42分层随机抽样的均值与方差3百分位数

1、4.2分层随机抽样的均值与方差43百分位数【学习目标】1.理解分层随机抽样的均值与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的均值与 方差2理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p分位数.知识梳理梳理教材夯实底础知识点一分层随机抽样的均值与方差分层随 机抽样 的均值设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 , % 2,，n和3,R2,，%,则这个样本的平均数为w 1 X 1+ w2 % 2Wn % n= 叼% .i=1分层随 机抽样 的方差设样本中不同层的平均数分别为X 1，X 2,，X n,方差分别为个,，明，相应的权重分别为W1，W2，Wn，则这个样本的方差为S2= W.S2i =1+ ( X -

2、 X )2，其中X为样本平均数知识点二百分位数.总体的p分位数的概念：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p(0山，总体的p分位数有这样的特点： 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.四分位数：25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数.把总、体数据按照从小到大排列后，这三个百分 位数把总体数据分成了 4个部分，在这4个部分取值的可能性都是4.因此这三个百分位数也 称为总体的四分位数.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第一步，按从小到大排列原始数据: 第二步，计算i=n Xp；第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第/项数据：若i是整数，则p 分

3、位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.思考辨析判断正误1.样本数据分为两层，其中一层的平均数为96，另一层的平均数为98，则样本数据的平均96 + 98数为一 二 97.( X ).把一个样本分成两层，由每层数据的平均数和方差能求整个样本数据的平均数和方差.(X )题型探究. 50%分位数就是中位数.(V )题型探究探究重点槌升去养一、分层随机抽样的均值与方差的计算例1 (多选)某分层随机抽样中，有关数据如下:样本量平均数方差第1层4542第2层3581第3层1063则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)()A.第1,2层所有数据的均值为5.75B.第1,2层所有数据的方差为1.50C.第

4、1,2,3层所有数据的均值约为7.68D.第1,2,3层所有数据的方差约为5.23答案AD4535一 一 _解析 第1,2层所有数据的均值为： 12=X4 + X8 = 5.75 , A正确；第1,2层 12 45 + 3545 + 35所有数据的方差为 s2 = 45 X 2 + (4 - 5.75)21+ 35 X 1 + (8 - 5.75)21= 5.5 , B 不正12 45 + 3545 + 35确；第1,2,3层所有数据的均值为了 = 40X4 + 90X8+9X6-5.78,C不正确；第1,2,3层所 有数据的方差约为 s2 = 40X 2 + (4 - 5.78)21+ 90

5、 X 1 + (8 - 5.78)2 + $ X 3 + (6 - 5.78)2 -5.23 , D 正确.反思感悟运用公式求分层随机抽样的均值与方差时要注意清楚公式中各个符号的含义，避免代入数据混乱.(2)运算要格外仔细，并按要求保留有效小数.跟踪训练1某培训机构在假期招收了 A, B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过 一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115, B班的 平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.解依题意 A = 130 , sa = 115,1030X130+X110=115 ,10 + 301

6、0 + 30全体学生的平均分为115分.全体学生成绩的方差为S2 = WA SA + ( % A - % )2 + WB SB + ( % B - % )21010 + 301010 + 30(115 + 225) +3010 + 30(215 + 25)= 85 + 180 = 265.二、百分位数的计算及应用例2 (1)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为, 75%分位数为, 90%分位数 为.答案3 8 9.5解析 因为数据个数为 10，而且 10X25% = 2.5,10X75% = 7.5,10X90% = 9. TOC o 1-5 h z % +%9+10所以该

7、组数据的25%分位数为% = 3,75%分位数为% = 8,90%分位数为9 ? 10 = = 953822(2)某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办 了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取 了 %人，按年龄分成5组(第一组：20,25),第二组：25,30),第三组：30,35),第四组：35,40), 第五组：40,45),得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.求;求抽取的1人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96

8、,99,求这10人成绩的20%分位数和 平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈 你的感想.解 第一组频率为0.01X5 = 0.05,所以 1 = 005 = 100.由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的1人的年龄的50%分位数在30,35）内，由30 +吗00竺心32，所以抽取的1人的年龄的50%分位数为32.把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99 ,，一,90 + 92计算10X20% = 2，所以这10人成绩的20%分位数为双六二91

9、,这10人成绩的平均数为-1N/JL17（88 + 90 + 92 + 92 + 95 + 96 + 96 + 97 + 98 + 99） = 94.3.评价：从20%分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.（学生）反思感悟求百分位数时的注意点一定要将数据按照从小到大的顺序排列；一定要确定i = np的结果是否为整数.（2）由频率分布直方图求百分位数的方法要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.一般采用方程的思想，设出p分位数，根据其意义列出方程并求解即可.跟踪训练 2 （1）数据 7.0,8.4,8.4,8.4,8.6

10、,8.7,9.0, 9.1 的 30%分位数是答案8.4解析 因为8X30% = 2.4 ,故30%分位数是第三项数据8.4.（2）一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的50%分位数为答案1009答案1009解析 样本数据低于10的比例为（0.08 + 0.02） X 4=0.40，样本数据低于14的比例为0.40 +0.09X4 = 0.76，所以此样本数据的50%分位数在10,14）内，估计此样本数据的50%分位数为10 +0.10.36X10 +0.10.36X4 =1009 .随堂演练也曲巩固学以致用%.一组数据的中位数相当于是（）A. 25%分位数B. 50%分位数

11、C. 75%分位数D. 95%分位数答案B2.某单位共有员工100人，其中有年轻人20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为（）A. 5万元B. 8万元C. 6.5万元D. 7.4万元答案D解析 由题意可知 =120X5+1800X8 = 7.4（万元）.3.一组数据为6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36,则这组数据的一个四分位数是15,则它是（）A. 15%分位数B. 25%分位数C. 50%分位数D. 75%分位数答案B解析 将数据由小到大排列的结果：6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 4

12、2, 43, 47, 49 ，一共11项.由11X 25% = 2.75，故 25%分位数是 15. 900,920,920,930,930 的 20%分位数是.答案910900 + 920解析 因为5 X 20% = 1 ,所以该组数据的20%分位数是一2一 二 910.已知某省二、三、四线城市数量之比为1 ： 3 ： 6,2018年8月份调查得知该省所有城市房 产均价为1.2万元/平方米，方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米， 1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市的房 价的方差为.答案118.52解析设二线城市的

13、房价的方差为s2，由题意可知13620 =s2 + (L2 - 2.4)2 +10 + (1.2 - 1.8)2 +8 + (1.2 - 0.8)2，1+3+61+3+61+3+6解得s2= 118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.课堂小结-.知识清单：分层随机抽样的均值与方差.(2)百分位数.方法归纳：数据分析.常见误区：求百分位数时，未排序导致错误.课时对点练注重双基强也落实*基础巩固1.有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A, B两种糖块按照： 2的比例混合出售，则合理的价格应为()A. 18元/千克B. 24元/千克C. 21元/千克D. 22

14、元/千克答案D12解析 =X18+X24 = 22（兀/千克）.1+21+2.已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是（）A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B .把这100个数据按从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据按从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据按从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数答案C解析 因为100 X 75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数, 是 9.3.已知一组数据:125,121,123,125,127,129,125,12

15、8,130,129,126,124,125,127,126则这组数据 的25%分位数和80%分位数分别是（）A. 125,128B. 124,128C. 125,129D. 125,128.5答案 D解析 把这 15 个数据按从小到大排序可得 121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130 ,由25% X 15 = 3.75,80% X 15 = 12,可知数据的25%分位数为第4项数据为125, 80%分位数为第12项与第13项数据的平均数，艮P2 X （128 + 129） = 128.5.4.（多选）某学校高一年级在

16、校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高 发展情况，按分层随机抽样的方法抽取80名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm, 方差为2.1；抽取70名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm,方差为3.则（） A.该校高一学生的平均身高约为166.4B.该校高一学生的平均身高约为168.2C.该校高一学生身高的方差约为2.5D.该校高一学生身高的方差约为19.3答案 AD解析 设样本中男、女的平均数分别为7,7 ,由题意可知，T = 170.2 ,亍=162.0 且 M =320 , N =280 ,所以样本平均数 V320M+NM+所以样本平均数

17、V320M+NM+N320+280X 170.2 +280320+280X162.0心 166.4(cm),样本方差 s2 二一32012.1 +(170.2 - 166.4)21+ 280-3 + (162.0 - 166.4)2心 19.3 , 320+280320+280故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm，方差约为19.3.5.从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位:cm）, 152,155,158, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171,

18、%, 174, 175.若 样本数据的90%分位数是173,则的值为（）A. 171 B. 172 C. 173 D. 174答案B解析 因为20X90% = 18 ,所以90%分位数是第18项和第19项数据的平均数，即2（% +174）二 173，所以 =172.从某城市随机抽取14台自动售货机，对其销售额进行统计，数据如下： 8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43则这14台自动售货机的销售额的50%,80%分位数分别 为，.答案 23 34解析 把14台自动售货机的销售额按从小到大排序，得8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,

19、34,42,43.因为14X50% = 7,14X80% = 11.2所以50%分位数是第7项和第8项数据的平均数即：*（23+ 23） = 23,80%分位数是第12项数据34. TOC o 1-5 h z .某学校统计教师职称及年龄，其中高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，则 该校高级职称教师的平均年龄为岁.答案 453X58 + 5X40 + 2X38解析 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高=二45.高3+5+2.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通 过分层随机抽样的方法抽取了 160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分

20、别为80分和 90分，则高一抽取的样本量为；高一和高二数学竞赛的平均分约为.答案 90 84.375解析 由题意可得高一年级抽取的样本量为X 450=90，高二年级抽取的样本量为450+350一X350=70.高一和高二数学竞赛的平均分约为 V=90 X80 + 70 X90二 450+35090+7090+7084.375(分).某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示:组另IJ平均数标准差第一组904第二组806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.解 根据题意，全班平均成绩x =90X +80X 85 , x90 入 4040第一组的平均数X 1 90,方差为用=1

21、6.第二组的平均数X2 80,方差为s2 36.则该班学生的方差S 2 一+ S 2 一+ ( X 1 - X )2 + ( X 2 - X )2= 216 + (90 - 85)2 + 236 + (80 - 85)2 51.二 S 回.综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和231.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样 的方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30), 30,40),， 80,90,并整理得到如下频率分布直方图.估计总体400名学生中分数小于70的人数；(2)已知样本中分数小于40

22、的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数；(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分 数线，低于及格分数线的学生需要补考.解 根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02 + 0.04) X 10 = 0.6 ,所以样本中分数小于70的频率为1 - 0.6=0.4.所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400 X 0.4=160.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02) X 10 = 0.9 ,分数在区间40,50)内的人数为100 - 100X0

23、.9 - 5 = 5.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400X就=20.设分数的15%分位数为1 ,分数小于50的频率为1 - (0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02)X10 = 0.1，分数小于60的频率为0.1 + 0.1= 0.2 ,所以 1 50,60)视 0.1+(1 -50)X0.01=0.15 ,解得1 = 55 ,则本次考试的及格分数线为55分.口综合运用.利用分层随机抽样抽得A, B两组数据，其平均数分别是1A=2.3, B=2.8,这两组数 据的平均数7 =2.4,则A组数据在两组数据中的权重wA为()答案B _4解析 由 1 = WA1 A +

24、 wB 1 B 可得 2.4 二 WA X2.3 + (1 - wA)X2.8，解得 wA = 5.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的80%分位数等于乙的成绩的80%分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差答案BCD解析一 4+5+6+7+8由图可得，甲=5二 解析一 4+5+6+7+8由图可得，甲=5二 6,乙5 甲的成绩的80%分位数为与=7.5，乙的成绩的80%分位数彳=7.5，所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4 ,乙的成绩的极差也

25、为4, D项正确.已知30个数据的60%分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8, 则第19个数据是.答案8.67.8+ %解析 由于30X60% = 18 ,设第19个数据为，则F=8.2，解得 = 8.6 ,即第19个数 据是8.6.某学校共有学生2 000人，其中高一 800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假 中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为7=3小时，方差为 s2 = 2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为7 1 = 2.6, 72 = 3.2,又 已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s2=1, s2

26、=2, s3=3,则高三学生每天读书时 间的平均数7 3=.答案3.3解析由 s2 - w 1s2 + ( % 1 - % )2 + w2s2 + ( % 2 - % )2 + w3s2 + ( % 3 - % )2可得，2.003 二 800600600而口 + 6 - 3)2 + 而2 +(3-2- 3)2 + 诉3 + ( % 3- 3)2，解得T 3=3.3 或 2.7.又 % - 3 , A % 3-3.3.N拓广探究.某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计 结果如图：这批小龙虾的重量的10%分位数与90%分位数分别是(2)若该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：等级三等品二等品等品重量