双曲线的标准方程及其几何性质

1、双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.双曲线的定义：平面内与两定点Fi、F2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于| F1F2 | )的点的轨迹叫双曲线。两定点Fi、F2是焦点，两焦点间的距离I F1F2 |是焦距，用2c表示，常数用2a表示。假设I MFi | - I MF2 I =2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.假设1 MFi | - I MF2 I =-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.假设2a =2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以Fi、F2为端点向外的两条射线.假设2a 2c时，动点的轨迹不存在.、，2双曲线的标准方程：土 -二=1(

2、a 0,b0)表示焦点在x轴上的双曲线；a 2 b 2z2-三2 =1(a 0,b0)表示焦点在y轴上的双曲线.a 2 b 2判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数，、，、的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质:标准方程22/ -否=1。0, b 。22a -亍=1a 0 0图象-*a, b, c关系a2 + b = c2范围1 x l a, y e R1 y l a, x e R顶点+G,0。,+ a对称性关于x, J轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线by = 土一尤aay = tb离心率e = C 1a隹点八、八、F 土 c

3、,0F 0, 土c等轴双曲线：x-y= a (a尹0)，它的渐近线方程为y = x, i离心率e=履-4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。(1)通常消去方程组中变量(或X)得到关于变量X (或J )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式A，则有：A 0 o直线与双曲线相交于两个点；A = 0 o直线与双曲线相交于一个点；A0，则c = &，渐近线y fl&a|.笆 =；2 ,。2 = 2.双曲线方程为芸-y2 = 2.答案：B例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.51过点P 3，口，离心率e =.24、F2是双曲线的左、右焦

4、点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且见生=60。，Sg =12* .解：1依题意，双曲线的实轴可能在X轴上，也可能在J轴上，分别讨论如下.c25徂 彳寸2 Ta 4c25徂 彳寸2 Ta 4又a2 + b2= c2,由、得a2=1,如双曲线的头轴在，轴上设萨-芬=1为所求由点P 3，克在双曲线上，得耳-M = 1.，a bb 2=-.4x2 y2假设双曲线的实轴在 轴上,设萨-上=1为所求.a 2 + b 2 = c2 .解之，得b2 =一不合，舍去.2.双曲线的实轴只能在X轴上，所求双曲线方程为假设-4 y2 =1.c而c而e = = 2，由双曲线的定义，得a 设双曲线方程为f - =

5、1,因F1 F2| = 2c ,PFJ_PFJI = 2a = c .由余弦，得(2C)2 =网|2 + PF212 -2|PF |. PF2.cos空生=(IPF-网)2 + 2|PF1. PF2. (1-cos60),4c2 = c2 + PF|.PF2 .又Sapff2 = 2PF1 PF2Isin60。= 123 , a PF1.PF2 = 48 . TOC o 1-5 h z %2y2.3c2 = 48 , c2 = 16 ,得a = .3c2 = 48 , c2 = 16 , HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 412三、巩固测试题.

6、到两定点F1 -3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹 D A.椭圆B.线段双曲线D.两条射线.方程；+二=1表示双曲线，则k的取值范围是D 1 + k 1 - kA. -1 k 0C. k 0D. k 1 或k -13.双曲线二=1的焦距是C m2 +12 4 m2A. 4B. 2巨C. 8D. 与m 有关22224 .假设0 k a，双曲线无、=1与双曲线与-2- = 1有 D a - k b + ka bA.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线 D.相同的焦点X V5 .过双曲线一-=1左焦点F1的弦AB长为6,则AABF F2为右焦点的周长是A TOC o 1-5

7、h z 1692A. 28B. 22C. 14D. 12X2 y26.双曲线彳一=1的焦点到渐近线的距离为A. 2A. 2扼B. 2D. 1解析：双曲线:-药=1的焦点为4,0或-4,0 .渐近线方程为J K2y2y27 .以椭圆一+二=1的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为A85145 + 01 仁由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d = 2-/3+ 1x2y2x2y2x2y213A. = 1 B. = 1 C. = 1 D.133553138x2 y28.过点P(4,4)且与双曲线16一言=1只有一个父点的直线有A. 1条B. 2条C. 3条4A. 1条B. 2

8、条C. 3条4条D.x2y2y2x2x2A. = 1 B. = 1 C.75257525y2=125 75D.z!25x2=17510.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0)(4,0)，则双曲线方程为()x2 x2 y2x2 y2A. -乙=1 B. - = 112124C.x2 y2x2 y2乙=1 D.-二=110 66 10%2%2 y2 ,11 .已知P是双曲线二=1上的一点169F, F是双曲线的两个焦点，且zF1 pf =120。则pF F2的面积为()DA. 16*B. 9A. 16*B. 9、3C. 4*3D. 3.312 .双曲线25x2 12 .双曲线25x2 -16y

9、2 = 400的实轴长等于,虚轴长等于,顶点坐标为,焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于直线y = x +1与双曲线咳22 = 1相交于& B两点，则AB =2313.14.过点M(3,- 1)且被点M平分的双曲线一疽=1的弦所在直线方程为.15.双曲线mx2 + y2 =1的虚轴长是实轴长的2倍，则m =X 2双曲线m2 + y2 =1的虚轴长是实轴长的2倍，.而0，且双曲线方程为一 + y2 =1,4-m=4x设线段PA的中点为M(x,y)，设线段PA的中点为M(x,y)，点P的坐标是(x0,y(o),已知双曲线的离心率=号，且与椭圆石+； =1有共同的焦点，求该双曲线的方程.解：在椭圆中

10、，焦点坐标为(X而，0),.c =.而，又 e = % 二，二号,:.a2 = 8 , b2 = 2.双曲线方程为f - 7=1.82._ _x2_已知F1、F2是双曲线彳_y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足/F1 PF2 = 90 ,求/ pf的面积.X 2解：p为双曲线 一一y2=1上的一个点且F、 F为焦点.412PF - |PFJ| = 2i = 4 ,区 FJ = 2c = 2v；5ZFPF2 = 90。，.在 RtAPF1F2 中，PF112 + PF212 = F1 F212 = 20FI) = PF112 + PF212 -2|PFPF2 = 16 ,20-2网阴=16

11、 ,二|籍|.|吧=2S5 = 2 PF11-PF2 = 1已知在平面直角坐标系xQy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(一*百,0)，右顶点为f 1、D(2,0)，设点 A 1,1 .I 2)求该椭圆的标准方程；(2)假设P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距 f，则半短轴b=1.X 2又椭圆的焦点在X轴上，椭圆的标准方程为一+ y2 = 14厂 xc)=2x 1厂 xc)=2x 1i_ yo=2y AX=21y 0 + 2y=2由，点P在椭圆上，得+2 y 2 = 1,I.1c 一二线段PA中点M的轨迹方程是x + 4y = 1.

12、A19.已知椭圆C的焦点F1 一 2，0和F2 2声，0,长轴长6,设直线V =尤+ 2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c=很,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：2X、,2 _ 1+ y2= 1.联立方程组 J 9 + =，消去 y 得,10 必 + 36X + 27 = 0.9| y = 218x1 + x2 9设 A也,Ni,Bx2，%,AB 线段的中点为 MX，h那么：xi + x2 = -5 , xo = 1 2= 51 ,一、，一一、，9 1所以无 =气+2= 5 .也就是说线段AB中点坐标为-5, 5 .20 .求两条渐近线为

13、尤20 .求两条渐近线为尤土 2y = 0且截直线x -y -3 = 0所得弦长为的双曲线方程。解:设双曲线方程为x2-4y2二人.f x2 -4y2 =X联立方程组得：消去y得，3x2-24x+36+人=0I x - y - 3 = 0 xi + x2 =836 +人设直线被双曲线截得的弦为AB，且A勺力,B x2, y2,那么： 吒邑 = 242 1236 + 人 0那么：|AB|=&1 + 亍也 + 尸4也 = ?1 +1& _4x亚守=、筋与人=号解得：人二4,所以，所求双曲线方程是：分-yy = 121 .中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F，且I FF 1= 2、.!3，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3 ： 7。1求这两条曲线的方程；假设P为这两条曲线的一个交点，求cos /FlPF的值。21、解：1设椭圆的方程为三+ Ma1 b1x 2=i，双曲线方程为足由已知得：a1 a 2 = 4B = 7 何 2 = 3/C = 3/7 n h = 6，b2 = 2，a1 a 2i i故两条曲线分别为:xy 2x1= 1 及49369(2)设/FPF2 0，由余弦定理得：I PF1 |2 + | PF2 |2 _2 I PF1 | PF2 |