各向异性电介质中的电场

1、十、善向异性电介质中的电场在上面介绍静电场一些基本定律时，均假定介质是均匀的但实际上，许多电介质是各 向异性的，例如纤维、层状介质以及各向异性的晶体，它们的极化强度云与云的方向可能就 不相同，因之，电感应强度万的方向也可能不与E相同。在各向异性电介质中，万和E的关系应写成下列形式,此时的整体可以用张量表示，即Dx此时的整体可以用张量表示，即Dx = e0+ E”Ey + iggEg)Dy = ee(eBEM +?, = .(疋 + y +(2-82)(2-83)0 0 eeeM0 0 eeeM对于第二种情况有.(2-84)(2-85)(2-86)(2-87)(2-88)(2-89)八盼5“ 5

2、5是当E八码等于零时，电感应强度在兄、八z方向分H （D,D,、DJ 与电场强度E的比值）同理八八，（或八八5丿是当电场强度分最 E“ Et （或h；）等于零时，电感应强度、丿、z方向分量与电场强度E的比值。一 般说来，* = ”、 = 、即张量5“是一对称张最。各向异性电介质内部能代表电介质不同极化性质的各个轴线称为异性釉，异性轴可能是 宜线型的，也可能是曲线型的。大多数各向异性介质的各异性轴是相互正交的，即任一点的各个异性轴的方向都相互正交9作为示例，下面研究两种最简单异性轴介质。一种是异性轴可与笛卡尔直角坐标萦的三 个坐标轴重合的情况，另一种是异性轴可与圆柱坐标系三个坐标抽重合的情况。为

3、简匏计. 下询只研究平行平面电场（二维空间电场）。如将坐标轴与异性轴相重合，对于第一种悄况有:即D, = t.trrEr即对于第二种情况则有dlU dlU(2-90)(2-91)(2-92)D. = 即对于第二种情况则有dlU dlU(2-90)(2-91)(2-92)要解式（2-91）和式（292）可以采用变换坐标的方法，将其变成拉普拉斯方程式为此对于第一种情况$令ex(2-93)(2-94)式中 C常数 于是有类似步骤可得&d要解式（2-91）和式（292）可以采用变换坐标的方法，将其变成拉普拉斯方程式为此对于第一种情况$令ex(2-93)(2-94)式中 C常数 于是有类似步骤可得&dl

4、Uaxl(2-95)2-96)(2-97)将式（2 96）及（2-97）代入式（291）最后得：dlUd2 (/+丽(2-98)式（2-98）正是（坷，X）坐标系中拉普拉斯方程式各向耳竹介质中电场方程式与均匀介质中的电场方程式的形式相同。仿此，不难证明，在第二类情况下，采用下列变换(2-99)e,= e（2-ioo）即可将式（2-92）变换成在（G, 0,）坐标系中拉普拉斷方程式。在进行坐标变换时，原来济向异性介质中的边界表面和边界条件 U DJ都要变成在各向冋性介质中新的边界表面和新的边界条件。适当地选择变换式中的系数C值和新的备向同性介庾的值，有时可能使边界表面和边界条件在变换后仍保持不变

5、。这样就可能非常简捷地算出在由各向异性介质和各向同性介质两部分共同组成的绝缘物中的电场。例如对第一种介质来说，如果各向异性介质的表面处于丿一诊面上.则为了保持边界表面不变由式(2-94)可令r(2-101)(2-102)C = d乜卞(2-101)(2-102)而为了保持边界表而上的D.不变，则在边界而上必须有2dU dU将式(2-95)代入上式得(2-103)(2-103)将式(2-101)代入上式即得z - eMiexy2-104)同理可以证明，当第-种介质的表面处i-z面时，为了在变换时保持边界表面和边 界条件不变，可令*(2-105)经类似步骤可得e - /e,Meyjr(2-106)对于第二种介质来说，如果各向异性介质的表面是个半径为尺的圆柱而，为了在变换坐标时保持边界表血不变,则在式坐标时保持边界表血不变,则在式(2-107