微积分下册期末试卷及答案

1、中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案中南民族大学及参考答案06年A卷评分人yf(x y, ) x y221、已知x,则f(x,y)_.1x e dxx22、已知,则_.0 e dx2 xf(x,y) x xy y y1223、函数在点取得极值._.xf (x,y) x(xarctan y)arctan yf4、已知,则y (C C x)e3x (C,C5、以为任意常数为通解的微分方程是2121_.评分人二、选择题每小题3分,共15分) dxe ep)xdx6 知与 xlnp1 x 均收敛,10则常数 的取值范围是(p.p 1 p11 p2p 2(A)(B)(C)(D)中南民族大

2、学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案4x, x y 022x2 y2f(x,y)x y 0227 数在原点间断,是因为该函数(.(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值I 1x y dxdy I 1 x y 322223128、若,x y 2,x2y2122I 31 x y 2232x2y24,则下列关系式成立的是(.I I II I I(A)(C)(B)123213I I II I I(D)123213 6 9 yyyx e3x9、方程具有特解(.y axby (ax b)e3x(A)(C)(B)(D)

3、y (ax2 bx)e3xy (ax3 bx2)e3xa2( an10、设n收敛，则n(.n1n1(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C) 发散(D) 不定评分三、计算题(每小题6分,共60分)评分人3y x 04 y、求由2,x,所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人y2x2lim y 1112、求二重极限 x0 x22.y0评分人z13、z z(x,y)由ze xy确定，求 x y . z中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人z x y1在条件xy1下的极值.2214、用拉格朗日乘数法求评分人 x e 1yy1215

4、、计算.y2中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人(x y )dxdy2216一象限内的区域. D 是由 轴及圆周1所围成的在第yx2 y2D评分人 y y x17、解微分方程.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人 (11)n3n318、判别级数的敛散性.n1评分人13x19、将函数展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.x中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人20 xx收入 (万元)与电台广告费用 (万元)的及报纸广告费用 (万元)之间的关系有R12如下的经验公式:R x x 8x x 2xx2122，1212求最优广告策略.评分

5、四、证明题(每小题5分,共10分)评分人zz 1x y 11z x y )xy 321、设33，证明：.中南民族大学06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人 2v2u v )2u22、若n与n都收敛,则nn收敛.n1n1n1答案一、填空题(每小题3分,共15分)x(1 y)1 2( , )1 y6y y 0.3 31、二、选择题(每小题3分,共15分). 2、 . 3、. 4、1. 5、y6、(C . 7、 (B). 8、(A ) .9、. 10、.三、计算题(每小题6分,共60分)3 x 0、求由y2,4, yx所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积.y32解：yx的反函数为x y2。且x4时

6、，y。于是,y 0 83中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案)24y dy8(4)16(8 0) 8V y dy 223300 3 8337128 y 128 (8 0) 737705127x2 y2limx2 y21112、求二重极限 x0.y0(x y )( x y 12222limx2 y211x0y0解：原式分)分)lim( x y 1 222x0y0zz z(x,y) ze xyx y z13、由确定，求，则.F(x,y,z) z e xy解：设zF yxF xF1ez，zyzxFxFyyzFyFxx 1e 1ey11ezezzz分)，zzz1e ye zz z y

7、y1e z2y y 1e(1e )1e (1e )zz 2zz 2分)z x y1在条件xy1下的极值.2214、用拉格朗日乘数法求z x(1 x)1 2x 2x2222解：11x x 令z4x20,得2 40,z,2为极小值点.(3分)1 132( , )z x y 1 y 1 x222 2故在下的极小值点为,极小值为 分)中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案 x e 1yy12215、计算.y31 12I1dyye dx e e8212y2解：分)(x y )dxdy22 y1所围成的在第 是由y 轴及圆周x2216一象限内的区域.DD(x y )dxdy 2221 r d

8、r3解： 8分)00D y y x17、解微分方程p y y. p p xp解：令,方程化为,于是 )pe ( (dxC ) (e dx Cxx11e (xe C (xCexxx分)分)111 y (xCe dx (xCe Cx2x2112 (11)n3n318、判别级数的敛散性.n12n 1 n 133n 1 n 1解：33分)n 1 n 1n nn 1 n 133lim lim11nn33n n因为分)13x19、将函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案11 1 13x 3x x1n1x3,1x1,分)分)1 x 1n01( ) x

9、nn3x 333n13 x3,.n0n020 xx收入 (万元)与电台广告费用 (万元)的及报纸广告费用 (万元)之间的关系有R12如下的经验公式:R x x 8x x 2xx2122，1212求最优广告策略.解：公司利润为LRx x 1513x 31x 8x x 2x2 10212121 212 8 4 Lxx1x x4 8 2x121 8 Lx1x8x x 令即x22123 5(x ,x )( , )4 4得驻点12,而分)(6分)AB LL 40 8 C L,x xx xx x1 1122 2D ACB280640,所以最优广告策略为：电台广告费用0.75万元报纸广告费用1.25万元.四

10、、证明题(每小题5分,共10分)zx y xz 111z x y )y 3.21、设z33，证明：zy131x2131y233,x1313x yx y证：33分)zz131x2131y32x y xy3 yx1313x yx y331 x x131133311 x y 33分)中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案 u2v2u v )222、若n与n都收敛,则nn收敛.n1n1n10u v ) u v u v u v )22222证：由于,分)nnnnn nnn u2v2u2v )2nnnn并由题设知与都收敛,则收敛,n1n1n1 ( )u v2nn分)从而收敛。n106 年B

11、卷评分人一、填空题每小题3分,共15分)yf(x y, ) x yf x y( , ) 221、设2、已x，则_.15( )( )22知，则_.f (x,y) 2xax xy2y在点1)取得极值，则常数223、设函数a _.(,y) x y(x 4arctany)_.,则xff4、已知y Ce C e C ,C5、以x3x(为任意常数为通解的微分方程是2121_.评分人二、选择题每小题3分,共15分)中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案dx e e dxpxln x6、已知与 x均收敛,p10则常数 的取值范围是(p).p 0p 0p 10 p 1(A)(B)(C)(D)f (

12、x,y) x y(0,0)227、对于函数,点().(A) 不是驻点(B) 是驻点而非极值点(D) 是极小值点(C) 是极大值点I (x y) d I (x y) d23(x2) (y1) 112228、已知,其中 为D,则DD().I I1I I1I I1I1 I22(A)(B)(C)(D)22225 6 y xe2xyy9、方程具有特解().y axb (axb)e2xy(A)(C)(B)y (ax2 bx)e2xy (ax3 bx2)e2x(D)( 2 aann10、级数n收敛，则级数n().n1n1(A) 条件收敛(C) 发散(B) 绝对收敛(D) 敛散性不定评分三、计算题(每小题6分

13、,共60分)评分人中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案x3 y 0、求y,所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积.x2x评分人11x y )0yx12、求二重极限.xy0评分人x y z2z 13、设1 x2,求.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人f(x,y) 在满足条件xy1下的极值.14、用拉格朗日乘数法求评分人 1d1e dx x y0 xy15、计算.0中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人 y dxdy x22(y1)1所围成的,其中 是由 y 轴及圆周 x2216、计算二重积分在第一象限内的区域.DD评分人 0 xy y17、解

14、微分方程.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人2 n n18、判别级数的敛散性.n1评分人1f(x)x展开成(x的幂级数.19、将函数中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人20、yx 单20 x30y0.1(2x 2xy3y )10022.,评分四、证明题(每小题5分,共10分)评分人中南民族大学06、07 微积分（下）试卷及参考答案21、设uln x y z,证明2222u u u221x2y2 z2 x y z222.评分人 a2b2a b22、若n与n都收敛,则n n 收敛.07 年A 卷n1n1n1评分人一、填空题每小题3分,共15分)z x

15、y f (x y) 21、设，且当时，z x ，则 .0zy2、计算广义积分x3=.1dz3、设ze，则.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案 5 6 y xe2yy4、微分方程x 具有形式的特解.1214unu25、设n，则n_n1n1评分人二、选择题(每小题3分,共15分)3sin(x y )22limx2 y26、x0的值为().y003(A)(B)(C) 2不存在f (x , y ) fx(x , y )x y( , )f(x, y)7、和0存在是函数在点可微的(0).0y000(A) 必要非充分的条件(C) 充分且必要的条件(B) 充分非必要的条件(D) 即非充分又非

16、必要的条件z 4 x y y 1220及柱面x228、由曲面和z所围的体积是().2 22d24d4 d14dr rr r r2(A)(C)00(B)(D)00 12d1r r4 d4 d4 dr r r2220000 ( )y f xy x y e9、设二阶常系数非齐次线性方程y e2x有三个特解，x，12，则其通解为().3xC e C e2C e C eC x12xx(A)(C)x x(B)(D)2312xC (e e2 )C (xe )C (e e2 )C (e2 x)xxxxxx1212中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案(n110、无穷级数(A) 收敛n( 为任意实

17、数) ().ppn1(B) 绝对收敛(D) 无法判断(C) 发散评分三、计算题(每小题6分,共60分)评分人xylim、求极限x0 xy11.y0评分人 xy 012、求由y与直线、所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积.xx1 x4、中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人z z,13、求由ezxyz所确定的隐函数 ( , )z z x y的偏导数x y.评分人f (x,y) x4x2xy y32214、求函数的极值.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收xx入 (万元)与电台广告费用

18、 (万元)的及报纸广告费用 (万元)之间的关系有如下R12的经验公式:R x x 8x x 2xx2122.12121.5若提供的广告费用为 万元,求相应的最优广告策略.评分人y y x,y 2x x x 2x16、计算积分,其中 是由直线及所围成的闭区域.DD中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人t)dt 2xf(x) x xff(x) 0( )f xf17、已知连续函数满足0，且，求.评分人2yy21 y18、求解微分方程.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人(x2)n19、求级数3的收敛区间.nn1评分人sin(2 x)n!20、判定级数条件收敛

19、.是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是n1中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分四、证明题(每小题5分,共10分)评分人uu unn1 也收敛.21、设正项级数n收敛,证明级数n1n1评分人yz f(x y)f (u)2222、设,其中1 z 1 z z为可导函数, 证明x x y y y2.07（A）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）,)z x y f (x y)y0 2z xz。x22xy2y y2（）1x32 ） 1=dz设zexy，则e(dxdy)具有 形式的特解.（）5 6 ax2 bx e2x( )yyy xe2x微分方程）中南民族大学06、0

20、7 微积分（下）试卷及参考答案11 u 4nu n22nn1n13sin(x y )22limx2 y2x0y0、（A ）C.2f (x , y ) fx(x , y )x y( , )、和0f(x,y) （A 00y000z 4 x y y 1222和z0 x2 D 2 22d24d4 d14dr rr r r2；0000 12d1r r4 d4 d4 dr r r222、；0000 ( )y f xy x y e4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，x，12y e2x3，则其通解为 （C xC e C eC xC e C e2x；B.D.；xx2xA.C.12312xC (e e )C

21、 (xe )C (e e )C (e x)x2xx ；x2x2x1212(n1nppn1( ) ）xylimxy11x0y0。xy( 1(1)1xylimxy11x0y0 x0y0 11)112x0y0、y xx1、x4 y 0 x V 4( x) x2x17.5z z,x ye xyz ( , )z z x yz 。x中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案zzzxzez yzxyx e x(zxzy zzzzez yyy e y(zzf (x,y) x4x2xy y322f (x,y) x4x2xy y3228x2y f (x,y)2x2yf (x,y)3x2x，y，f (x,

22、y)6x8 fxx(x,y) 2 f (x,y) ，xyyy3 8 2 0，2xx y2x2y 0，(0,0) (2,2)得和.(0,0) 80对(0,0)有xx，(0,0)f 2 f 2，f 0fB 022 f 22)有 (2,2) 4 fxx，f对2)B 02，R 与x1x电台广告费用 (万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:2R x x 8x x 2x x1.5万元,21221212(x ,x ) x x 0R 1212F 13x 31x 8x x 2xx (x x 1.5)2122令,121212 138 4 Fxx1x21 318 20 Fx1x2x2 0,F x

23、 x12x 0 x ,211.51.5,y y x,y 2x x x 2xD 及Dy yd2 2x xx1x.D3292xdx41中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案 xft)dt 2xf(x) xf(x)f0 f(x)。 0 x11( )f x( ) f xf (x) 2f (x)2xf (x)12x2x即f (x)1dxdx( ( )e c)(x) ef2x2x2x1c( x c) 1xx=1f(x) 11x又f0c10c2yy21 y 。2 y pp20py p1y即2p 02dyp cec (y1) 1 yy211dydy c (yc dx2(y21dx1即1y 1c

24、xc( 2)12xnn3n1a1R limlim3n1tnnan1ntx2,tn33nn,.n11 (n当t1n3n01当t1n3n1tnI n3故,n1t( 2)xnI 1,3)n3 x.n1中南民族大学06、07 微积分（下）试卷及参考答案sin(2 x)n!、n1sin(2 x) 1n!n!1(n1)!1lim01nn!n!(，n1sin(2 x)sin(2 x)nnn!n!. n1n1uu unn1nn1n11u u u u )2nn1nn1，1 u u )u un2nn1n1y1 z 1 z zz f(xz y)f(u)x x y y y.2222、设2x,f 2z f 2y f2y

25、f21 z 1 z2yf f 2y f 1z2 x x y yf 2yf 2yfy2.评分人一、填空题每小题3分,共15分)1、设zxyf(yx)，且当x0时， y2，则 .zzdx2、计算广义积分x2.1zx y )，则223、设4、微分方程.(1,2)6 9 x e3xyyy具有形式的特解.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案3 1n9n5、级数的和为.n1评分人二、选择题(每小题3分,共15分)3sin(x y )22limx2 y26、x0的值为().y0032(A)(B)(C)不存在f (x, y)xf (x, y) (x , y )(x , y )f(x, y)7、

26、和在存在且连续是函数在点可微的0y000().(A) 必要非充分的条件(C) 充分且必要的条件(B) 充分非必要的条件(D) 即非充分又非必要的条件z 4 x y22 4220及柱面x y8、由曲面和z所围的体积是().2 2d4r r4 d4 d2r r4 d r r22(A)(B)(C)00002 2d2r r4 d4 d2r r4 d22(D)0000 ( )y py qy f xy x1ex2y9、设二阶常系数非齐次微分方程y e2x有三个特解，2，则其通解为().3C (e e2x)C (e2x x)C xC e C e2xx22x(A)(C)(B)(D)12123C e C e2x

27、C e e )C (x e )x2x2xx2x2x1212(n1n2pp10、无穷级数( 为任意实数) (B) 绝对收敛(D) 发散).n1(A) 无法判断(C) 收敛中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分三、计算题(每小题6分,共60分)评分人2 4、求极限x0.y0评分人 2xy sinx2 y 0、12转体的体积.上,曲线与直线所围图形绕x轴旋转的旋中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人z z,e xyz xyz(,y)x y13、求由 z所确定的隐函数z的偏导数.评分人f(x,y) x3 12xy8y314、求函数的极值.中南民族大学 06、07

28、微积分（下）试卷及参考答案评分人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收xx入 (万元)与电台广告费用 (万元)的及报纸广告费用 (万元)之间的关系有如下R12的经验公式:R x x 8x x 2xx2122.12121.5若提供的广告费用为 万元,求相应的最优广告策略.评分人(2xy)y x16、计算二重积分,其中D是由,D1y y 2x 及所围成的闭区域.中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人t)dt 2f(x) x 0 xff(x)f(x)17、已知连续函数满足0，求.评分人 x )y 2xy0218、求微分方程的通解.中南民族大学

29、 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分人(xn19、求级数的收敛区间.nn1评分人cos(nx)n! 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是20、判定级数条件收敛.n1中南民族大学 06、07 微积分（下）试卷及参考答案评分四、证明题(每小题5分,共10分)评分人aa( na2nn21、设级数收敛，证明n也收敛.n1n1评分人t z z22z2cos2(x )202tt22、设,证明:2.07年（B）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）,)z x y f(yx)z y2x0z。x22xy2x y2（）dxx21 ） 1=中南民族大学06、07 微积分（下）试卷及参考答案1

30、2dx dy3zx2 y2)则dz(1,2)3）6 9 ax3 bx2 e3x( )微分方程yyyx e3x具有形式的特解.（）3 15n9n8 ）n1 3sin(x y )22limx2 y2x0y0、3（B ）0f (x, y) fx(x, y) ( , )x yx y( , )、和在f(x,y) （B ）0y000z 4 x y22 4220 x y和z （B ）2 2d4r r4 d4 d2r r4 d r r22；00002 2d2r r4 d4 d2r r4 d22、；0000 ( )y f xy x1ex2，y4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，2y e2x3，则其通解为 （D）C (e e2x)C (e2x x)C xC e C e2xx22xA、C、； B、