第二讲 不等式恒成立与存在性问题

1、 在(1,+8)单调递增，J/(X)f(1)=0，证毕.(2)abb(2)abba一blna一Inba一b一a,=Ina-Inb.oIn1，构造函数g(X)=21nx一(x一1)(x1)，则g(x)=-(1一1)20，所bxx以g(X)在(1,+8)上单调递减，g(X)0,b0，且a丰b，有、ab，2bab.1na一Inb2(方法二：主元法)即证：1nb-lnaa0，a+bb一a*：ab2Inb一Inaba，_,要证：，即证：lnb-lnaa0)，f(x)=(黛XW)20，又f(a)=0，所VaXx2xax以f(x)f(a)=0.lnb一lna12(b一a)要证：，构造函数b一aabbb+a2

2、(x一a)(x一a)2g(x)=1nx-Ina-(xa0)，g(x)=-0，故g(x)g(a)=0，证x+ax(x+a)2毕.典例精讲f(X)=pi42；iiextniiheXxxwx曰f(x)=f(x)击.x+x2引例已大知函数，若12，且12，求证：12f(X)=一证法一：利用导数对ex进行研究.f(xf(x)=匕，令f，(X)=0，则X=1.当X(-00,1)时，。，/在(-00,1)上单调递增;当X(1,+00)时，0,/在(-00,1)上单调递减.由函数解析式可得了98+00/-0，所以可知函数/(x)的图象如图2.1所示.TOC o 1-5 h z由于X丰x,f(x)=f(x)，不

3、妨设xx，则易知0 x12，即证x2-x12由于x以及2-x都属于(-8,1)这个递增区间，所以即证f(x)f(2-x),即由止匕1212联想构造函数g(x)=f(x)-f(2-x)(x1),则g(x)=f(x)+f(2-x)=(1-x)().exe2-x由于x1，则1-x2x，可知(L-J-)0在xe(1,+8)exe2-x上恒成立，所以g(x)在(1,+8)上单调递增由此可得g(x)g(1)=0，所以x1时，f(x)f(2-x)，证毕.证法二：由证法一知，0证法二：由证法一知，0 x1limg(t)=limtfi-tfi-t+1lnt+t=2.即x+x2，证毕.112证法三：由证法二知，x

4、+x12欲证x1+x2即证U上1lnt(0t2,也即证Int2(-1).则可以构造函数t+1g(t)=lnt-曾，0t0所以g(t)在(0,1)上单调递增，故g(t)g(1)=0，即lnt2.t+112证法四：设xex1_x2_=mex2，则m0,且x=mex11，解得x=mex22x+x=m(ex1+ex2)12x一x=m(e2x1-ex2)设2=t，贝U0t1，有x1-x2=ln，解得xIx=tx212可联想构造函数g(t)=t1lnt,0t1,则g(t)=-2tlnt+t2-1t-1t(t-1)2令h(t)二一211nt+12-1,则h(t)=-2lnt-2+21,h(t)=2t一1)h

5、(1)=0，h(t)J，h(t)h(1)=0，所以gXt)0，即g(t)在(0,1)上单调递减，构造函数g(x)=ex，如图所示：(曲边梯形面积梯形面积)卜2ex卜2exdx(=+BCCD，即ex2-ex10，所以二21,m，且10，所以二21,m2(x-x)0m122，21即x+x2，证毕.12评注：(1)对于双变量的问题，最重要的方法就是通过合理变形，如证法一中利用代数变形，把不同区间的变量变成同一个区间内的变量，把双变量问题转化为单变量的问题，进行求解.其中离不开构造函数，但是如何构造函数一定要顺理成章，让学生有章可循，有法可依.(2)三个解法对于为什么构造函数分析得明明白白，通过思考还

6、可以有第四种方法，即积分法.应当说对于双变量的问题，有时候，利用积分法入手，也是一个很好的方法.这个方法将一些代数式赋予了几何意义，如本题中x-x表示梯形ABCD的高等，希望同学们能21够体会.变式1已知r函数/(X)=lnx+X2+X，正实数%心2满足+变式2已知函数f(X)=1nxx.,、Jf(x工、(工)求函数J，的单调区间；(ttfiizif(x)=m(m2)A，rH-i./NiR三寸大曰XXrqXX；4口目.XX24，若1+2，且12，证明：12f(x)变式4函数x44x3y=a(a-1)3与直线3交于4x1，a)、B(x2,a)两点.证明：x1+x2g(x)，则说明f(x)g(x)

7、212minminVxea,b，总存在xec,d，使f(x)g(x)，则说明f(x)g(x)，则说明f(x)g(x);212minmaxVxea，b,xec,d，都有f(x)g(x)，则说明f(x)g(x)，则说明f(x)g(x);212maxmin3xea，b,xec,d，使f(x)g(x)，则说明f(x)a，则说明f(x)a；minVxea,b，使f(x)b，则说明f(x)c，则说明f(x)c；max3xea,b，使f(x)d，则说明f(x)d.min3.双变量问题向单变量问题转化的策略对于双变量的问题，属于两个函数的问题，当判断两边取什么值时，可以采取下面的方法.当判断左边取什么值时，应

8、当把右边当做参数，把问题转化为单变量的问题进行解决；当判断右边取什么值时，应当把左边当做参数，同样把问题转化为单变量的问题进行解决.典例精讲例2.6已知函数f(x)=Inxax+ta-1(aeR).x(1)当ag(x)，求实数b的取值范围.12解析：(1)若a0，在(0,1)上，f(x)单调递减，在(1,+8)上，f(x)单调递增；TOC o 1-5 h z若0ag(x).当a=1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调minmin4递增，f(x)=f(1)=2a=-1,(x2-2bx+4)-1,xe1,2.min22当b1时，g(x)=g(1)=1-2b+411矛盾，舍去；mi

9、n2419当1b2时，g(x)=g(b)=4-b2-矛盾，故舍去；min22117当b2时，g(x)=g(2)=8-4b成立.min2417综上所述，实数b的取值范围是177,+s).例2.7已知函数f(x)=alnx-x+2，其中a丰0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对任意的xe1,e，总存在xe1,e，使得f(x)+f(x)=4，求实数a的值.1212解析：(1)当a0时，函数/(x)的单调递增区间为(0,a)，单调递减区间为(a,+8).(解答过程略)(2)当a1且a丰0时，由(1)知，在1,e上是减函数，所以f(x)=f(1)=1.max由于Vxe1,e,xe1,e，f(x)+f

10、(x)2f(1)=24矛盾，故舍去；1212当1ae时，由(1)知，在区间1,a上，f(x)是增函数，在区间a,e上，f(x)是减函数，所以f(x)=f(a)=a1na-a+2=a(lna-1)+2,由于ae1,e，则max1na-10，所以f(x)2.因为Vxe1,e,xe1,e，f(x)+f(x)2f(a)e时，由(1)知，在1,e上，f(x)是增函数，所以f(x)=f(1)=1，minf(x)=f(e)=a-e+2.由题意，令x=1，则存在me1,e，使得max14=f(1)+f(m)f(1)+f(e).令x1=e，则存在ne1,e，使得4=f(e)+f(n)2.k=1-_,2=1+a1

11、2，由(1)知xx=1，TOC o 1-5 h zx-xxxx-x12121212lnx-lnxlnx-lnx于是：k=2-a12，若存在a，使得k=2a，则有12=1，即：x-xx-x121211x2lnx=0(x1)。易证h(x)=x一一-2lnx(x0)在(1,+)单调递增，则2x22x2h(x)h(1)=0，故不存在a，使得k=2-a.例2.8已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a4x1-x2，求a的取值范围.例2.9已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=(x2+1)f(x)-2x+2的最小值；(2)当0ab时，求证：f(b)-f(a)21sa).a2+b2例2.10已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)最大值；(2)设0ab，证明：0g(a)+g(b)2g()0).在(1)的条件下，若函2x2x数g(x)为增函数，求实数c的取值范围。一兀2：若不等式smxx一ax3对于xe(0,了)恒成立，求a的取值范围。3：已知函数f(x)=lnx-a(x-1),aeR.(1)讨论函数f(x)的单调性；lnx(2)当x1时，f(x)