博弈论概要1-3完全版II

1、交通大学博弈论课程概要 (II)周林第三部分：不完全信息静态博弈不完全信息静态博弈的例子：不完全信息下的Cournot竞争例子：不完全信息下的公共产品博弈(FT 6.2)(FT 6.3-6.4) 不完全信息的 Harsanyi 模型：类型空间. 策略是由类型空间 到行动的映射，不完全信息静态博弈的策略式博弈表示. Bayesian-Nash 均衡博弈者: 1, , n .选择空间: Si .类型空间：0 用来表示不完全信息。i在类型空间的乘积空间上0 xX0有一个先验概率分布p,可以独立也可 以不独立。当博弈者1的类1型是9，博弈者n的类型是0 ,每一个博弈者 1n的收益函数是n (s ,.,

2、s ;9 ,.,9 )-i 1 n 1 n每个博弈者做选择前知道自己的类型9 ,但不知道他人的类型9 。他必须i- i用0和p来更新他人类型的条件概率。ip (9 , 9 )p (9 I 9 )=八 i J -i ip (9 )i这里 p (9 ) = S p (9 , 9 ) 0 -i9i - i-i(因为我们这里使用了 Bayes法则，我们称这类博弈Bayesian博弈。)每个博弈者可以在不同类型时作出不同的选择,所以每个博弈者的策略是 个从0到S.的映射：Q :0 - s .这个(扩展的)策略空间记为工.ii iii当博弈者1使用策略a ,，当博弈者n使用策略q时，每人的期望收益:1n口

3、 Q Q ) = Z p (0，,0 ) 口(G (0 ), . ,G (0 )； 0，,0 )(*)i 1n01ni 11n n1n=Zp (0)工p(0| 0 ) 口(g(0), G(0); 0 , 0 )0i0i iii i i i i i ii i这样我们就有了一个策略性博弈r:博弈者: 1, , n .策略空间：e ;i收益函数：由(*)定义的云.i这个策略性博弈r的Nash均衡就是不完全信息博弈的Bayesian-Nash均衡.命题：(g * .,g *)是不完全信息博弈的Bayesian-Nash均衡当且仅当对所有 1n博弈者在类型0时必须选择s =g *(0)使得下面的表达式最

4、大化： TOC o 1-5 h z ii i imax Z p (010 ) n (s , g * (0); 0 ,0).s. e S. 0 i 一 i ii i 一 i 一 i i 一 ii i i4. 重要例子：一价拍卖 (见附录)5.重要例子：双边拍卖(F-T 6.5中例6.4)作业：6.1(a),(b) , 6.2 (a),(b), (F&T).以及下面的题目：考虑一个离散不完全信息双厂商Cournot竞争模型.每一家厂商的边际 成本可能取两个值：c , c , c c 5 .取值为c的概率为冗.每一家 厂商只知道自己的边际成本，不知道另一家厂商的边际成本.市场的需 求曲线是p = 1

5、0 q .求解此博弈的Bayesian-Nash均衡.再考虑一个不完全信息三厂商Cournot竞争模型.可能有两种情形.在情 形1 (s )时，只有厂商1和厂商2存在.在情形2(s )时，厂商1,厂商2 和厂商1 3都存在. 虽然厂商 2和厂商 3都知道真实的1 情形，厂商 1不知 道真实的情形.它只知道情形1和情形2的概率各为 0.5. 三厂商的边际 成本都等于5.市场的需求曲线是p = 10 q .求解此博弈的Bayesian- Nash 均衡.如果在双人竞标中，投高标者获胜，但是两个竞标者都必须支付他们 的投标的价格假设双方对被拍卖物的价值在0, M上独立同分布，分 布的密度函数是f (

6、v).求解此博弈的对称Bayesian-Nash均衡.附：独立价值一价拍卖的求解 首先看一个最简单的例子。双人竞标，每人的价值是在0，100上的均匀分布。每个人的报价应当依赖于其对拍卖物的价值，因此他的策略是一个从0，100到 0，100的函数。报价策略1：报实价。(但这是一个劣策略。)报价策略 2：折扣报价：总是抱真实价格的一个固定折扣，譬如说 40%。报价策略 3：非线性折扣报价：譬如说，b (v) v 2。100什么是这个模型的 Bayesian-Nash 均衡报价策略呢？假定竞标者2采用50%的固定折扣的报价策略，我们来找出竞标者 1的最优反应在竞标者1的价值为v时，如果他报价b,我们

7、来计算他的期望收益。当他赢时，他的收益是v - b,而他的报价b赢的概率是Prob(b 赢)=Prob(对手报价低于b)= Prob(x| 0.5x b)= Prob(x|x 0.每人在报价时 只知道自己的 t .i每人的报价策略是一个从a,b到0,4的函数我们要求解这个模型中的对称的 Bayesian-Nash均衡报价策略。假定这个函数是b(.),让我们看看b(.)必须满足什么 条件。设想你是竞标者1而你对拍卖物的价值为t = t.当其他的竞标者都采用均衡策略b(.) 时，你如果报价 p, 你的期望收益为： 1E (p) = (t p )Prob( p wins )=(t p)(Pr ob

8、(s I b(s) p)n-1=(t p)(Pr ob (s | s b -1 (p)-1= (t - p)(F(b-1(p)n-1最佳报价p可以由E(p) = 0导出,b(b -1(p)(F (b-1(p)-1 + (t p)(n 1)(F (b-1(p)-2b(b -1(p)b (b -1 ( p ) VF (b -1 ( p )力-1 + (t p )( n 1)5 (b -1 ( p )力-1 f (b -1 ( p ) = 0既然b(.)也是你的均衡报价策略，p = b(t)应当满足上面的方程式。将p = b(t)带入 上式，我们就获得：(DE) b(t)(F (t)n-1 + (t

9、 b(t)( n 1)(F (t)-2 f (t) = 0 -注意到(DE)对所有的t都成立，这样我们就导出了 b(.)必须满足的一个微分方程。 最后我们对(DE)求解：b(t)(F (t)-1 + b(t)(n 1)(F (t)2 f (t) = (n 1) t (F (t)2 f (t),= (n = (n -1)t(F(t)n-2 f (t) ,J b (s) (F (s) -J ds = J t n - 1) s (F (s) -2 f (s )!s = f sd (f (s) t )，aaab(t)(F(t)n-1 = Jtsd(F(s)n-1) ,或者aJ t sd (F (s)n-1 )a(F (t) Aa(F (t) A1当s t时，(F(s)n-1是在其他人的价值都小于t的条件下时其他人中的最大价值小 (F (t )n-1于等于s的条件概率。因此均衡的报价策略等于在其他人的价值都小于你的价值时 的第二高价值的条件期望。在二价