数列通项公式方法大全很经典

1、1,数列通项公式的十种求法:（）公式法（构造公式法）例1已知数列an满足an12an32n，a12，求数列an的通项公式。解：an12an32n两边除以2n1,得an1an3an1an3an是2n12n2,则n12n，故数列2n22a121为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，an1(n3以22得1)，21312n2因此数列an的通项公式为an(n)2n。22评注：本题解题的要点是把递推关系式an12an32n转变成an1an3,说明数列2n12n2an是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出an(n3,进而求出数列n2n11)22an的通项公式。（2）累加法例2已知数列an

2、满足an1an2n1，a11，求数列an的通项公式。解:由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1(221)(211)12(n1)(n2)21(n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此数列an的通项公式为ann2。评注:本题解题的要点是把递推关系式an1an2n1转变成an1an2n1，进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得数列an的通项公式。变式：已知数列an满足aa23n1，a3,求数列an的通项公式。n1n1（)累乘法例3已知数列an满足an12(n1)5

3、na，a3，求数列an的通项公式。n1解:因为an12(n1)5nan，a13,因此an0,则an12(n1)5n,故anananan1a3a2a1anana2a1122(n11)5n12(n21)5n22(21)522(11)5132n1n(n1)325(n1)(n2)2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)因此数列an的通项公式为an352n!.评注：本题解题的要点是把递推关系an12(n1)5nan转变成an12(n1)5n，进而求an出anan1a3a2a1,即得数列an的通项公式。an1an2a2a1变式：已知数列an满足a11，ana12a23a3(n1)an1(n2),求

4、an的通项公式。(4）待定系数法例4已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)?将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n,等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n，得35x2x,则x1,代入式得an15n12(an5n)?由a1516510及式得an5n0，则an15n12,则数列an5n是以an5na1511为首项,以2为公比的等比数列,则an5n2n1,故an2n15n。评注:本题解题的要点是把递推关系式an12an35n转变成an15n12(an5n)，从而可知数列an5n是等比数列，进

5、而求出数列an5n的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。变式:已知数列an满足an13an52n4，a11,求数列an的通项公式。已知数列an满足an12an3n24n5，a11，求数列an的通项公式。（5)对数变换法例已知数列an满足an123nan5,a17,求数列an的通项公式。解：因为an123nan5，a17,因此an0，an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2设lgan1x(n1)y5(lganxny)?错误!将式代入，11式,得5lgannlg3lg2x(n1)y5(lganxny),两边消去5lgan并整理，得(lg3x)nxylg

6、25xn5y,则lg3lg3x5xx,故4xylg25ylg3lg2y416代入错误!式,得lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2)错误!41644164由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg20及错误!式,41644164得lganlg3nlg3lg20,4164lgan1lg3(n1)lg3lg2则41645,lg3nlg3lg2lgan4164因此数列lganlg3nlg3lg2是以lg7lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等41644164比数列，则lganlg3nlg3lg2(lg7lg3lg3lg2)5n1,因此41644164lga

7、n(lg7lg3lg3lg2)5n1lg3nlg3lg24164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg34lg316lg24111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)lg(7lg(75n15n1n5n113431625n15n4n15n1131624)5n11)75n15n4n15n11则an31624。评注：本题解题的要点是经过对数变换把递推关系式an123nan5转变成lgalg3(n1)lg3lg25(lgalg3nlg3lg2)，进而可知数列n14164n4164lganlg3

8、nlg3lg2是等比数列，进而求出数列lganlg3nlg3lg2的通项41644164公式,最后再求出数列an的通项公式。(6）数学归纳法例已知数列an满足an1an8(n1)3)2，a18，求数列an的通项公式。(2n1)2(2n9解:由an1an8(n1)2及a182,得(2n1)(2n3)9a2a18(11)8822411)2(213)2992525(2a3a28(21)24834821)2(223)225254949(2a4a38(31)48848031)2(233)249498181(2由此可猜想an(2n1)21，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n1)2(1)当n1时，a1(2

9、11)218，因此等式成立。(211)29（)假设当nk时等式成立,即ak(2k1)21,则当nk1时，(2k1)2ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)22(k1)1212(k1)12由此可知，当nk1时等式也成立。依照(1）,（)可知,等式对任何nN*都成立。评注：本题解题的要点是经过首项和递推关系式先求出数列的前

10、n项，进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。(7）换元法例7已知数列an满足an14an124an)，a11，求数列an的通项公式。1(116解：令bn124an,则an1(bn21)24故an11(bn211),代入an11(14an124an)得24161211224(bn11)161424(bn1)bn即4bn21(bn3)2因为bn124an0，故bn1124an10则2bn1bn3,即bn113bn,22可化为bn131(bn3)，2因此bn3是以b13124a13124132为首项，以1为公比的等比数2列,因此bn32(1)n1(1)n2，则bn(1)n23,即124

11、an(1)n23,得2222an2(1)n(1)n1。3423评注：本题解题的要点是经过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转变b1b3形式,进而可知数列bn3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式，n12n2最后再求出数列an的通项公式。()不动点法例8已知数列an满足an121an24，a14，求数列an的通项公式。4an1解：令x21x24,得4x220 x240,则x12，x23是函数f(x)21x24的两4x14x1个不动点。因为21an2422。因此数列an124an121an242(4an1)13an2613anan1321an24321an243(4an1)9an27

12、9an34an1an2是以a12422为首项，以13为公比的等比数列,故an22(13)n1，an3a13439an39则an13。2(13)n119评注：本题解题的要点是先求出函数f(x)21x24的不动点，即方程x21x24的两4x14x1个根x12，x23，进而可推出an1213an2，进而可知数列an2为等比数an139an3an3列，再求出数列an2的通项公式,最后求出数列an的通项公式。an3例已知数列an满足an17an2，a12，求数列an的通项公式。2an3解：令x7x2，得2x24x20,则x1是函数f(x)3x1的不动点。2x34x7因为an117an215an5,因此2

13、an32an3an2(1)n(1)n1。3423评注:本题解题的要点是经过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转变b1b3形式，进而可知数列bn3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式,n12n2最后再求出数列an的通项公式。课后习题：1.数列2，5，22，11，的一个通项公式是（）A、an3n3、an3n1、an3n1D、an3n32.已知等差数列an的通项公式为an32n,则它的公差为（)、2B、3C、2D、33.在等比数列an中,a116,a48,则a7（)A、4B、4、2、24若等比数列an的前项和为Sn，且S1010,S2030，则S305已知数列an通项公式ann210n

14、3，则该数列的最小的一个数是1且an1nannN,则数列1项和等在数列an中,a1n1an的前992an于.7.已知an是等差数列,其中a131,公差d8。(）求数列an的通项公式;（）数列an从哪一项开始小于0?（）求数列an前n项和的最大值,n的值并求出对应.已知数列an的前项和为Snn23n1，1)求a1、a2、a3的值；（）求通项公式an。9等差数列an中,前三项分别为x,2x,5x4，前n项和为Sn,且Sk2550。（)、求x和k的值;1111（）、求Tn=S2S3;S1Sn数列等差数列与等比数列的相关知识比较一览表等差数列等比数列an1ana2a1（nN*）an1a2(nN*)an

15、a1递an1and（nN*）推an1q（q0,nN*）an1ananan1（n2)关an系an1an（n2,nN*)anan1通ana1(n1)d（nN*)项anpnq（p,q为常数,n*)N2Snn(a1an)（nN*）求和Snna1n(n1)(nN*)d公2式SnAn2Bn(A,B是常数,nN*）若p+q=s+r,p、q、s、rN,则apaqasar.对任意,c1，can为等比数列.主an1an12an,nN*,n2.若an、bn分别为两等差数列,则ana1qn1（nN*)anpqn（p,q是常数,q0,p0,nN*）n2(a1an)nN*求积公式ai(n)i1na1,q1Snn(nN*)

16、a1(1q),q11qSnna1,q1（nN*,A0)AAqn,q1若p+=s+r，、s、*，则apaqasar对任意c0,c1,若an恒大于0,则logcan为等差数列an1an1an2,nN,n2.若an、bn为两等比数列,则anbn为等比数列.n若n恒大于0,则数列nai为等比数列.i1anbn为等差数列.若bn为正项等差自然数列，则ab为等比数列.要nSn,S2nSn,S3nS2n,为等比数列数列Sn为等差数列.nnnmN*，ap0,p性若bn,则abn为等差nain2mai，n2m,m、n为正项等差自然数列i1im1数列SmnSmqmSnSnqnSm.Sn,S2nSn,S3nS2n,

17、为等差数列.若a1a2ama1a2an,mn,质SnSnmSm,n2，m、N*.mn1.nn2m则aii1SmnSmSnmnd.若SmSn,mn,则Smn0.重若apq,aqp,p、N*，且pq，SmnSm(1qmq2mq(n1)m)要则apq0.=S(1qnq2nq(m1)n).n性若Spq,Sqp,且pq,则若|1,则limSnSa1质n1qSpq(pq),p、qN*.求数列n通项公式的方法1an1=an+f(n)型累加法:an(anan1）+(an1an2）+（a2a1)+a1=f(n1)+f(n2)+f(1)+a1例.已知数列an满足a1=，an1=an+2n（nN+），求an解an=

18、an-an1+an1an2+a2-a1a12n12n2+21+12n2n112an=2n-1(nN+)an1pan+型（p、q为常数）方法:（）an1q=p(anq)，再依照p1p1比数列的相关知识求an.(2）an1-anp(anan1)再用累加法求an.(3)an1=anq，先用累加法求an再求an.pn1pn+pnpn1例.已知an的首项a1=a（a为常数）,an=2an1+（nN+,n求an.解设an=2（an1),则-an=2（an11)an1为公比为2的等比数列an+1=(a+1）2n1an=（a1)2n11an1g(n)型3an累乘法：an=anan1a2a1an1an2a1例2

19、.已知数列anan1n（nN+）,a1=1，求an.满足an解an=anan1a2a1an1an2a1（n1）（2)11=（)!an(n)!(N+)4an1panf(n)型(p为常数)an1anf(n)方法:变形得pn1pn+pn1，则an可用累加法求出,由此求an.pn例4.已知an满足a1=,an1=2an+2n1.求an.解an1=an+12n12nan为等差数列.2nana1n1n2n2an=2nan2=pan1+an型（p、q为常数)特点根法:x2pxq(）x1x2时，an=C1x1n+C2x2n（2)x1x2时,an=(C1+C2n）x1n例5.数列an中,a1=，a2=3，且an

20、=an1+an1（nN+，2），求an解an1=2anan1x22x1x1x21an=（C1+C2n)1n=C1+C2nC1C22C112C231C1C2ann1(nN).“已知Sn,求an”型方法:an=Sn-Sn1(注意a1可否吻合)例6.设Sn为an的前n项和,Sn=3(an1），求an(n）2解Sn=3（an)(nN+)23当n时，a1(a11）2a1=当n2时，an=Sn-Sn1=3(an）3(an1-1)22anan1an=3n（nN+）求数列a的前n项和的方法(1)倒序相加法（2)公式法此种方法主要针对近似等差数列中此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等ana1an1a2，

21、拥有这样特点的数列比数列，要点是观察数列的特点，找出对应的公式.例:等差数列求和公式:Sna1a2an等差数列:a1(a1d)a1(n1)d把项的次序反过来,则：Snan(and)an(n1)d+得：n个2Sna1an(a1an)(a1an)n(a1an)Snn(a1an)2（3)错位相减法此种方法主要用于数列anbn的求和，其中an为等差数列，bn是公比为q的等比数列，只需用SnqSn即可转变成等比数列的求和，但要注意谈论=1和q两种情况例:试化简以下和式:Sn12x3x2nxn1(x0)n(n1)解:若x=1,则Sn1+2+3+nSnn(a1an)na1n(n1)d22nann(n1)d2

22、SmnSmSnmndSnSnmSm(n2m,m,nN*)nn2m等比数列:Sna1(1qn)a1anq1q1；(q1)qSmnSnSmqn1+3+n=n(n1)；2122232n2n(n1)(2n1)132333n3(123n)21n2(n1)24(4）分组化归法此方法主要用于无法整体求和的数列,可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和,再综合求出所有项的和例:求数列111,1，1，,1121241+的和.242n1解：an1111242n1若x1,则Sn12x3x2nxn11(1)n122xSnx2x23x3nxn112n12两式相减得:Sn1(11)(111)224(1x)Sn1x2n1n111x+xnx(1242n1)1xn(21)(21(21nxn)22)1x2(2n11)Sn1xnnxn121(1x)21x12n(142n1)22n212n1(5）奇偶求和法（）裂项相消法此种方法是针对于奇、偶数项,要考虑符号的此方法主要针对数列,要求S,就必定分奇偶来谈论，最后进行综合111a1a2a2a3这样的求和,其中