平面向量的基本功

1、平面向量的基本功，你掌握了吗李启盛平面向量的基本功，包括平面向量概念、方法、易错点及应试技巧，只有掌握这些基本功，就容易学好平面向量，我们不妨看一看自己对基本功知道多少。1、向量有关概念（1）向量的概念，既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别，向量常用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段，因为向量可以平移。如已知A（1,2）,B（4,2）,则把向量AB按向量a=（-1,3）平移后得到的向量。（答案：（3,0）。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0。注意零向量的方向是任意的。（3）单位向量：长度为1个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AB土IABI）。（4）相等向

2、量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量具有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作ab,规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等，两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念，两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合，平行向量无传递性（因为有0）,三点A、B、C共线OABAC共线。（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是一a。如有下列命题：若|a|=|b|,则a=b,两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同，TOC o 1-5 h zh若AB=

3、DC，则ABCD是平行四边形，若ABCD是平行四边形，则AB=DC，若a=b，b=c,则a=c,若a/b,b/c，则a/c。其中正确的是（答案：）。2、平面向量的基本定理如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数九九2,使a=九1e1+九2e2。如若a=（I）,b=（l,T）,c=（T,2）,则（答13bab案：22）。3、实数与向量的积实数九与向量a的积是一个向量，记作九a。它的长度和方向规定：1Xa|=|九|a|，当九0时，九a的方向与a的方向相同，当九0时，a的方向与a的方向相反，当九=0时，a=0，注意九a丰0。4、平面向量的数量积（1）两

4、个向量的夹角：对于非零向量a、b,作OA=a，OB=b，则ZAB=0（00）0=-称为向量a、b的夹角。当0=0时，a与b同向；当0=-时，a与b反向；当2时，a与b垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a、b,它们的夹角为0，我们把数量lallblcos0叫做a与b的数量积（或内积、点积），记作a-b=|a|b|cos0。规定零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不是一个向量，如AABC中，答案：9）。IABI=3,1AC1=4,IBCI=5,贝gABBC=5、向量的运算1）向量加法的平行四边形法则只适用于不共线的向量，向量加法还可利用三角形法则。设AB=a，BC=b，

5、那么向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC.2）向量减法的三角形法则，设AB=a,AC=b，那么a-b=AB-AC=CA,其方向由减向量的终点指向被减向量的终点，注意此处减向量与被减向量的起点相同。如化简：AB+BC+CD=(AB-CD)-(AC-BD)=AB-AD-DC=（答案：AD，CB，0）。6、向量平行（共线）的充要条件a/boa=Xb（b丰0）o（a-b）2=（IaIIbl）2。-=0。如向量a=（x，l），b=（4,x），当x=时，a与b共线且方向相同（答案：2）7、向量垂直的充要条件=0。特别地如已知OA=（-1，2），OB=（3，m），若OA丄OB，则m=a丄boa

6、-b=0ola+bl=la-bIoxx+yyABAC+|AC|J丄ABAC|AB|AB|AC|丿3l2l2（答案：2）。8、线段的定比分点（1）定比分点的概念：设点P是直线l上异于P、P2的任意一点，若存在一个实数九,使P1P2=XPP2，贝M叫做点P分有向线段PiP2所成的比，P点叫做有向线段PiP2以定比为九的定比分点。（2）九的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PiP2上时，九0;当P点在线段PiP2的延长线上时，九T；当P点在线段P2P1的延长线上时，-1九0；若P点_r_1分有向线段P1P2所成的比为九，则P点分有向线段P2P1所成的比为亍。如点P分AB所成37的比为4，则点

7、A分BP所成的比为（答案：3）。9、平移公式x=x+h,如果点P（x,y）按向量a=（h，k）平移至p，&,yj,则y=y+k曲线f（x，y）=0按向量a=（h，k）平移得曲线f（x-h，y-k）=0。特别注意：向量平移具有坐标不变性。向量中的三角形“四心”问题李启盛学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。结论1：若点OABC所在的平面内一点，满足OA-OB=OB-OC=OC-OA,点O为ABC的垂心。证明：由OA-OB=OB-OC,OA-OB-OB-OC=0,得OB-(O

8、A-OC)=0，即OB-CA=0，所以OB丄CA。同理可证OA丄CB。故oABC的垂心。结论2：若点O为ABC所在的平面内一点，满OA+BC=OB+CA=OC+AB2，则点OABC的垂心。证明：由OA2+BC2=OB2+CA2，得OA2+(OB-OC)2二OB2+(OC-OA)2，*-*以OB-OC=OC-OA。同理可证OA-OB=OB-OC。容易得到OA-OB=OB-OC=OC-A,由结论1知OABC的垂心。结论3：若点GABC所在的平面内一点，满足GA+GB+GC=0，则点GABC的重心。BiP-证明：由GA+GB+GC=0，得一GA=GB+GC。设BC边中点为M,2GM=GB+GC，所以

9、-GA=2GM，即点G在中线AM上。设AB边中点为N,同理可证G在中线CN上，故点GABC的重心。1OG=(OA+OB+OC)结论4：若点GABC所在的平面内一点，满足3，则点GABC的重心。1证明：由OG=3(OA+OB+OC)，得(OG-OA)+(OG-OB)+(OG-OC)=0，得GA+GB+GC=0。由结论3知点GABC的重心。结论5：若点PABC所在的平面内一点，并且满足-(ABACiOP=OA+x|+(IABIIACI)Cpr、JBABCI=OB+xl+IBAI(九0)(*AB+1、ACOP-OA=X(*AB1、AC+(IABIIACIJ，可得JABIIACI丿OP=OA+九证明：由于IBCI丿，则点PABC的内心。设与AB同方向的单位向量为e1，与AC同方向的单位向量为e2，则AP=X(e1+e2)。因为e1、e2为单位向量，所以向量e1+e2在ZA的平分线上。由X0，知点P在ZA的平分线上。同理可证点P在ZB的平分线上。故点GABC的内心。结论6：若点OABC所在的平面内一点，满足(OA+OB)-BA=(OB+OC)-CB=(OC+OA)-AC，则点OABC的外心。证明：因为BA=OA-OB所以(OA+OB)-BA=1OA|2-IOB|2.同理得(OB+OC)-CB=IOB|2-IOCl2,(OC+OA)-AC=IOC|2-