高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题31直线平面平行的判定与性质(含答案解析)

1、1以立体几何的定义、公义和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的相关性质与判判断理。2能运用公义、定理和已获得的结论证明一些相关空间图形的平行关系的简单命题。热点题型素来线与平面平行的判断和性质例1、以以下图，已知P、Q是正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。证明：PQ平面BCC1B1。1A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，PE綊2A1B1。1四边形PEFQ是平行四边形。PQEF。又PQ?平面BCC1B1，EF?平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1。【提分秘笈】证明线面平行的重点点及研究线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的重点是想法在平面内找到一

2、条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特点，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或许结构平行四边形、搜寻比率式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可以。【贯串交融】如图，在周围体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，且ABCD，试问截面在什么地点时其截面面积最大？【剖析】AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、FH，ABFG，ABEH。FGEH。同理可证EFGH。截面EFGH是平行四边形。又EFFG，?EFGH为矩形。设ABa，CDb，又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得xaCGBC，ybBGBC。两式相加得xyba1

3、，即y(ax)。ba热点题型二平面与平面平行的判断和性质例2、以以下图，三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D。证明：连结A1C交AC1于点E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点，连结ED。A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，A1BED，【提分秘笈】平面平行的判判断理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条订交直线平行另一平面。此题的证明就是运用了这一判判断理。【贯串交融】以以下图，平面平面，A、C，B、D，点E、F分别在线段AB、CD上，且AEEBCFFD，求证：EF平面。【

4、剖析】当AB和CD在同一平面内时，由可知ACBD，ABDC是梯形或平行四边形。由AECF，得EFBD。EBFD又BD?，因此EF。当AB和CD异面时，作AHCD交于H，则AHDC是平行四边形，作FGDH交AH于G，连结EG，于是CFAG。FDGH因此EF平面。热点题型三平行关系中的研究性问题例3以以下图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点。A1D1(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?AD(2)若平面BC1D平面AB1D1，求DC的值。【剖析】(1)以以下图，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D11。D1C1连结A1B，交AB1于点O，连结OD1。由棱柱的

5、性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，因此点O为A1B的中点。(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，因此A1D1A1O，D1C1OBA1D1DCA1O又由题可知，1，因此DC1，即AD1。ADDC【提分秘笈】与平行相关的研究性问题求解策略平行关系中的研究性问题，一般是先依照条件猜想点的地点再进行证明，多为中点或三均分点问题。【贯串交融】如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面6PBC内有BEPC于E，且BE3a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD。EF平面PAD。又在BC

6、E中，CEBC2BE2a223a233a。在RtPBC中，BC2CECP，2CPa3a。33a又EGPEPCCE，CDPCPC2EGAF3a。点F为AB的一个三均分点。1.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）在以以下图的几何体中，D是AC的中点，EFDB.I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.【答案】（）证明：看法析；（）看法析.【剖析】（）证明：因EF/BD，因此EF与BD确定平面BDEF.连结DE，因为AEEC,D为AC的中点，因此DEAC，同理可得BDAC.又BDDED，因此AC平面BDEF，因为FB平面BD

7、EF，因此ACFB.2.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，BAD=60o，G为BC的中点.()求证：FG/平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】（）详看法析（）详看法析（）56【剖析】（）证明：取BD中点O，连结OE,OG，在BCD中，因为G是BC中点，因此OG/DC且OG1DC1，又因为EF/AB,AB/DC，因此EF/OG且2EFOG，即四边形OGFE是平行四边形，因此FG/OE，又FG平面BED，OE平面BE

8、D，因此FG/平面BED.（）证明：在ABD中，AD1,AB2,BAD60，由余弦定理可得BD3，进而得ADB90，即BDAD，又因为平面AED平面ABCD,BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，因此BD平面AED.又因为BD平面BED，因此，平面BED平面AED.（）解：因为EF/AB，因此直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角.过点A作AHDE于点H，连结BH，又平面BED平面AEDED，由（）知AH平面BED，因此直线AB与平面BED所成的角即为ABH.在ADE中，AD1,DE3,AE6，由余弦定理得cosADE2，因此sinADE5，33因此，AHADsi

9、nADE5ABHAH5，在RtAHB中，sinAB，因此，36直线EF与平面BED所成角的正弦值为5.61.【2015高考浙江，文4】设，是两个不相同的平面，l，m是两条不相同的直线，且l，m（）A若l，则B若，则lm若l/，则/D若/，则l/mC【答案】A2.【2015高考浙江，文18】（此题满分15分）如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，ABC90，ABAC2,AA14,A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.（1）证明：A1D平面A1BC；（2）求直线A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)78因为AE平面A1BC，因此A1D平面A1BC.(2

10、)作A1FDE，垂足为F，连结F.因为AE平面A1BC，因此BCA1E.因为BCAE，因此BC平面AA1DE.因此BCA1F,A1F平面BB1C1C.因此A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角.由ABAC2,CAB90，得EAEB2.由AE平面A1BC，得A1AA1B4,A1E14.由DEBB14,DA1EA2,DA1E907.，得A1F2因此sin7A1BF81（2014安徽卷）如图1-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.图1-5(1)证明：Q为BB1的中点；

11、(2)求此四棱柱被平面所分红上下两部分的体积之比；(3)若AA14，CD2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小(2)如图1所示，连结QA，QD.设AA1h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分红上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，则AD2a.图1111V三棱锥Q-A1AD2ahdahd，3231a2a11V四棱锥Q-ABCD32d2h4ahd，因此V下V三棱锥Q-A1ADV四棱锥Q-ABCD7ahd.12又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD3ahd，23711V上11因此V上V四棱柱A1B1C1D1-ABCDV下2ahd12ahd12ahd，故V下7.于是ta

12、nAEA1AA11，AEA1.AE4故平面与底面ABCD所成二面角的大小为4.方法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向成立空间直角坐标系设CDA，BCa，则AD2a.a2a因为S四边形ABCD2sin6，22因此a.图2进而可得C(2cos，2sin，0)，A14，0，4，sin4，0，4因此DC(2cos，2sin，0)，DA.1sin设平面A1DC的法向量n(x，y，1)，4由DA1nsinx40，DCn2xcos2ysin0，xsin，得ycos，2（2014北京卷）如图1-3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥P-ABCDE中，F为

13、棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长图1-3解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，因此ABDE.又因为AB?平面PDE，因此AB平面PDE.因为AB?平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，因此ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，因此PAAB，PAAE.成立空间直角坐标系Axyz，以以下图，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC(1，1，0)因此直线BC与平面ABF所成角的大小为6.

14、设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，因此可设PHPC(01)即(u，v，w2)(2，1，2)，因此u2，v，w22.因为n是平面ABF的一个法向量，0，因此nAH即(0，1，1)(2，22)0，解得2，因此点H的坐标为4，2，23333.422242因此PH3332.3（2014湖北卷）如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上搬动，且DPBQ(00)，则C(m，3，0)，AC(m，3，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，mx3y0，n1AC0，则n1AE0，即2

15、3y12z0，可取n1m3，1，3.5（2014山东卷）如图1-3所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点图1-3(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD13，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值17解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，因此ABDC，又M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连结AD1.因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CDC1D1，CDC1D1，因此C1D1MA，C1D1MA，因此四边形AMC1D1为平行四边形，因此，C1

16、MD1A.又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1，因此C1M平面A1ADD1.设C为坐标原点，成立以以下图的空间直角坐标系C-xyz.因此A(3，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，3)因此M3，1，0，223131因此MD1，3，D1C1MB2，0.222设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，3xy0，nD1C10，由得3xy23z0，nMD10，可得平面C1D1M的一个法向量n(1，3，1)又CD1(0，0，3)为平面ABCD的一个法向量1n5CD，因此cosCD1，n51|n|CD5因此平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为5.方法二：由(1)

17、知，平面D1C1M平面ABCDAB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连结D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，5因此平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为5.1下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个极点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是()ABCD【剖析】由线面平行的判判断理知可得出AB平面MNP，应选A。【答案】A2在空间中，以下命题正确的选项是()A平行直线在同一平面内的射影平行或重合B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个

18、平面，则这两个平面平行【答案】C3设平面，直线a，b，a?，b?，则“a，b”是“”的()A充分不用要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不用要条件【剖析】因为“a，b”，若ab，则与不用然平行；反之若“”，则必然有“a，b”，应选B。【答案】B4以以下图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面CHG平面DEH平面【答案】BBCD，且四边形EFGH是梯形ABD，且四边形EFGH是菱形ADC，且四边形EFGH是平行四边形5已知a，b表示不相同的直线，表示不相同

19、的平面，则以下命题正确的选项是()A若a，b，则abB若ab，a?，b?，则C若ab，a，则b或bD若直线a与b异面，a?，b?，则【剖析】A中，a与b还可能订交或异面，此时a与b不平行，故A不正确；B中，与可能订交，此时设m，则am，bm，故B不正确；D中，与可能订交，以以下图，故D不正确，应选C。【答案】C6以以下图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A.5B.32，51，2425D2，3C.2，2【剖析】取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M，A1N，M

20、N，能够证明平面A1MN平面AEF，因此点P位于线段MN上。因为A1MA1N11252，MN212122，因此当点P位于M，N时，A1P最大，当P位于MN中点O时，A1P222最小，此时A1O522232，因此32A1P5，因此线段A1P长度的取值范24442围是32，5。42【答案】B7如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上。若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_。【答案】28如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M知足条件_时，有MN平面B1BDD1。【剖析】由题意，HN平面B1BDD1，FH平面B1BDD1。平面NHF平面B1BDD1。当M在线段HF上运动时，有MN平面B1BDD1。【答案】M线段HF9给出以下对于互不相同的直线l、m