A全等三角形之手拉手模型,倍长中线-截长补短法

1、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1ZABD生AEC(2)za+zBOC=1803)OA平分zBOC三角形丹、三角形丹、例1如图在直线ABC的同一侧作两个等边AABD与ABCE，连结AE与CD，证明（1）AABE=ADBCAE=DCAE与DC之间的夹角为60。NAGB仝ADFB(5)AEGB仝ACFBBH平分ZAHC(7)GF/AC.4B变式精练1：如图两个等边三角形AABD与ABCE，连结AE与证明（1）AABE仝ADBC.4B（2）AE=DC（4）AE与DC的交点设为H,BH（4）AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC变式精

2、练2：如图两个等边三角形AABD与ABCE，连结AE与CD,证明（1）AABE仝ADBC(2)AE=DC（3）AE与DC之间的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHCI例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG,CE二者相交于点H问：（1）AADG仝ACDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分ZAHE？例3:如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE二者相交于点H问：(1)AADG仝ACDE是否成立？AG是否与CE相等？AG与CE之间的夹角为多少度？HD是否平分ZAHE？例4:两个等腰三角形AABD与AB

3、CE，其中AB=BD,CBEB,ZABD=ZCBE=a，连结AE与CD,问：（1）AABE仝ADBC是否成立？ftl（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？J（4）HB是否平分ZAHC？例5:如图，点A.B.C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形ABD.BCE.连接AE、DC,AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D同在一条直线上，且角EBD=62,求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：

4、凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形平移线段。B使DE=AD，延长AD到E,连接BE方式2：间接倍长B使DE=AD，延长AD到E,连接BE方式2：间接倍长C作CF丄AD于F,C延长MD到N,作BE丄AD作BE丄AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD1【例1】已知：AABC中，AM是中线求证：AMEC+FC.【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF

5、，连结DF交BC于E.求证：DE二EF（倍长补短）A【例2】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.【练1】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF【练3】如图，在AABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFIIAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，求证：AD为AABC的角平分线.【练4】如图所示，已知AABC中，AD平分ZBAC，E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求证：EFIIAB【例3】已知AM为AABC的中线

6、，ZAMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEF.CC【练1】在RtAABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足ZDFE=90。若AD=3,BE=4,则线段DE的长度为.【练2】如图【练2】如图“ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD丄AC,则zBAC=【练3】在AABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD丄ND.(1)若ZA=90。，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？(2)如果BM2+(2)如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证AD2=-4(AB2+AC

7、2)【例4】如图，等腰直角AABC与等腰直角ABDE,P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系（证角相等方法）【练2】如图，在AABC中，CD=AB,ABAD=ZBDA,AE是BD边的中线求证：AC=2AE【例5】如图所示，在AABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB,E为AB的中点，连接CE、CD,求证CD=2EC.【练1】已知AABC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CE为AABC的AB边上的中线.求证：CD=2CE【例1

8、6】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系（倍长中线与手拉手模型综合应用）如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（aBA,AD二CDBD平分ZABC,求证：ZA+ZC二1800【例13】如图所示，在RtAABC中，AB=AC,ABAC二900,ZABD=ZCBD,CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。BB【练1】已知：如图示，在RfABC中,zA=90,zABC=2zC,BD是/ABC的平分线求证：CD=2AD.【练2】如图所示，在AABC中，ZABC=900,AD为ZBAC的平分线，ZC=300,B

9、E丄AD于E【练3】正方形ABCD,E是BC【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE丄EF,交zDCH的平分线于点F，求证AE=EF【练4】已知在ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,求证：BD=CE【例14】如图所示，已知AB/CD,ZABC,ZBCD的平分线恰好交于AD上一点E,求证：BC二AB+CD。【练1】如图，已知ADIIBC,zPAB的平分线与zCBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB【练2】如图在正方形ABCD中F是CD的中点，是BC边上的一点且AF平分zDAE求证AE=EC+CD.【练4】如图所示，在

10、三角形ABC中,zACB=90,AC二BC,D为三角形ABC外一点，且AD二BD,DE丄AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，ABllDC,E为BC边的中点,zBAE=zEAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在MBC中，ABAC,d=/2,P为AD上任意一点，求证：AB-ACPB-PC【练1】已知AM为AABC的中线，ZAMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证：BE+CFEF.MB如图，E是ZAOB的平分线上一点，EC丄OA,ED丄OB，垂足B为C、D。求

11、证：(1)OC=OD;(2)DF二CF。构造等边三角形1、如图，已知3BC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,zADB=60,E是AD上一点，且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.2、在等腰AABC中，AB=AC，顶角ZA=20。，在边AB上取点D，使AD=BC，求ZBDC.BCC、4cmD、5cm练习2、在aABC和aABC中,AB二AB,AC二AC,点D,D分别是BC,BC的中点，且AD二AD,证明：AABC仝AABC.（倍长中线）练习3如图，在ABC中，BE是zABC的角平分线，AD丄BE,垂足为D,求证：/2=d+/C练习4、如图(1),已知ABC中，/BAC=90,AB二AC,A

12、E是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD丄AE于D,CE丄AE于E(1)试说明：BD二DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由.22DEAAAD5CSE3圏2如图所示，在RMABC中，AB二AC,zBAC二90,有过A的任一条直线AN,BD丄AN于D,CE丄AN于E,求证：DE二BD-CE.（思路：截长补短法）A如图，在MBC中,AB=AC,D是三角形外一点，且zABD=60,BD+DC=AB.求证：zACD=60。.（截长补短）1、如图，等腰直角AABC与等腰直角ABDE,P为CE中点

13、，连接PA、PD.如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90。），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知AM为AABC的中线，ZAMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证：BE+CFEF.(辅助线的连法都一样)CC【阅读理解】已知:如图1,等腰直角三角形ABC中,zB=90,AD是角平分线，交BC边于点D.求证:AC二AB+BD证明：如图1,在AC上截取AE=AB，连接DE,则由已知条件易知：RfADB雯RfADE(AAS)zAED二zB=90,DE=DB又zC=45,.DEC是等腰直角三角形.DE二EC.AC二AE+EC二AB+BD.【解决问题】已知，如图2,等腰直角三角形ABC中，zB=90,AD是zBAC的平分线，交BC边于点D,DE丄AC,垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为.【数学思考】：现将原题中的AD是内角平分线，交