极坐标系的方法和应用

1、极坐标系的方法和应用一、极坐标系中的常用方法在极坐标系中，由于点的极坐标00有着十分明显的儿何意义，因此，在解决问题过程中，合理应用几何意义，联系与Z有关的几何性质，不仅可以提高我解决问题的能力和速度,更重要的是可以培养我们的思考问题的能力，还会开拓我们的视野，丰富我们的智慧。例1、如图，过点pfp,任意作一直线交极轴Ox于点A（p,0）,3丿0、交直线&=于点b（r，0、求证：PPP2这是一个常见的问题，解决它也不是一件费心的事，但我们不停留的只解决问题的层面上，而是从联系的观点看问题，从创新的角度思考问题，我们也不会满足一种解法了。方法一：应用面积公式在极坐标系中，若点A、B的坐标分别为（

2、Q&）、的面积S=QClsin（q-&2）|九OP弓g血彳=乎pp1nPp2=PP4PP）1-1+1PPPl方法二：应用余弦定理在极坐标系中，若点A、B的坐标分别为（P0）、（门翅厂则AB|2=Pf+P2一工PPqcos一&2）如图可知：|力卩尸=Qi2+q2-2pgcos?=Pf+p2-ppx|2=P；+p2-2pp?COS=P；+P；-PP而|AB|二|AP|+|PB|化简（过程较繁）可得PPlP2方法三：应用正弦定理设AQAP=a则在AA0B中匕=色一=旦=taila-”sina622=i艮卩丄=+PP2PPP2方法四：应用角平分线定理TOP是ZA0B的平分线，!=/!OBPB由上知：=

3、P2-PPP2PH_PP2化简可得丄=+PPP2方法五：利用相似三角形的性质如图,过点B作BC|0P交Ox的反向延长线于C,显然AOBC为正三角形，|oc|二|ob|二|bc|二宀又4AOPsAACB.OP_AOp_p、T81旳P2A+P2即丄=J-+-PAP2方法六：应用直线方程先记点P的坐标为必，彳j求得过点P、A的直线的极坐标方程为p品QP_sin0+cos0=p、_3q点，在直线上，代入化简可得就是I3丿p3AP2PPlp2二、伸缩与旋转新课标中要求対选修4-4只盂掌握极坐标的基本概念，事实上极坐标作为解决数学问题的一个工貝，在曲线旋转伸缩问题研究上有它独有的优势，卜而略举儿例说明从这

4、两个方而对极坐标+曲线的旋转伸缩变换的应用。中学数学中有关曲线旋转的问题如果在直角坐标系中研究，将会有较人的计算甌且不易掌握，卜而根据以前在直角坐标系中的平移伸缩的仃关规律在极坐标中总结出一个简单易用的结论。极坐标中曲线旋转和伸缩町以根据以卜结论处理：所仃曲线的旋转和伸缩变换都是解析式中的p,&在变，且变化的规律与习惯相反。其中所谓的“习惯”就是比如说极径p变为原來的2倍，变为2p；极角0逆时针变人，顺时针变小。在极坐标系中曲线伸缩变换只要按照与这个“习惯”相反的规律处理：即曲线/(/?,)=0上所有点的极径q变为原来的A倍则伸缩变换后的曲线方程变为倍则伸缩变换后的曲线方程变为/（刍,0）=0

5、可以简单的理解为QT刍：若曲线fp、3)=0逆时针旋转a,则旋转后的曲线的方程为/(p&-a)=0,可以简单的理解为00-a.这个规律在貝体解题时比较实用，卜面举几例说明，供人家参考。K伸缩变换CP2例2、从极点。引定盼2辭的弦0P,延长。P到Q,使矿亍,求点Q的轨迹方程.解析：按照传统的思路，本题可以用相关点法解。设点Q(M),PG%”。)，则_=3,P_Po3所以Po=tAPo=2coso2则有/?=2cos0,所以p=5cos8.仔细分析题目，本题的实质就是定圆p=2cos&上的点的极径变成原来的|倍，这样按照我们给岀的规律可以快速找到答案。CC5527解:由题意青=*即P变为原来的|倍

6、，则pfp,在所求曲线为彳Q=2COS0,化简为p=5cos8o角坐标方程，然后用它们斜率或方向向鼠來判断。事实上用本文介绍的极坐标中的旋转理论可以快速的找到答案。如图0=-为一条与极轴成少的直线，pcos(-)=2可以看成由6667T一条与极轴垂直的直线pcos0=2逆时针旋转石所得，从而可以得到两条直线互相垂直，故选Bo例4.点力在直线x=5移动，等腰OE4的顶角AOPA为120。(0,P,A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.解析一：本题若放在直角坐标系中处理，若设A(5,t),即引入变最t,利用两个等量关系:(1)|P0|=|PA|：(2)ZAP0=120设法求出点P的轨迹方程.尝试

7、着这样解：设A(5,t)9P(x,y)/po=pa+b=J(工-5丫+(y-t)2整理得10 x+2y-25-尸=0/APO=120。，1+apkp代入上式得:5y-t-x1+apkp代入上式得:5y-t-xx2+y2-5x-f-y由，消去t,可得点P的轨迹方程(此时发现：消去t显得多么繁杂，共至不可能.因此此法应放弃，该选择新的方法).解析二：若建立极坐标系，也许求点P的轨迹的极坐标方程更简明些.只布以0作为极点，龙轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线x=5的极坐标方程为QCOS&=5解：取0为极点，*轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,则直线x=5的极坐标方程为QCOS0=5。由题意，点A到点P

8、的变换过程中相当于将极径p变为原來的逅倍，且极角逆时针旋3转了工，这样只要把原来直线极坐标方程pcos&=5中的p变成巧,0变为6-,66即点P的极坐标方程为屁cos（0-f）=5。从以上三个例题可以看出在涉及到定点（极点）距离的伸缩变换和绕定点（极点）旋转问题的处理上，用前而所说的技巧是非常的准确快捷，关键要能挖掘题目中的变换，认清适用的前提。在变换的每一步只要抓住变的实质，可以轻松解决平而内的类似问题。另外，这个变换只适用极坐标平而内曲线的的变换，对丁点的变换就是您的“习惯”，比如点P（/2,0）的极径变为原來的A倍，且绕极点逆时针旋转a后，变为点P（Apa）,这在具体解题中要注意区别。三、圆锥曲线中的定值问题x?y2例5.已知椭圆+-=1的三点召、只、Py且OR，OR,O占互成120,求证:crtr-一両T窗+窗为定值证明:证明:作极坐标变换X=QCOS&y=/?sin&则椭呻+Q则椭呻+Q的极坐标方程为:cos2cos26/+a:sin6/设PS,0）人（门/+120。）,P、（门V+240。）TOC o 1-5 h z.I1_111cos0sin0cos:（+120）sin（+120）=+4 HYPERLINK l bookmark14/h2a2b2Icos&+240。）|sid（&+240。）ab2cos(2&+240)cos(20+480)T