上海交通大学2018级《高等数学》第二学期期末考试

1、3分，共 15分）(x2u2u2ux2(xxy(3（B）(1,1)；x2y， zxyB2,xy(31:xdV2y)22u；y22x y2(xy) 1x（C）(3, 0)；3y3 2x4xyx:x241x2u（B）xuyy)(xy)的极值点是（D）(0, 3). 2xy2y，zyy(3y)x2y2xdV2y22；1y)（y2， zy2x，2x3xyy2z2；x yx y；y2（D）(x(x）3x2，(x,y)z2R2,x（B）(t)dtu2y)y)3分，共 15分）(x2u2u2ux2(xxy(3（B）(1,1)；x2y， zxyB2,xy(31:xdV2y)22u；y22x y2(xy) 1x

2、（C）(3, 0)；3y3 2x4xyx:x241x2u（B）xuyy)(xy)的极值点是（D）(0, 3). 2xy2y，zyy(3y)x2y2xdV2y22；1y)（y2， zy2x，2x3xyy2z2；x yx y；y2（D）(x(x）3x2，(x,y)z2R2,x（B）(t)dtu2y)y)，u2xyy)2(0,0) zR2,z0,yydV，其中：2x y(xyyx2，A、B、C、D都是驻点，0，仅当，0与0,z4(t)具有一阶导数，则（uy)，uxx2(1,1)满足3xy0，则ydV）. 2(x可正可负，不是极值点，（；(xy)）y)(x(xy)，y)，一、单项选择题（每小题1. 设

3、u(x,y)2u（A）x2（C）x解uy答案：A 2. 函数 z（A）(0, 0)；解 1 zzxxAC答案：B 解 2 x y对称，C 对，D 也对，单选题，故排除 C，D，z答案：B 3. 设有空间区域2（A）1J-1 zdV2答案： C 一个形如x4S(3 )( 1)nn0； （B）( 1)nnan2a 1，2an2a(x(xD110(x241bn32（B）2aa( 1)nn ( 1)na( 1)nn 21，即1|y|)dxdy| y|)dxdy1 y02y)izdV2sin nx处的值 S4S(3( 1)n13a( 1)nnan2aa_ 4ydx(y2；的级数，其和函数 S(x)在(0

4、,(3 )=zdV2答案： C 一个形如x4S(3 )( 1)nn0； （B）( 1)nnan2a 1，2an2a(x(xD110(x241bn32（B）2aa( 1)nn ( 1)na( 1)nn 21，即1|y|)dxdy| y|)dxdy1 y02y)izdV2sin nx处的值 S4S(3( 1)n13a( 1)nnan2aa_ 4ydx(y2；的级数，其和函数 S(x)在(0,(3 )=；2收敛，则 a的取值范围是；( 1)nn2，a112ydxdy4 y(12z)j（D）)22（C） ；2 )（C）aa0时收敛，时收敛，10(z2xyzdV上的表达式为（2S(）121( 1)nn

5、( 1)ny)dy2x)k ，则 rotA41）（D）2；a23_. xyzdV . (2)（D）an 2x)，. S(1. n2a21)12(12)141解4.n 1则S(x)在（A） ；解答案：B5. 若级数n 2（A）a解n 2( 1)nnn 21n 2答案：C 二、填空题（每小题 3分，共 15分）6. 设D (x, y) | x| | y| 1，则二重积分D解D4 dy7. 向量场 AJ-2 jrotA2yxn( ,1)2x2dsxn2|1小题 6分，第 2小题 8分, 共14分）z(x, y)由方程 FzxdxF2F2F1dx3F1kxy2y 在点(1,9,4)处的切平面方程是：

6、_. ( z , z12(yy2132nx2n(2xzydydx12F2dyF2y2zx169)z2(x2CjrotA2yxn( ,1)2x2dsxn2|1小题 6分，第 2小题 8分, 共14分）z(x, y)由方程 FzxdxF2F2F1dx3F1kxy2y 在点(1,9,4)处的切平面方程是： _. ( z , z12(yy2132nx2n(2xzydydx12F2dyF2y2zx169)z2(x2C的收敛域为 ：_ n2|n3z,2y2F23F1(2dxzz2y,1),1)，或 (3,1, 6)，6(za2与平面 xy212z)F23dz(2,2,2)2x(4)yz2)ds| x|n2

7、0所确定，其中： F 是可微函数，求dy)1 12 x 2 y0，或z1312F1dx3F1F2 (2dy, ,1)，3x0的交线，则a2 dsC,|x| 12F2dyF2dz)yx2ds=_ 13，收敛域为： 1, 106za2 2 a12230a3解x28. 曲面 z解n|(1,9,4)切平面： 3(x9. 设C为球面 xC解C10.级数n 10, |x| 1解,| x| 1三、计算下列各题（第11. 设zdz. 解 1 dz2F13F1解 2 dzJ-3 x212I dy e dxy(e e )dy10分，共 30分）x z2xIII1(x,y)0zdS2x21x2xr3x2Pyxx12

8、1 y1y822z 1z 1z 1: zyzdS2 2dSz1dx132e dyyy23e21介于平面 y 0和xz2zxy12y 12xx21r3y . 2x(15x2y11y1部分的面积2x2y2xx2,x,xx212I dy e dxy(e e )dy10分，共 30分）x z2xIII1(x,y)0zdS2x21x2xr3x2Pyxx121 y1y822z 1z 1z 1: zyzdS2 2dSz1dx132e dyyy23e21介于平面 y 0和xz2zxy12y 12xx21r3y . 2x(15x2y11y1部分的面积2x2y2xx2,x,xzy2y) Q111e2之间部分，求z

9、 ，xy dxdz212dSx 2ydy yy 2dx2zdS. 2dxdyy2dydz，z2z: zx2 1 (，其中 C 为上半圆周32xx用用 S:x，用？求导11xx2x(1xe dy. S: z1x2 ，)2x2 ，方向从y)2y1z2 求导，z 11,0 到5x2x2 求导， ，1y 2212. 求二重积分： dx4x解2112四、计算下列各题（每小题13. 设曲面 为柱面分析： 求柱面1. 用公式：Dxy2. 用公式：Dyz3. 不能用公式：Dxz解DxyzdS1110 114. 计算：C0,0 ，r解1 J-4 rx3x2)2C: xr12cost( 2xyx211x2dxdy

10、22 2x2 y 412xy(y23dx1231siny)y2 在xoy平面上方部分的上侧。:z 0 x2dxdy22:xx2dx(112dxrt) |0dydz (y2x283244x2,y21r12cost,y13(32221dzdx (x2y212203y2yyrx3x2)2C: xr12cost( 2xyx211x2dxdy22 2x2 y 412xy(y23dx1231siny)y2 在xoy平面上方部分的上侧。:z 0 x2dxdy22:xx2dx(112dxrt) |0dydz (y2x283244x2,y21r12cost,y13(32221dzdx (x2y212203y2y

11、y3)12y2(1z)dxdy ， 其 中，4(x2x2 y4，,1)dysint ，t:0dy1为 曲 面，y2)dxdy2，(0,0)(1,0)，12)4xr203sint1dxcost3cost1r3dtsinyt)2dyC01(1解2 1xC(3215. 计算 ：z 2解 1 Gauss公式：取平面域1dxdydz11383解 2 合一投影法：在xoy平面上投影区域 Dnx2J-5 y, y2x22x y222d3f (x)f ( x)( 1)nn 0 x0f (x)2n1n!( 1)n( 1)n1,x2y224x242042arctan x21x2nfn 0 x0( 1)n02( 1

12、)nn23nn23nz) (x2xyx2y2)dxdy241 dx02x1n!(t)dt21x dx12n的和. n2(n 1xy2y3y, y2x22x y222d3f (x)f ( x)( 1)nn 0 x0f (x)2n1n!( 1)n( 1)n1,x2y224x242042arctan x21x2nfn 0 x0( 1)n02( 1)nn23nn23nz) (x2xyx2y2)dxdy241 dx02x1n!(t)dt21x dx12n的和. n2(n 1xy2y3y2r coscos222et dt2x2ndxx22n011)3,yx2203展开为 x 的幂级数 . ex1n!x0

13、xnx2nny222( 1)nex dx101，,1)dxdyx2y2rrdr12n2n!（ 121x2ndxxxx2n1 ）21y2)dxdy（ 1x1 ）Dxy(x2 y(x2x2 y2020五、（本题 8分）16. 将函数解 1 2n 0f (x)解 2 x0n 0六、（本题 10分）17. 求数项级数n 1解n 1J-6 n2xn 1x1 xn23nf (x)f (x)x( 1)11由0时， f (x)fn 1b时，级数b时，af ( )2f ( )2b)nn 1) S(在0, fn 1bf ( )limx0， f (x)是单调增函数，且 lim f ( )( )单调减且趋于na131

14、2nf ( )xx(1(113)x( xf12f (x)00，1n2xn 1x1 xn23nf (x)f (x)x( 1)11由0时， f (x)fn 1b时，级数b时，af ( )2f ( )2b)nn 1) S(在0, fn 1bf ( )limx0， f (x)是单调增函数，且 lim f ( )( )单调减且趋于na1312nf ( )xx(1(113)x( xf12f (x)00，1( 1)bf ( )4f ( )112nx x)x)33320 的 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且)( )收敛. af ( )x0，所以n 112n12nf ( )n， 1m1n130得： f( 1)faf ( )1f (14xx(x0。bf ( )(0)n 1( )，收敛。12n1f ( )xn) 114f (0)f1nbf ( )12naf (0，再由 f( )收敛1f ( )12n( x1af (11)。1)m)bf( )0得：bf(