机器人学第六章(机器人运动学及动力学)

1、第六章机器人运动学及动力学6.1引论到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。本章中我们考虑操作机的运动方程式由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。向前的动力学问题是计算在施加一组关节扭矩时机构将

2、怎样运动。也就是，已知扭矩矢量,计算产生的操作机的运动、和。这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点、和,我们欲.求出所需要的关节扭矩矢量。这种形式的动力学对操作机的控制问题有用.6.2刚体的加速度现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。即6-1)6-2)bVbV6-1)6-2)TOC o 1-5 h zQdtQ,ttO,tddtA0(t,t)A0(t)ddta0=limQQ-Q,tto,t正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架U时我们将用下面的记号和V二UV的记号和V二UVAAORG6-

3、3)=u0(6-4)AA6.2.1线加速度6-5)我们从描述当原点重合时从坐标架a看到的矢量bQ6-5)aV，ARbV+AxARbQQBQBB这个方程的左手边描述aQ如何随时间而变化。所以，因为原点是重合的，我们可以重写(6-5)为6-6)(aRbQ)，ARbV+AxaRbQ6-6)dtBBQBB这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。通过对(6-5)求导，我们可以推出当a与b的原点重合时从a中看到的BQ的加速度表达式6-7)aV，d(aRbV)+AxaRbQ+ax(aRbQ6-7)QdtBQBBBdtB现在用(6-6)两次一次对第一项，一次对最后一项。(6-7)式的右侧成为:6-8

4、)ARbV+AxARbV+AxARbQ6-8)BQBBQBB+Ax(aRbV+AxaRbQ)BBQBB把相同两项合起来6-9)ARbV+2axaRbV+AxaRb6-9)BQBBQBB+ax(axaRbQ)BBB最后，为了推广到原点不重合的情况，我们加上一项给出b的原点的线加速度的项,得到下面的最后的一般公式6-10)6-11)6-12)aV+ARbV+2aXARbV+AXARbQ6-10)6-11)6-12)BORGBQBBQBB+ax(axaRbQ)BBB对于我们将在本章上考虑的情况，我们总是有bQ为不变，或bV，bV，0QQ所以，(6-10)简化为+a(a+a(aARbQ)+AaRbQB

5、BBBBQBORG我们将用这一结果来计算操作机杆件的线加速度。6.2.2角加速度考虑B以a相对于A转动的情况，而C以B相对于B转动。为了计算BCA我们把矢量在坐标架A中相加C求导后我们得到A=A+dARBCBdtBC现在，把（6-6）用到（6-14）的末项中去，我们得到A=A,ARB,AXARBCBBCBBC我们将把这个结果用来求操作机杆件的角加速度。6-13)6-146-13)6-14)6-15)在单自由系统中，我们常常谈到刚体的质量。在绕一根简单轴转动的运动情况下，惯性矩这一术语是大家所熟悉的。对一个在三维空间中自由运动的刚体，有无穷多个可能的转动轴。在绕一任意轴转动的情况下，我们需要有一

6、个描绘刚体质量分布的方法。这里我们介绍为这个目的的惯性张量，它可以看作为物体标量惯性矩的广义化。AxyxzIIyyyzIIyzzzxyIxz6-16)式中，标量元素由下列公式给出AxyxzIIyyyzIIyzzzxyIxz6-16)式中，标量元素由下列公式给出I(y2,z2)pdI(x2,z2)pd6-17)I=JU(x2,y2)pd6-17)I=HFxypdxycI=JJJxzpdI=IlfyzpdyzV其中刚体由微分体积单元d组成，包含密度为p的材料。每一体积单位的位置由矢量P确定,如图6-1所示，而44I(12+W2)zzI(12+W2)zz3其次我们计算IxyI=JhJlJwxypdx

7、dydz=JhJlW-xy000002ypdydzJhw212046-21)Pd=4wlxAPyz元素I,I,I称为质量惯性矩。注意每种情况下我们是对质量单元Pd乘以对应xxyyzz轴垂直距离的平方来积分。带混合下标的称为质量惯性积。对一给定刚体这一组6个量将与它们定义所在的标架的位置和方位有关。若我们可以任意选取参考标架的方位，有可能选成使惯性积为零。这样的标架的轴称作主轴，而对应得的惯性矩称作主惯性矩。例6-1求出关于图6-2所示的坐标系的均匀密度P的矩形物体的惯性张量。首先，我们计算Ix。用体积单元dvdxdydz，我们得到Ifhf1Jw(y2+z2)pdxdydz=JhJ1(y2+z2

8、)wpdydzxx00000=Jh(空+z2I)wpdz=(03=(l2+h2)3式中，为物体的全部质量。交换各项用观察求出I和IyyzzI(W2+h2)yy344交换各项我们得到6-22)I=hw6-22)xz4和6-23)因此，这个物体的惯性张量为：(l2,h2)Wl34(l2,h2)Wl34wl4(W2,h2)hw4hl4hw4hl4(l2,W2)36-24)如说过的那样，惯性张量是参考标架的位置和方位的函数。一个众所周知的结论，平行轴定理，是一种在参考坐标系改变的情况下如何计算惯性张量的改变的方法。平行轴定理说明在原点位于质心处的标架的惯性张量在另一个参考标架中的惯性张量之间的关系。在

9、定理中c为位于物体质心处，a为任意变换后的标架，定理陈述为两个方程式ShamesaIcI,m（x2,y2）zzzzcc（6-25）aIcl,mxyxyxycc式中，x、y和z为质心在a中的位置。其余的惯性矩和惯性积可以由（6-25）中x、cccy、z的置换计算出来。例6-2求出例6-1中描述的同一个物体的惯性张量，此时它是在原点位于物体质心处的坐标系中描述的。我们应用平行轴定理（6-25），其中于是，我们求出CI(W2,12)6-26)zz6-26)cI0 xy其余元素可以根据对称性求出。这个写在质心处的坐标架中的结果惯性张量为：(W(W2,h2)0126-27)(l2,h2)12cI0000

10、(l2,W2)12由于结果是对角阵，c必定代表这个物体的主轴。下面是某些关于惯性张量的其他结论：1如果参考标架的两根轴形成物体质量分布的对称平面，则带垂直于这个平面坐标的下标的惯性积将为零。2惯性矩必须总为正值。惯性积则可正可负。3在参考标架的方位改变中，三个惯性矩之和为不变量。4惯性张量的固有值（特征值）是物体的主惯性矩。相应的固有矢量是主轴。大多数操作机的杆件的几何和组成都有点复杂，所以在实用中应用（6-17）是很困难的。一个实用的选择是用测量装置（例如惯性摆）实际测量每个杆件的惯性矩而不是计算。牛顿方程，欧拉方程我们将把操作机的每个杆件考虑为刚体。如果我们知道杆件的质心的位置和惯性张量，

11、则它的质量分布的特性是完全表示出来了。为了使这些杆件运动，我们必须使它们加速或减速。对于这种运动所需的力是期望的加速度和杆件质量分布的函数。牛顿方程和回转用的与它类似的欧拉方程描述了力、惯性和加速度之间是个什么样的关系。6.4.1牛顿方程图6-3示出一刚体，其质心以加速度V在加速运动。C在这种情况下，作用在质心的造成这个加速度的力F可以由牛顿方程给出为:Fmv（6-28）C6.4.2欧拉方程图6-4示出一刚体以角速度回转着，角加速度为在这样的情况下，为了产生这个运动必须施加在刚体上的力矩N可由欧拉方程给出：N=c/+xcl(6-29)式中，CI为卸载标架c中的刚体的惯性张量,c的原点位于质心，

12、如图6-4所示。迭代牛顿欧拉动力学公式我们现在考虑计算对应于给定操作机轨迹的扭矩的问题。假定我们已知关节的位置，速度和加速度(、)。根据这些知识以及机器人运动学的知识，质量分布的信息等,我们可以计算出造成这个运动所需的关节扭矩。向前迭代以计算速度和加速度为了计算作用在杆件上的惯性力，需要计算在每个给定瞬时，操作机各杆件的回转速度，质心的线加速度和回转加速度。这些计算将以迭代式的形式从杆1开始，逐次向外移动，一杆接一杆，直到杆n。在前面讨论了从杆件到杆件的回转速度的变换，给为：=i,iRi+1Z(6-30)i,1ii,1i,1i,1从(6-15)我们得到从杆件到杆件的角加速度的变换方程i,1二i

13、+1Ri+i+1RiX0TOC o 1-5 h zi,1iiiii,1i,1i,1i,1各个杆的线加速度根据(6-12)可以得到为：.i+1V二i+1R(iXiP+iX(iXiP)+iV)(6-32)i,1iii,1iii,1i我们也将需要各个杆件质心的线加速度，它也可由应用(6-10)求出.iV二iXiP+iX(iXiP)+iV(6-33)ciiciiicii式中，我们假想一个标架C固结于各个杆件而它的原点位于杆件质心处，而且与杆件标架i有相同的方位。注意方程式应用于杆1特别简单，因为0=0=0。006.5.2作用在杆件上的力和扭矩计算出各个杆件质心的线加速度和角加速度后，我们可以应用牛顿欧

14、拉方程（6-4节）来计算作用在各个杆件质心上的力和力矩。6-34)F=mv6-34)iCiN=CiI,XCiI式中，q的原点在各杆的质心处而它的方位与杆件标架i相同。6.5.3向后迭代以计算力和扭矩计算出作用在各杆件上的力和扭矩后，现在剩下要做的是计算关节扭矩，它们将产生这些作用在杆件上的净力和扭矩。我们根据对典型杆件的分离体图（见图6-5）写出力和力矩的平衡方程式就可以计算出这些关节扭矩。各个杆件受到其相邻杆件所施加的作用力和扭矩，还承受一个惯性力和力矩。我们对这些邻杆的作用力规定特殊的符号f=杆件i-1作用到杆件的力；in=杆件i-1作用到杆件的力矩。i把作用在杆件i上的力加起来我们得到一

15、个力平衡关系把扭矩对于质心加起来再让它们等于零，我们得到扭矩平衡方程式iN=inin,（iP）xif（iPiP）xif（6_36）iii,1Ciii,1Cii,1用从力平衡关系（6-35）得来的结果再加上几个回转矩阵，我们可以把（6-36）写为iN=iniRi+1niPxiFiPxiRi,1f（6-37）iii,1i,1Ciii,1i,1i,1最后，我们可以整理力和扭矩方程式使它们成为由较高编号邻杆。f二iRi+1fiF(6-38)ii1i1iin=iN+iRi+in+iP，iF+iP，iRi+lf(6-39)iii1i1Ciii1i1i1这些方程式一杆接一杆地求值，从杆n开始向机器人的基础进

16、行下去。这些向后力的迭代与前面介绍过的静力迭代相似，只是现在考虑了各杆的惯性力和力矩。如同静力的情况那样，所需的关节扭矩可由取一杆作用于其邻杆的扭矩的Z分量来求得八T=，nTZ(6-40)iii注意对一个在自由空间运动的机器人，n+if和n+in都让它为零，因此方程式的第N+iN+i一个对杆n的应用非常简单。如果机器人与周围环境有接触，由于接触而产生的力和扭矩以N+if和N+in不等于零而包括在力平衡中。N+iN+i6.5.4迭代的牛顿欧拉动力学算法由关节的运动来计算关节扭矩的完整的算法由两部分组成。首先，杆件的速度和加速度从杆件1到杆件n迭代地被计算出来，牛顿一欧拉方程式被用于各个杆件。其次

17、，反力和反力矩以及促动器扭矩从杆件n回到杆1递归地被计算出来。这些方程式概括如下：向前i：05i+1=i+1Ri+0i+1z(6-41)TOC o 1-5 h zi+1iii+1i+1i+1=i+1Ri+i+1Ri,0i+1Z+0i+1Z(6-42)i+1iiiii+1i+1i+1i+1i+1y=i+1R(,iP+i屛,iP)+iV)(6-43)i+1iii+1iii+1ii+1V=i+1,i+1P+i+1,(i+1,i+1P)+i+1V(6-44)Ci+1i+1Ci+1i+1i+1Ci+1i+1(6-45)i+1F=mi+1(6-45)i+1i+1Ci+1i+1N=Ii+1+i+1,Ii+1

18、(6_46)i+1i+1i+1i+1i+1i+1向后i:61if=iRi+1f+iF(6-47)ii+1i+1i6-48)6-49)in=iN+iRi+1n+iP，iF+iP，iRi+6-48)6-49)iii+1i+1Ciii+1i+1i+1T=inTiZiii6.5.5在动力学算法中包括重力作用在杆件上的重力的影响可以很简单地让0vG来包括进去，其中G为重力矢量。0这等于说机器人的基础以一个G的加速度向上加速着。这个假想的向上加速度对杆件造成的影响，和重力将造成的完全相同。所以，不需额外的计算支出，重力的影响就被计算进去了。封闭形式的动力学方程方程式（6-41）到（6-49）给出了一个计算

19、方案，在那里根据已知的关节位置，速度和加速度等，我们可以计算所需的关节扭矩。和我们在前面推导计算雅可比雅可比的方程式一起，这些关系可以有两种用法：作为数值计算算法，或作为用来解析地推导符号方程式的算法。用这些方程作为数值计算算法是吸引人的，因为方程式可以应用于任何带回转关节的机器人（对于带移动关节的机器人可以推导出一组类似的方程式）。一旦对特定的操作机定出了惯性张量，杆件的质量，P矢量和矩阵，+庆等，这些方程式可以直接用来计算对应于任Cii何运动的惯性扭矩。但是，我们经常有兴趣于得到方程式结构的更好的了解。例如，重力项的形式是什么？重力影响的数量级是否和惯性力的相当？为了考察这种和那种问题，我

20、们常常想写出逆动力学的封闭形式。这些封闭形式的方程式可以对，、，和，符号地应用递归的牛顿一欧拉方程来推导出。它与我们前面推导雅可比的符号形式是所做的相似。操作机动力学的乘积和形式对于操作机的封闭形式的运动方程式可以写成这样的形式，作用在各个关节的扭矩表达为乘积之和。例6-3计算图6-6所示2杆平面操作机的封闭形式的逆动力学方程式。为了简单起见，假设质量分布极简单：所有质量作为一个点质量位于各杆件的末梢。这意味写在质量中心处的各个杆件惯性张量为零矩阵（注意尽管各个杆件的惯性张量为零，我们仍将发现惯性项出现在动力学方程式中）。的各种量1PlX的各种量1PlX2PlX1PIXC111C22221I0

21、I0I01230fn00033和图6-6带杆件末端的点质量的2杆2212-2212-1c一s0.0i+1i+1iR=sc0.0i+1i+1i+10.00.01.0cs0.0_i+1i+1i+1R=一sc0.0ii+1i+10.00.01.0杆件1的向前迭代,0，-19,0，-192_gs1111v=19+0+gcC11110100LIL11一m192mgs11111-192+gs11119+gciiim19gc11iii01N6-50af1N6-50af)杆件2的向前迭代+929+92vC22F22N2l(2+12vC22F22N2l(2+102)-l2gs111l+gc1110-l(210m

22、ls一ml2c21122112mlcl2s21L21122)2mgs212mgc2120ls-l2cgs11211212lcl2sgc112112120Ils一l2cgs11211212+|lcl2sgc112112*120-ml()22212ml()22126-51af)杆件2的向后迭代2F2F0202n=02m11c+m11s2+mlgc+m12(+)2122121221221222126-52ab)杆件1的向后迭代1f1c2s20一s杆件1的向后迭代1f1c2s20一s2c200,m1s-m1c2+mgs-m1(+)2l|2121212121222121l|m1c+mls2+mgc+m1

23、(+)212112121222121JI0L一m12+mgs11111m1+mgc11111-0，-0，1n=10+II0llm11c+m11s2+m1gc+m12(+)212212122122122212m12+m1gc211111000m12-m11s(+)2+m1gss+m11c(+)+m1gcc2112122122111221221221212(6-53ab)取出in的为分量，我们求出关节扭矩it=m12(+)+m11c(2+)+(m+m)12122122122121221一m11s2一2m11s+m/gc+(m+m)1gc212212212鼻1211t=m11c11s2+m1gc+m

24、l2(+)2212212122222122212(6-54ab)(6-54)式给出促动器扭矩作为关节位置，速度和加速度的函数表达式。读者可以想像6自由度操作机的解析方程式会非常复杂。操作机动力学方程式的普遍结构当牛顿欧拉方程对任意操作机符号地估值时，它们产生一个可写为下面形式的动力学方程式=M(,),+V(,)+G(,)(6-55)式中，m(,)为操作机的n惯性矩阵。V(,)为离心和哥利奥里斯(Coriolis)项的n1矢量。G(,)为重力项的n1矢量。M(,)和G(,)的每项都是与,有关的复杂函数，为操作机所有关节的位置。V(，)的每项为，和，两者的复杂函数。我们可以把出现在动力学方程中的各项分离为各种类型而形成操作机的质量矩阵、离心和哥氏(Coriolis)矢量以及重力矢量等。例6-4例6-3中操作机的操作机质量矩阵是什么？(6-55)式定义了操作机质量