动量定理与微元法综合应用

1、流体及 具特点流体及 具特点微元法方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法 可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵 循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的 数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考， 从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。夸向流体类问题通常液体流、气体齐茲茁齐頂 量具有连续性，通常给密度卩1建型柱体模型Y沿流速Q的方向选取一段

2、柱形 流体,其横截面积为S微元研究，作用时间Z内的一段柱形流体的长度 为人对应的质量为也=閃必/ 建立方程应用动量定理研究这段柱体流体_F = F = p v 一At其中十就是t时刻链条的速度v，例题精讲例 1 ：一根质量为 M ，长度为 L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触， 今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图37所示，求链条下落了长度x时，链条对地 面的压力为多大？ 解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上 那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力， 这个力的冲量，使得链条落至地面时的动

3、量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面 的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以 将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为X，未到达地面部分链条的速度为V， 并设链条的线密度为P .由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零从t时刻起取很小一 段时间在At内又有落到地面上静止.由动量定理有團3-7（F 商g ）At = AI 因为 AMg -At 沁 0 所以 FAt = AM - v - 0 = p vAx解得冲力:故F二pv2链条在t时刻的速度v即为链条下落 长为x时的即时速度，即v2=2gx,代入F的表

4、达式中，得F = 2pgx 此即 t 时刻链对地面的冲力.團3-7所以在t时刻链条对地面的总压力为N = 2pgx + pgx = 3pgx = 3M g XL例2： 一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v, 那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功 再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在At时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F,根据动量定理，有FAt=Amv 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg即 Mg t=Am v t=Am v/Mg对同样

5、这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W = - Amv 22=MgVW Amv=MgV所以发动机的功率P =二=為丽例3：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p,容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔 掉，如图313所示问空气最初以多大初速度冲进容器？(外界空气压强为p0、密度为p )解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气 分子进入容器后压强如何变化，使我们难以找到解题途径注意到题目中“最初”二字，可以 这样考虑：设小孔的面积为S,取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为 L,因AL很小，所以其质量Am进入容器过程中，不改变容器压强，故

6、此薄层所受外力 是恒力，该问题就可以解决了.由以上分析，得：F=(p0-p)S对进入的Am气体，由动能定理得：FAL = 1 Amv2 而 Am=p SAL2联立、式可得：最初中进容器的空气速度v=* 针对练习为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强,小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台,测得1小时内杯中水位上升了 45mm。查询得知，当时雨滴竖直下落的速度约为12m/s，据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1 x 103kg/m3)()A.0.15 Pa B.0.54 Pa C.1.5 Pa D.5.4 Pa【解析】选A。由题中1小时内水位上升了 45mm，

7、可知每秒钟水位上升的高度： h=错误！未 找到引用源。m,在t秒内雨水对睡莲叶面的冲量：I二错误！未找到引用源。 t二mv=p Vv二 p (S ht) v,可得雨滴对睡莲叶面的压强：p二错误！未找到引用源。=p hv=0.15Pa, 底故选项A正确。某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假 设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S )；水柱冲击0到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度 为P，重力加速度大小为g，求：喷泉单位时间内喷出的水的质量；(i

8、i)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。【解析】(i)在一段很短的A t时间内，可以为喷泉喷出的水柱保持速度v0不变。 TOC o 1-5 h z 该时间内，喷出水柱高度：Al = v -At0喷出水柱质量：Am = P - AV其中Av为水柱体积，满足：AV = Al -SAm由可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为一一 =P -SAt0(ii)设玩具底面相对于喷口的高度为h由玩具受力平衡得：F =Mg冲其中；F为玩具底部水体对其的作用力.冲由玩具受力平衡得：F =Mg冲其中；F为玩具底部水体对其的作用力.冲由牛顿第三定律：F =F压冲其中， F 为玩具时其底部下面水体的作用力压v为水体

9、到达玩具底部时的速度由运动学公式：v2. - v2 =-2gh0在很短At时间内，冲击玩具水柱的质量为AmAm = P -v - s -At 0 由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有 动量定理(尸工+ Amg )- At = Am - v压由于At很小，Amg也很小，可以忽略式变为F -At = Am-v压v2M 2 g2P 2v2S 2 0由可得h = 2 g考点】动量定理，流体受力分析，微元法难点】情景比较新颖，微元法的应用难点】I M| TIM- JLa冋乙微粒类冋题微粒及其特点通常电f流、光子流、尘埃等被广义地视为微1 粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子 数M11建立“柱

10、体”模型，沿运动的方向选取一段微元,1柱体的横截面积为s分微元研究，作用时间内一段柱形流体的长度为析 步2人对应的体积为则微元内的粒子骤数 N1I3先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘（以N计算根据量子理论，光子的能量E和动量p之间的关系式为E=pc，其中c表示光速由于光子有动量，照到物体表面的光子被 物体吸收或反射时都会对物体产生压强，这就是光压，用I表示.（1）一台二氧化碳气体激光器发出的激光，功率为P0，射出的光束的横截面积为S.当它垂直照射到一物体表面并被物体全部 反射时，激光对物体表面的压力F=2p N，其中p表示光子的动量，N表示单位时间内激光器射出的光子数试用P0和S表 示该束激光对物体产生的光压I.有人设想在宇宙探测中用光作为动力推动探测器加速，探测器上安装有面积极大、反射率极高的薄膜，并让它正对太阳. 已知太阳光照射薄膜时对每平方米面积上的辐射功率为1.35 kW，探测器和薄膜的总质量为m=100 kg，薄膜面积为4x 104 m2，求此时探测器的加速度大小（不考虑万有弓I力等其他的力）解析：激光器的功率为P0=NE（2