弯矩曲率全过程计算分析

1、弯矩曲率计算示例弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。第一 阶段一般假定为弹性阶段。第二阶段材料的应力应变关系是非线性 的。虽 r目： GS如图所示的梁截面尺寸，A广784mm2, A= 402mm2，混凝土的应力应变关系为二次抛物线，即b=f 艾里1 ；为简化计算及说明 。卜0 EJJ过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即f = f 02 = 1540MPa ；普通钢筋的屈服强度为f = 400MPa ；预应力筋的有效应力为f =1000MPa ； E = E = 2 x 105 MPa ； f = 35MPa ；f = 3.7MPa ； E = 2.8 x 1

2、04 MPa , 求下列各个阶段的弯矩及曲率：（1）初始阶段，即外弯矩为零，f =1000MPa ；pe（2）预应力筋水平处混凝土的应变为零；（3）裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度f =3.7MPa ；t（4）梁截面顶纤维混凝土压应变达到=0.001（5）梁截面顶纤维混凝土压应变达到=0.002(6)梁截面顶纤维混凝土压应变达到=0.003并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出 截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。求解过程如下(1)初始阶段：采用毛截面特征值和P =A f来计算截面的应力和应变，截面几何特 征：A = 180 x103mm2, I = 5.4 x10

3、9mm4 , P = A f = 784 x 1000 = 784kN 有效预加力P = 784kN及偏心矩 e = 180mm 对截面引起的应力和相应的 应变如图所示：+ 3JSO.123XIC 30，驼3 云 Iff =0.324 XI -3一。川 36X10T图8T46初始阶段(F# = 了材kN )的应力和应变当外力矩(包括自重)M = 0时，截面曲率:(0.123 + 0.436) x 10-3 中=-600=-0.993 x 10-6 rad/mm非预应力筋的压应力 =E =2x 105 x0.389-3 = -77.8MPa预应力筋在有效应力下的应变g = f E = 1000/

4、200000 = 5x 10-3图8-1-JC 预应力筋与混船上的初始应变(2)预应力筋水平处混凝土应变为零阶段：一个对应预应力筋水平 处产生拉应变为0.324x10一3的外加力矩将使混凝土应变为零，并使预 应力筋产生同样的拉伸应变，因此预应力筋的应变将增加到： = + = 5 x 10-3 + 0.324 x 10-3 = 5.324 x 10-3相应的预应力筋中的应力为：b = E = 2 x 105 x 5.324 x 10-3 = 1064.8MPa预应力筋中的拉力为：P = A a = 784 x 1064.8 = 834.8kN在P = 834.8kN作用下，截面混凝土的应力分布如

5、下图所示。为使预应力筋水平处混凝土应力由9.64MPa降到零，需要增加的外 弯矩为：5.4 x 103 x 9.64180=289.0kNm在这一外力矩M作用下，混凝土截面应力及曲率如下图所示:（尸二 8刘.8）-0.41X10-33 0.109勺旷亍 秒度图8-14。阶段（2）的应力及曲季非预应力筋的应力：b = E & = 2 x 105 x 0.0636 x 10-3 = 12.7MPa（0.441 + 0.109） x 10-3中= =0.917 x 106 rad/mm600（3）开裂阶段：截面开裂点将为截面弯矩曲率线弹性关系的终点。在阶段（2），截面 底纤维已经存在3.06MPa的

6、拉应力，由于混凝土出现裂缝的抗拉强度 为3.7MPa,为产生拉应力Ac = 3.7-3.06 = 0.64MPa，所需要增加的弯矩 AM - IAb 4 x 109 x 0.64 = 11.5kNm。 因此开裂弯矩为： y 300M = 289 +11.5 = 300.5kNm由AM对预应力筋产生的拉应力为:A A Me11.5 x 106 x 180Aq = n Aq = n = 7.1454_1= 2.7MPa因此开裂弯矩下，预应力筋中的应力为:q = 1064.8 + 2.7 = 1067.8MPa由AM对非预应力筋产生的拉应力为:Aqs=3.8MPaMy A A 11.5 x 106

7、x 250=n7 = Z145.4 x109因此开裂弯矩下，非预应力筋中的拉应力为:q s = 12.7 + 3.8 = 16.5MPa由纤维应力0.64MPa而增加的曲率如下图所示:图8-14/载而开裂增却的应力犯曲举在开裂弯矩作用下，截面的开裂曲率等于阶段（2）的曲率与开裂增加曲率之和，也就是：中 =(0.917 + 0.076) x 10-6 = 0.993 x 10-6rad/mm（4）截面顶纤维混凝土压应变 = 0.001c截面开裂时的压应变是（2）和（3）两个阶段的计算结果之和， =-0.441 X10-3 - 0.229 X10-4 =0.464 x 10-3，小于 0.001,

8、因此应采用开C裂截面分析。顶纤维混凝土的应力为:2=352 x 0.001 _ ( 0.001 20.002 0.002/=26.25MPa言007图8-12二次抛物象形混凝土 o-e曲线的应变及压力抛物线形曲线,己）1变,S）祝蕤主压力式中的X 代入上式叩可求得压应力合力,C，= （ 5加.% 2人兰答一_上祥i）、 pa积分并化筒，可得坦形截面压力合力为式中6为矩形截而的宽度，甬干f隽H勺(37 )(8-37,)将上到式中的6湘/代入,整理后得混凝E压力合力Q离中性州的距离 为:j I尹莘 0*00 7(8-39 )jb b dx = bf0积分简化:C = bf 2 c 2 1 - c由

9、于 C x = j (f bdx)r整理zJL |120 - 4 J0p!I 12 一4 y、0/从公式 8-37),得/ e Z e /0.001冠)二 300 X 35 VOtOOf0.001_3 x 0 ?()02)c437ScMPa从公式(Z9 )，得_虹工4X0皿2-000上= c 亍&书 _ 展 J = LT2 x 0.002 -4 x 0.001 J = 0.35“第一次试算假设中性轴高度c = 300mm, 受压区总压力 。= 437弘-4375 x 300 = 1312.5kN由图g-i&g可见，预应力筋中的应变为图8-149阶段（4 ）的试算图。网=5.3私 乂 +（ 4籍

10、；3 ） XO.0O1 二 5.94X 10一3 LU U Vtscrs= 784 X 1188 + 402 x 166,7 = 998.4kN7明所假定的中性轴高度太大，第二次试算暇定Ca = 4375c = 4375 x 240 = 1050kNpa = 5.324 x Itr +48。- 240240)x 0-001=6.324X 10-3叫2.0 乂 1成 X 6.324 X 10一3 n i265MPa/ 550 - 240- 240对0睥1.29) Itr二 戛=2.。乂 1&5X .29x w3 258.0MPaT 二 + zl.cr, 784 X 1265 +432 X 258

11、 1093.5 k/ V Jia *a二lOWkN计算结果表明,假定的。值小了*要增加点才能 使得G舟Htfi相等.第,三次试算假定c = 247nimCfl 二 4375 X 247 = 1080.GkN480 一247PS =5324 X IQ3 + 1xO.QEH = 626了 K 厂247。队有2 .0 x IO, x 6.267 x 1顷=1253k_( 550 - 247、二247/x 0.001 = 1.227 xIO-3as = 2.0 x 1O& x 1.227 x 1O3 = 245,4MPa7 784 x 1253 + 402 x 245.41081kNCd = 1080

12、.6kN用力。离开顶面距离为工二 0,35 c =0.35 X 247 = 86.5mm对C位置取矩殊*M二点犷叩()中幼七(九-)二 784 X 1253 ( 480 - 86.5 )402 X 245.4 ( 550 - 86*5)=432.3x 10s = 4323kNm曲率小=一M 芟二 L05x lOFgd/mm|Ll 1 7 c 247(5 )截面顶纤维压W变 =用和阶段(4)同样的方法疏解，得到g ItOininC K3OkNt/ps = 1494MPa f = 0.00837 )七二 4(ioMPaM = 555.3kNm争=10.5 x 10_arad/inm(6 )截面顶纤维混凝土的压应变七二0。3： 经过试凑求得176mm,M 574.1kNm截面的曲率巾- 0.003/176 = 17.0 x io6rad/mm.例8-4计算结果汇总表(图15)阶”段外力矩 (kN. m)曲率X (rad/mm)