三角形重心垂心外心内心相关性质介绍_第1页
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文档简介

1、三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性质：1.外心到三极点等距，即OAOBOC。外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB.3.A11AOC,C1BOC,BAOB。222二、三角形的内心定义：三角形三条角均分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它拥有以下性质：性质：内心到三角形三边等距，且极点与内心的连线均分顶角。2.三角形的面积1三角形

2、的周长内切圆的半径23.AEAF,BFBD,CDCE；AEBFCD三角形的周长的一半。4.BIC901A,CIA901AIB901C。2B，22三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性质：极点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CHAB。ABH的垂心为C，BHC的垂心为A，ACH的垂心为B。四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。性质：1.极点与重心G的连线必均分对边。2.重心定理：三角形重心与极点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GA2GD,GB2GE,GC2GF重心的坐标是三极点坐标的平均值即

3、xGxAxBxC,yGyAyByC.334.向量性质：（1）GAGBGC0；（2）PG1(PAPBPC)，5.SBGCSCGASAGB1SABC。33五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。结论2：若点O为ABC所在的平面内一点，满足222222OABCOBCAOCAB，则点O为ABC的垂心。结论3：若点G满足GAGBGC0，则点G为ABC的重心。结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG1(OAOBOC)，3则点G为ABC的重心。结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足aIAbIBcIC0（其中a,b,c为三角形的三边），则点I为ABC的内心。结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点

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