(江苏版)2023年高考数学一轮复习专题11.6矩阵与变换(讲)理

1、内部文件，版权追溯专题11.6 矩阵与变换【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能无视对特征值和特征向量的复习.2. 加强训练，提高推理和运算能力. 矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题.【课前检测训练】【练一练】1.矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(-12,1x)，Beq blcrc(avs4alco1(11,2-1)，向量eq blcrc(avs4alco1(2,y)，x，y为实数.假设AB，求xy的值.

2、2.矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(-10,02)，Beq blcrc(avs4alco1(12,06)，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)，那么eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(10,01)，即eq blcrc(avs4alco1(ab,2c2d)eq blcrc(avs4alco1(10,01)，故a1，b0，c0，deq f(1,2)，从而A的逆矩阵为A1eq blcrc(avs4alco1(10,0f(1,2)，所以A1B

3、eq blcrc(avs4alco1(10,0f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(12,06)eq blcrc(avs4alco1(-1-2,03).3.矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(10,02)，Beq blcrc(avs4alco1(12,01)，假设矩阵AB1对应的变换把直线l变为直线l：xy20，求直线l的方程.解因为Beq blcrc(avs4alco1(12,01)，所以B1eq blcrc(avs4alco1(1-2,01)，所以AB14.矩阵Meq blcrc(avs4alco1(0a,b0)满足：Miiai，其中i(i1，2)是互不相等的实常数，i

4、(i1，2)是非零的平面列向量，11，2eq blcrc(avs4alco1(1,1)，求矩阵M.解由题意，1，2是方程f()eq blcrc(avs4alco1(-a,-b)2ab0的两根，因为11，所以ab1.又因为M222，所以eq blcrc(avs4alco1(0a,b0)eq blcrc(avs4alco1(1,1)2eq blcrc(avs4alco1(1,1)，从而eq blc(avs4alco1(a2，,b2.)所以eq oal(2,2)ab1.因为12，所以21.从而ab1.故矩阵Meq blcrc(avs4alco1(0-1,-10).5.a，bR，矩阵Aeq blcrc

5、(avs4alco1(-1a,b3)所对应的变换TA将直线xy10变换为自身，求a，b的值.解设直线xy10上任意一点P(x，y)在变换TA作用下变成点P(x，y)，【题根精选精析】考点1:矩阵及其变换【1-1】矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(10,02)，Beq blcrc(avs4alco1(1f(1,2),01)，假设矩阵AB对应的变换把直线l：xy20变为直线l，求直线l的方程【答案】4xy80. 【解析】易得ABeq blcrc(avs4alco1(10,02)eq blcrc(avs4alco1(1f(1,2),01)eq blcrc(avs4alco1(1f(1,2)

6、,02)，在直线l上任取一点P(x，y)，经矩阵AB变换为点Q(x，y)，那么eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(1f(1,2),02)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(xf(1,2)y,2y)，eq blcrc (avs4alco1(xxf(1,2)y，,y2y，)即eq blcrc (avs4alco1(xxf(1,4)y，,yf(y,2)，)代入xy20中得xeq f(1,4)yeq f(y,2)20，直线l的方程为4xy80.【1-2】求使等式eq blcrc(avs4alco1(24,3

7、5)eq blcrc(avs4alco1(20,01)Meq blcrc(avs4alco1(10,01)成立的矩阵M.【答案】eq blcrc(avs4alco1(12,35)【解析】设Meq blcrc(avs4alco1(mn,pq)，那么eq blcrc(avs4alco1(24,35)eq blcrc(avs4alco1(20,01)Meq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(2m2n,pq)，那么eq blcrc (avs4alco1(2m2，,2n4，,p3，,q5，)eq blcrc (avs4alco1(m1，,n2，,p3，,q

8、5，)即Meq blcrc(avs4alco1(12,35).【1-3】矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(11,21)，向量eq blcrc(avs4alco1(1,2).求向量，使得A2.【答案】eq blcrc(avs4alco1(avs4al(1,2)【1-4】在直角坐标系中，ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形ABC的面积，其中Meq blcrc(avs4alco1(20,02)，Neq blcrc(avs4alco1(01,10).【答案】4【解析】解：因为ABC在MN作用下变换为ABC，且MNeq blcrc

9、(avs4alco1(20,02)eq blcrc(avs4alco1(01,10)eq blcrc(avs4alco1(02,20)，所以eq blcrc(avs4alco1(02,20)eq blcrc(avs4alco1(0,0)eq blcrc(avs4alco1(0,0)，eq blcrc(avs4alco1(02,20)eq blcrc(avs4alco1(2,0)eq blcrc(avs4alco1(0,4)，eq blcrc(avs4alco1(02,20)eq blcrc(avs4alco1(2,1)eq blcrc(avs4alco1(avs4al(2,4).即A(0,0)

10、，B(0,4)，C(2,4)可得SABC4.所以ABC在矩阵MN作用下变换所得的图形的面积为4. 【1-5】在直角坐标系中，椭圆x24y21，矩阵Meq blcrc(avs4alco1(01,10)，Neq blcrc(avs4alco1(02,10)，求椭圆x24y21，在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积【答案】.在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为.【根底知识】1乘法规那么(1)行矩阵a11a12与列矩阵eq blcrc(avs4alco1(b11,b21)的乘法法那么：a11a12eq blcrc(avs4alco1(b11,b21)a11b11a12b21(2)二阶矩阵eq b

11、lcrc(avs4alco1(a11a12,a21a22)与列向量eq blcrc(avs4alco1(x0,y0)的乘法规那么：eq blcrc(avs4alco1(a11a12,a21a22)eq blcrc(avs4alco1(x0,y0)eq blcrc(avs4alco1(a11x0a12y0,a21x0a22y0).(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法那么如下：eq blcrc(avs4alco1(a11a12,a21a22)eq blcrc(avs4alco1(b11b12,b21b22)eq blcrc(avs4alco1(a11b11a12b21a11b1

12、2a12b22,a21b11a22b21a21b12a22b22).(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl，(Ak)lAkl(其中k，lN*)2常见的平面变换(1)恒等变换：因为eq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,y)，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵eq blcrc(avs4alco1(10,01)表示恒等变换(2)反射变换：因为eq blcrc(avs4alco1(10, 0 1)eq blcrc(avs4alco1

13、(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x, y)，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵eq blcrc(avs4alco1(10, 0 1)表示关于y轴的反射变换；类似地，eq blcrc(avs4alco1(10,01)，eq blcrc(avs4alco1(0， 1,10)，eq blcrc(avs4alco1(0， 1,10)分别表示关于x轴、直线yx和直线yx的反射变换(3)伸缩变换：因为eq blcrc(avs4alco1(10,0k)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,ky)，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)

14、，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵eq blcrc(avs4alco1(1， 0,0k)表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵eq blcrc(avs4alco1(s0,01)可以用来表示水平伸缩变换(4)旋转变换：把点A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转角的变换，对应的矩阵是eq blcrc(avs4alco1(cos sin ,sin cos ).(5)切变变换：eq blcrc(avs4alco1(1s,01)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(xsy,y)表示的是沿x轴的切变变换沿y轴的切变变换对应的矩阵是eq bl

15、crc(avs4alco1(10,t1).(6)投影变换：eq blcrc(avs4alco1(10,00)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,0)，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵eq blcrc(avs4alco1(10,00)表示的是x轴上的投影变换类似地，eq blcrc(avs4alco1(00,01)表示的是y轴上的投影变换【思想方法】.1.通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用2伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等

16、变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或屡次的复合3在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆2曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式【温馨提醒】1矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，表达了方程思想，要注意矩阵对应元素相等2矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律考点2：特征值与特征向量【2-1】假设矩阵Meq blcrc(avs4alc

17、o1(30,02)，Neq blcrc(avs4alco1(f(2,3)0,0f(1,2)，求矩阵MN的逆矩阵【答案】eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)0,0f(1,2)【解析】解：Meq blcrc(avs4alco1(30,02)为一伸缩变换对应的矩阵，M1eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)0,0f(1,2).又Neq blcrc(avs4alco1(f(2,3)0,0f(1,2)也为一伸缩变换对应的矩阵，N1eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)0,02).由矩阵的性质知(MN)1N1M1eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)0,0

18、 2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)0,0f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)0,0 1). 【2-2】矩阵Meq blcrc(avs4alco1(12,2x)的一个特征值为3，求其另一个特征值【答案】1.【2-3】给定矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(12,14)，Beq blcrc(avs4alco1(5,3)，求A4B.【答案】eq blcrc(avs4alco1(145,113)【解析】解：设A的一个特征值为，由题知eq blc|rc|(avs4alco1(12,14)0，得【2-4】矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(a

19、b,cd)，假设矩阵A属于特征值3的一个特征向量为1eq blcrc(avs4alco1(1,1)，属于特征值1的一个特征向量为2eq blcrc(avs4alco1(avs4al(1,1)，求矩阵A.【答案】 eq blcrc(avs4alco1(12,21)【解析】解：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为1eq blcrc(avs4alco1(1,1)可得eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(1,1)3eq blcrc(avs4alco1(1,1)，即eq blcrc (avs4alco1(ab3，,cd3；)由矩阵A属于特征值1的一个特征

20、向量为2eq blcrc(avs4alco1(1,1)可得eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(1,1)(1)eq blcrc(avs4alco1(1,1)，即eq blcrc (avs4alco1(ab1，,cd1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b2，,c2，,d1，)即矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(12,21).【2-5】矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(10,0 2)，Beq blcrc(avs4alco1(12,06)，求矩阵A1B.【答案】eq blcrc(avs4alco1(12,03

21、)【解析】解设矩阵A的逆矩阵为eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)，那么eq blcrc(avs4alco1(10,02)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(10,01)，即eq blcrc(avs4alco1(ab, 2c 2d)eq blcrc(avs4alco1(10,01)，故a1，b0，c0，deq f(1,2)，从而A的逆矩阵为A1eq blcrc(avs4alco1(10, 0f(1,2)，所以A1Beq blcrc(avs4alco1(10, 0f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(12,06)eq

22、blcrc(avs4alco1(12,03).【根底知识】1逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得1，那么称变换可逆，并且称是的逆变换(2)逆矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BAABE2，那么称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵(3)逆矩阵的性质性质：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的性质：设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，那么AB也可逆，且(AB)1B1A1.(4)定理：二阶矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)可逆，当且仅当det Aadbc0.2逆矩阵与二元一次方程组(1)定

23、理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)eq blcrc (avs4alco1(axbye，,cxdyf)的系数矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)可逆，那么该方程组有唯一解eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)1eq blcrc(avs4alco1(e,f).(2)推论：关于变量x，y的二元一次方程组eq blcrc (avs4alco1(axby0，,cxdy0.)其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)0.3特征值和特征向量设矩阵Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)，如果存在数以及非零向量，使得A，那么称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量4特征向量的性质设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，1，2是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非零平面向量，设t11t22(t1，t2为实数)，那么对任意的正整数n，有Ant1eq oal(n,1)1t2eq oal(n,2)2