先考虑特殊元素、 特殊位置， 再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想。例 1： 用 0、1、2、 3、 4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个 .分析： 由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0 不能排首位，故0 就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0 排在末尾和0 不排在末尾分两类：0

4、排末尾时，有A42 个 0 不排在末尾时， 末尾可在 2、4 中选一个可有 A21 ，再从 0,1,3 中选一个排首位有A31 ，中间有 A31 ，则有 A21 A31 A31 个。由分类计数原理，共有偶数A42A21 A31 A31 =30 个。练习： 3 个女生和 5 个男生排成一排，如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（ 2）相邻问题“ 捆绑法 ”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例 2：7 位同学排队，其中甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？分析：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5 个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙

5、两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A66 A221440种练习： 7 位同学排队，其中甲、乙、丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？（ 3）不相邻问题“插空法 ”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例 3：7 人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有A44 种排法，再在这人之间及两端的5 个“空”中选三个位置让甲乙丙插入， （如图 0 0 0 0 0 “ 0”表示空位，“”表示4 个人）则有 A53 种方法，这样共有 A44 A531400 种不同排法。练习： 学

6、校举行元旦文艺会演，有 3 个歌唱节目和 5 个舞蹈节目， 现要求歌唱节目不能相邻，共有多少种不同的排法？2、组合问题常见的问题及对策（ 1）在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”等词，要仔细审题，理解其含义。至多至少问题常用分类或排除法。例 4： 100 件产品中，有98 件合格品， 2 件次品 从这 100 件产品中任意抽出3 件1）一共有多少种不同的抽法；2）抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少种？3）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？4）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少种？分析：（ 1） C1003161700；（ 2）都不是次品，也就是3 件全部

7、是合格品，所以 C983152096；（ 3）恰好有 1 件是次品，即1 件次品 2 件合格品，所以C21C9822 4753 9506 ；4）解法一：（分类）有两种情况： 1 件次品 2 件合格品； 2 件次品 1 件合格品。所以 C21C982 C22C198 9506 98 9604 ；解法二：（排除法）所有的选法中去掉全部是合格品的选法，剩下的肯定有次品（即至少有1 件）。所以 C3C 3161700 152096 960410098练习：（1）4 名男生和 6 名女生组成至少有1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？2）某班有 54 位同学，正、副班长各 1 名，

8、现选派 6 名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种不同的选法？（只要求列式）无任何限制条件；正、副班长必须入选；正、副班长只有一人入选；正、副班长都不入选；正、副班长至少有一人入选；正、副班长至多有一人入选；（ 2）分组、分配问题：分组、分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是无组别之分的，而后者即使元素个数相同，但因人不同， 仍然是可区分的， 对于这类问题必须遵循先分组后排列。取法若平均分m 组，则 分法m!例 5： 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：（ 1）分给甲、乙、丙三人，每人2 本；2）分为三份，每份 2 本；3）分为三份，一份 1 本，一份

9、 2 本，一份 3 本；（ 4）分给甲、乙、丙三人，一人1 本，一人 2 本，一人 3 本；分析：（ 1）根据分步计数原理得到：C62C42C2290种；C62C42 C22（ 2）本题是分组中的“均匀分组”问题所以不同的分法种数为：15A33（ 3）这是“不均匀分组”问题，一共有C61C52 C3360 种方法（ 4 ）这是“不均匀分配”问题，在（3 ）的基础上再进行全排列，所以一共有C61 C52C33 A33360种方法练习： 6 位同学，按下列要求各有多少种不同的分法：1）分成语文、数学 2 个兴趣小组，每组 3 人；2）分为 2 组，每组 3 人；选学内容：（ 3）、同元问题“隔板法

10、”例 6. 10 本完全相同的书， 分给 4 个同学， 每个同学至少要有一本书，有种不同的分法 .分析： 在排列成一列的 10 本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： 一种插法对应于一种分法，则共有C 93 =84 种分法 .练习：（ 1）有 10 块相同口味的蛋糕，分给 5 个人吃，每人至少分1 块，共有几种不同的分法？（ 2） 方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解？数学小常识高中数学知识口诀排列、组合与序无关是组合，要求有序是排列，排列组合在一起，先选后排是常理，特殊元素和位置，首先注意多考虑，不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下

11、三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，