推理与证明学案

1、合情推理（ 1）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用 .学习过程一、课前准备（预习教材P28 P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程 .二、新课导学 学习探究探究任务 ：归纳推理问题1: 哥德巴赫猜想：观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7, ,50=13+37, , 100=3+9

2、7，猜想：问题 2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.,推出该类事物的新知：归纳推理就是由某些事物的的推理，或者由的推理 .简言之，归纳推理是由的推理 . 典型例题2例 1 观察下列等式：1+3=4= 2 ，21+3+5=9= 3 ，21+3+5+7=16= 4 ，21+3+5+7+9=25= 5 ，你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9 ，1+8+27=36 ，1+8+27+64=100 ，你能猜想到一个怎样的结论？例 2 已知数列an 的第一项 a11 ，且 an 1an( n 1,2,3.) ，试归纳出这个数列的通项公式.an1变式：在数列 an 中， a1

3、1 , an1(an 11) （ n2 ），试猜想这个数列的通项公式 .2an 1 动手试试练 1. 应用归纳推理猜测111 1 222 2 的结果 .练 2. 在数列 an 中， a11 ， an 12an （ nN * ） ,试猜想这个数列的通项公式 .2 an三、总结提升 学习小结1归纳推理的定义.归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想） . 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王 费马（ 1601-1665 ）在 1640 年通过对 F0 2201 3， F1 22115 ，F2 222117 ， F3 2231

4、257， F422 41 65537 的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然 数 n， 任 何 形 如 Fn22n1的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现F5 22514 294 967 297 6416 700 417 不是素数，推翻费马猜想 .2.四色猜想： 1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象： “每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色. ”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200 个小时，作了100

5、亿逻辑判断，完成证明 .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（） .归纳推理是由一般到一般的一种推理过程归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若f ( n)n2n41,nN ，下列说法中正确的是（）.A.f (n) 可以为偶数B.f ( n) 一定为奇数C.f (n) 一定为质数D.f ( n) 必为合数3.已知 f ( x1)2 f ( x), f (1)1 （xN * ）

6、，猜想 f ( x）的表达式为（）.f ( x)2A.f ( x)4B. f (x)22xx 12C. f ( x)12x1D. f ( x)12x4. f (n ) 1111(n N) ，经计算得 f (2)3, f (4) 2, f (8)5, f (16) 3,f (32)7 猜测当 n2 时，有23n222_.232,3456 72.5. 从1 1,24 35 中得出的一般性结论是 _课后作业21. 对于任意正整数n，猜想 (2 n1) 与 (n1) 的大小关系 .2. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn ， a12 ，满足 Sn12 an (n 2) ，计算 S1 , S2 , S

7、3 , S4 , 并猜想 Sn 的表达式 .3Sn2合情推理（ 2）学习目标1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P30 P38，找出疑惑之处）1.已知 ai0(i1,2,111；, n) ，考察下列式子： (i ) a11 ； (ii ) (a1 a2 )() 4a1a1a2(iii ) (a1a2a3 )( 111 )9. 我们可以归纳出，对a1, a2 , , an 也成立的类似不等式为.a1a2a32. 猜想数列11,11的通项公式是.3,5,7,13579二、新课导学 学习探究鲁

8、班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在 . 以上都是类比思维，即类比推理 . 新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由到的推理 . 典型例题例 1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.类比实数的加法实数的乘法角度运算结果运算律逆运算单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连

9、线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以 点 ( x0 , y0 ) 为 圆 心 ， r为半径的圆的方程为( x x)2 ( yy )2 r 200例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为S1( a b c) r（ r 为三角形内切圆的半径）2新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想

10、，未必可靠. 动手试试练 1.如图，若射线 OM ，ON 上分别存在点M1,M2 与点 N1S OM 1N1OM 1ON1.若不在, N2 ，则三角形面积之比OM 2ON2S OM2N2同一平面内的射线OP，OQ 上分别存在点P1, P2 ，点 Q1 , Q2和点 R1 , R2 ，则类似的结论是什么？练2.在ABC 中，不等式 1119 成立；在四边形ABCD 中，不等式111116 成立；在五边ABCABCD2形 ABCDE 中，不等式 1111125 成立 .猜想，在 n 边形 A1 A2An 中，有怎样的不等式成立？ABCDE3三、总结提升 学习小结1类比推理是由特殊到特殊的推理.类比

11、推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想） .合情推理仅是 “合乎情理 ”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法 . 知识拓展试一试下列题目：南京江苏A.石家庄河北B.渤海中国C.泰州江苏D.秦岭淮河4成功失败A.勤奋成功B.懒惰失败C.艰苦简陋D.简单复杂3.面条食物A.苹果水果B.手指身体C.菜肴萝卜D.食品巧克力学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量： 5分钟 满分： 10 分） 计分 ：1.下列说

12、法中正确的是（） .A. 合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A. “若 a 3b 3 ,则 ab ”类推出 “若 a0b 0,则 ab ”B. “若 ( ab)cacbc ”类推出 “( a b)cacbc ”C. “若 ( ab)ca bab（c0） ”ac bc ” 类推出 “cccD.（“nan bn ” 类推出 （“ ananbnab）b）3.设 f 0 ( x)sin x, f 1 ( x)f 0 (x) ，f2 (x)f1 ( x), fn 1 ( x)fn ( x) ， n

13、 N，则 f 2007 ( x)（） .A. sin xB. sin xC. cos xD. cos x一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006 个圆中有个黑圆 .5. 在数列 1， 1， 2，3， 5， 8， 13， x， 34， 55 中的 x 的值是.课后作业1.在等差数列 an 中，若 a100 ，则有a1a2ana1 a2a19 n (n 19, n N * ) 成立，类比上述性质，在等比数列 bn 中，若 b91 ，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列an 中，数列的前n 项和 Sn 满足 Sn11（ 1） 求 a1, a2

14、 ,a3 ；（ 2） 由（ 1）猜anan2想数列an 的通项公式；（ 3） 求 Sn演绎推理学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.学习过程一、课前准备（预习教材P39 P42，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由到的推理 .类比推理是 由到的推理 .复习 2：合情推理的结论.二、新课导学 学习探究探究任务一 ：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点

15、是100 C ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 C 时，；（4）一切奇数都不能被 2 整除， 2007 是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sin是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，那么.新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理 .简言之，演绎推理是由到的推理 .探究任务二 ：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电铜是金属铜能导电已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断大前提小前提结论新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提；小前提；结论.试试：请把探究任务一中的演绎推

16、理（2）至（ 6）写成“三段论”的形式. 典型例题例 1在锐角三角形ABC 中， ADBC ,BEAC ， D， E 是垂足 . 求证： AB 的中点 M 到 D ，E 的距离相等 .新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例 2 证明函数f (x)x22 x 在,1 上是增函数 .小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略 .例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形 .（结 论）小结：在演绎推理

17、中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. 动手试试练 1. 用三段论证明：通项公式为ancqn (cq0) 的数列 an 是等比数列 .练 2. 在ABC 中， ACBC ， CD 是 AB 边上的高，求证ACDBCD .证明：在ABC 中， CDAB, ACBC ，所以 ADBD ，于是ACDBCD .指出上面证明过程中的错误.6三、总结提升 学习小结1. 合情推理归纳推理：由特殊到一般；结论不一定正确 .类比推理：由特殊到特殊演绎推理：由一般到特殊 .前提和推理形式正确结论一定正确. 知识拓展乒乓球教练组将从右手执拍的选手R、S、T 和左手执拍的选手 L 、M、N、O 中选出四名队员

18、去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知s 不能与L 配对 .T 不能与 N 配对， M 不能与 L 或 N 配对。若R 不被选入队中，那么有几种不同的选法?A. 只有一种B. 两种 C. 三种D. 四种学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（A.很好B. 较好C. 一般D. 较差）. 当堂检测 （时量：5 分钟满分：10分）计分：1. 因为指数函数ya x 是增函数，y( 1 )x 是指数函数，则2y(1 )x 是增函数2.这个结论是错误的，这是因为A. 大前提错误C.推理形式错误B. 小前提错误D. 非以上错误有这样一段演绎推理是这样的

19、“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A. 大前提错误B. 小前提错误C.推理形式错误D. 非以上错误，直线 a3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 ,则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面平面，直线 b 平面，则直线 b 直线 a ”的结论显然是错误的，这是因为A. 大前提错误B. 小前提错误C.推理形式错误D. 非以上错误4.归纳推理是由到的推理；类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理 .5.合情推理的结论；演绎推理的结论.课后作业1. 用三段论证明：在梯形ABCD 中， AD/BC，AB=DC ，则 BC .用三段论证明： f ( x)

20、 x3 x( x R) 为奇函数 .2.1合情推理与演绎推理 (练习 )学习目标1.能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3.体会合情推理和演绎推理的区别与联系.学习过程一、课前准备（复习教材 P28 P40，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由到的推理 .类比推理是 由到的推理 .合情推理的结论.复习 2：演绎推理是由到的推理 .演绎推理的结论.二、新课导学 典型例题例 1 观察（ 1）（ 2）tan100 tan 200tan200 tan 600tan600 tan1001; tan50tan100tan100tan750

21、tan750tan501由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知： sin 2 30 sin 2 90 sin 2 15032sin 2 5 sin 2 65 sin 2 12532通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在 Rt ABC 中，若C90 ，则 cos2 Acos2 B1 ，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列 an 的公差为d ，前 n 项和为 Sn ，有如下性质：（1） anam(n m)d ，（2）若mnp q,( m,n, p, q N * ) ，则amana p aq ，类比上述性质，在等比数列 bn 中

22、，写出类似的性质. 动手试试练 1.若 数 列 an的 通 项 公 式 an1(n N ) ， 记 f(n) (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ， 试 通 过 计 算1)2( nf (1), f (2), f (3) 的值，推测出 f (n)_ .练 2. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为 a,b,c,则三角形的面积 S1r (a b c) ，根据类比思想， 若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为2S1, S2 , S3 , S4 ，则四面体的体积 V=.三、总结提升 学习小结1. 合情推理归纳推理：由特殊到一般；结论不一定正确 .类比推理：由特殊到特殊演绎推理：由一般到特殊 .

23、前提和推理形式正确结论一定正确. 知识拓展有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题 q：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？8学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 由数列 1,10,100,1000,，猜想该数列的第n 项可能是（） .A. 10nB. 10n 1C.10n 1D. 11n2.下面四个在平面内成立的结论平行于同一直线的两直线平行，

24、一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交垂直于同一直线的两直线平行，一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交在空间中也成立的为（）.A. B. C. D. 3.用演绎推理证明函数yx3 是增函数时的大前提是（） .增函数的定义函数 y x3 满足增函数的定义C.若 x1x2 ，则 f ( x1)f (x2 )D. 若 x1x2 , 则 f ( x1)f (x2 )4.在数列 an 中 ,已知 a1an*) ,试归纳推理出an.2,an 1(n N3an15. 设平面内有条直线( n 3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f (n) 表示这条

25、直线交点的个数，则f (4) =；当时， f ( n) （用含 n 的数学表达式表示） .课后作业1. 证明函数f ( x)x24x 在 2,) 上是减函数 .2. 数列 an 满足 Sn2nan ,先计算数列的前4 项 ,再归纳猜想an .综合法和分析法（ 1）学习目标结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备（预习教材P45 P47，找出疑惑之处）复习 1：两类基本的证明方法:复习 2：直接证明的两中方法:和和.二、新课导学 学习探究

26、探究任务一 ：综合法的应用问题：已知 a, b0 ,求证: a(b 2c2 )b(c2a 2 )4abc .新知：一般地 ,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法 .反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果 . 典型例题例 1 已知 a, b, cR ， ab c 1，求证： 1119abc变式：已知 a,b,cR ， abc1，求证：( 11)( 11)( 11) 8.abc小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例 2 在 ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为

27、a、b、c，且 A、B、C 成等差数列， a、 b、c 成等比数列 . 求证：为 ABC 等边三角形 .变式：设在四面体PABC 中,ABC90 , PAPBPC, D 是 AC 的中点 .求证 :PD 垂直于ABC 所在的平面 .小结：解决数学问题时 ,往往要先作语言的转换 ,如把文字语言转换成符号语言 ,或把符号语言转换成图形语言等 , 还要通过细致的分析 ,把其中的隐含条件明确表示出来 . 动手试试练 1. 求证：对于任意角 ， cos4sin 4cos2练 2. A,B 为锐角，且 tan Atan B3 tan Atan B3 ，求证： AB60 . （提示：算tan( A B) ）

28、三、总结提升 学习小结综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论Q1 ,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 知识拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发 ,经过一系列的中间推理 ,最后导出所要求证的命题 , 综合法是一种由因索果的证明方法 .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 已知 x, yR,则 xy1 是 x2y21 的（）A. 充分不

29、必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件102.如果 a1 , a2 ,a8 为各项都大于零的等差数列，公差d0 ，则（）A a1 a8a4 a5B a1a8a4 a5C a1a8 a4a5D a1a8 a4 a53.设 P1111，则（）log 2 11log 3 11log 4 11 log 5 11A0P1B1P2C2P3D3P44.若关于 x 的不等式( k22k3)x(k22k3)1x 的解集为 (1,) ，则 k 的范围是 _.2225.已知 a, b 是不相等的正数，abab ，则 x, y 的大小关系是 _.x2, y课后作业已知 a， b，c 是全不相

30、等的正实数，求证 : b c a a cb a b c3abc在 ABC 中，证明： cos 2Acos 2B11a 2b2a2b22.2.1 综合法和分析法 (二)学习目标1.会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备（预习教材P48 P50，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由导;复习 2：基本不等式:二、新课导学 学习探究探究任务一 ：分析法问题：如何证明基本不等式ab0, b0)ab ( a2新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已

31、知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因 典型例题例1求证3526变式：求证:3725小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体 SABC 中 , SA面 ABC, ABBC ,过 A 作 SB 的垂线 ,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线 ,垂足为 F,求证AFSC .变式：设 a, b, c 为一个三角形的三边122ab ,试证： s 2a ., s(ab c) ,且 s2小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题. 动手试试练 1. 求证 :当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面

32、积大.练 2. 设 a, b, c 是的 ABC 三边， S 是三角形的面积，求证： c2a2b24ab 4 3S三、总结提升 学习小结分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知P1 , P2,，直到所有的已知P 都成立 .12 知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中 ,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的分析法中 ,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5分钟 满分： 10 分）

33、计分 ：1. 要证明 37 25 可选择的方法有以下几种,其中最合理的是A. 综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式 x23 3x ; b a2,其中恒成立的是bA. B. C.D.都不正确3.已知 yx 0 ,且 x y1 ,那么xy2xyB. 2xyxyx yxyA. xyxyC. x2xy y D. x 2xyy22224.若 a, b, c222ab bcac.R ,则 abc5.将 a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水 (b a0) ,则其浓度为; 若再加入 m 千克的白糖 (m 0) ,糖水更甜了 ,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.课后作业1. 已知 a b0

34、 ,22求证 : (a b )a bab(a b) .8a28b2. 设 a,bR ,且 ab ,求证 : a 3b 3a2 bab2综合法和分析法（3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.;学习过程一、课前准备（预习教材P50 P51，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由导复习 2：分析法是由索;.二、新课导学 学习探究探究任务一 ：综合法和分析法的综合运用问题：已知,k(kZ) ,且sincos2sin,2sin cossin 2,求证:1

35、tan 21tan2) .1tan22(1tan2新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试： 已知 tansina,tansinb ，求证： ( a2b 2 )216ab .反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用. 典型例题例 1 已知 A, B 都是锐角，且A B ， (1 tan A)(1 tan B) 2 ，求证： A B 45 2变式：已知 1tan1 ，求证： 3sin24cos2 .2tan小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面

36、体 PABC 中， PDABC ， AC BC ， D 是 AB 的中点，求证： AB PC .变式：如果 a, ba blg a lg b0 ，则 lg.22小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. 动手试试练 1. 设实数 a, b, c 成等比数列，非零实数x, y 分别为 a 与 b ， b 与 c 的等差中项，求证ac2 .xy练2.已知A B5，且 A, B k( k Z ) ，求证： (1 tan A)(1 tan B) 2 .42三、总结提升 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合

37、法，即从“欲知”想“需知” (分析 )，从“已知”推“可知” （综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. 知识拓展综合法是“由因导果” ，而分析法是“执果索因” ，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一 .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差14 当堂检测 （时量： 5分钟满分： 10 分）

38、计分 ：1.给出下列函数 yx3， yxsin xcos x, ysin x cos x, yxx） .x22 , 其中是偶函数的有（A1 个B2 个C3 个D4 个2. m、 n 是不同的直线，,是不同的平面，有以下四个命题（） ./；mm；m / n/m /m /m /n其中为真命题的是（）A B. CD3.下列结论中，错用基本不等式做依据的是（x2） .A a，b 均为负数，则ab2B22C lg xlog x 102D aR ,(1 a)(11 )4bax2a1设 、r 是互不重合的平面， m， n 是互不重合的直线，给出四个命题：若 m ， m ，则 若 m ， m ，则 其中真命题

39、是.若 r， r，则 若 m， n ，则 m n5. 已知p : 2x31, q : x(x3)0 ,则 p 是 q 的条件 .课后作业1. 已知 a,b,cR ， a, b, c 互不相等且 abc1.求证：111abcb.ac2. 已知 a,b,c, d 都是实数，且a 2b 21,c2d 21 ，求证： | acbc | 1.反证法学习目标结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点 ;会用反证法证明问题 .学习过程一、课前准备（预习教材P52 P54，找出疑惑之处）复习 1：直接证明的两种方法:和复习 2：是间接证明的一种基本方法.;二、新课导学

40、 学习探究探究任务 ：反证法问题 (1) ：将 9 个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有 5 个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题 (2): 三十六口缸 ,九条船来装 ,只准装单 ,不准装双 ,你说怎么装 ?新知：一般地，假设原命题，经过正确的推理， 最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.试试：证明：2,3,5 不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命

41、题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题例 1 已知 a0 ,证明 x 的方程 axb 有且只有一个根.变式：证明在ABC 中 ,若C 是直角 ,那么B 一定是锐角 .小结 ：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等） .例 2 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60 .小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 动手试试练 1. 如果 x1 ,那么 x22 x 1 0 .2练 2.ABC 的三边 a, b, c 的倒数成等差数列,求证 :

42、B90 .三、总结提升 学习小结1. 反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办 ?诸葛亮冷静思考之后 ,传令大开城门 ,让老弱士兵在城门口洒扫道路 ,自己则登上城楼 ,摆好香案 ,端坐弹琴 ,态度从容 ,琴声优雅 , 司马懿来到城前见此情况 ,心中疑惑 ,他想诸葛亮一生精明过人 ,谨慎有余 ,今天

43、如此这般与其一生表现矛盾 ,恐怕城内必有伏兵 ,故意诱我入城 ,决不能中计 ,于是急令退兵 .诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾 ,才以“不守城” 来达到暂时 “守住城” 的目的， 诸葛亮从问题 （守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60 ”时，反设正确的是（） .A 假设三内角都不大于60B

44、假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于602. 实数 a, b, c 不全为 0 等价于为（） .A a, b, c 均不为 0B a, b, c 中至多有一个为0C a, b, c 中至少有一个为0D a, b, c 中至少有一个不为03.设 a,b,c 都是正数，则三个数a1 , b 1 , c 1 （） .bcaA 都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2164.用反证法证明命题“自然数a,b,c 中恰有一个偶数”的反设为.5.“ x 4 ”是“ x24 x 0 ”的条件 .课后作业1. 已知 x, y0 ,且 x y

45、2.试证:1 x ,1y 中至少有一个小于 2.yx2. 证明2 不是有理数 .第二章推理与证明 (复习 )学习目标了解合情推理和演绎推理的含义；能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；能用综合法和分析法进行数学证明；能用反证法进行数学证明 .学习过程一、课前准备（预习教材 P28 P55，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由到的推理 .类比推理是 由到的推理 .合情推理的结论.演绎推理是由到的推理 .演绎推理的结论.复习 2：综合法是由导;分析法是由索.直接证明的两种方法:和;是间接证明的一种基本方法 .二、新课导学 学习探究探究任务一 ：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎

46、推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性 .你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一 ：直接证明和间接证明问题： 你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？ 典型例题例 1 已知数列an的通项公式an1N ) ，2 ( n(n1)记 f ( n)(1 a1 )(1a2 ) (1 an ) ，试通过计算f (1), f (2), f (3) 的值，推测出f (n) 的值 .变式：已知数列111,113,5,12n13572n求出 S1 , S2 , S3 , S4 ；猜想前n 项和 Sn .（理科

47、）（ 3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例 2 已知 tan ， tan 是关于 x 的一元二次方程x2+px+2=0 的两实根 .（1）求证： tan()p ；（2）求证： 3sin()p cos() 0 .变式：如右图所示， SA 平面 ABC ， ABBC ，过 A 作 SB 的垂线，垂足为E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为F，求证： BC 面SAB ； AF SC .SFEAC小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.B 动手试试练 1. 求证：当22有两个不相等的非零实数根时， bc

48、0 .x bx c0练 2. 数列 an 满足 Sn2 n an ,n N *（1）计算 a1 , a2 , a3 , a4 ，并由此猜想通项公式an ；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论 .（理科）三、总结提升 学习小结知识拓展帽子颜色问题“有 3 顶黑帽子， 2 顶白帽 .让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见 .现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴

49、的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人 .事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么 ?学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，HHHHHHH C HH CC HH CC C HHHHHHHCH4C2H6C3H818写出后一种化合物的分子式是（） .A C4H9BC4H10C C4H11D C6H122.用反证法证明： “ ab ”，应假设为（）.A. a b B. abC. a bD. ab3.所

50、有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（） .A. 演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 _.5. 由“以点x0 , y0 为圆心，222 ”可以类比推出球的类似属性r 为半径的圆的方程为x x0y y0r是.课后作业1. 若 sincos1 ,求证 : sin6cos612.求证 y ax22a ,2bx c , y bx2cxycx22axb ( a, b, c 是互不相等的实数),3 条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点 .理： 2.3数学归纳法 (1

51、)学习目标1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.数学归纳法中递推思想的理解 .学习过程一、课前准备（预习教材 P104 P106，找出疑惑之处）复习 1：在数列 an 中，a1 1,an 1an,( nN * ) ，先算出 a2， a3， a4 的值，再推测通项an 的公式 .1an复习 2： f ( n)n 2n41 ，当 n N 时， f (n) 是否都为质数？二、新课导学 学习探究探究任务 ：数学归纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么

52、?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n0 时命题成立 ;（2）归纳递推：假设n=k（ kn0， k N* ）时命题成立，证明当就可以断定命题对从n0 开始的所有正整数n 都成立 .n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0 的正整数n0+1， n0+2 ， ，命题都成立.an1 这个猜想吗?n反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题关键：从假设n=k 成立，证得n=k+1 成立 . 典型例题例 1用数学归纳法证明1 22 23 2n 2n ( n 1)(2 n 1) , n N

53、 *6变式：用数学归纳法证明14273 10n(3n1)n( n1)2 ,nN*小结：证 n=k+1 时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例 2 用数学归纳法证明 :首项是 a1 ,公差是 d 的等差数列的通项公式是an a1 (n 1)d ,前 n 项和的公式是 Sn na1n( n 1)d .2变式：用数学归纳法证明 :n 1a (1qn )首项是 a1 ,公比是 q 的等差数列的通项公式是an a1q ,前 n 项和的公式是.( q 1 )Sn1q小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. 动手试试练 1.用数学归纳法证明:当 n 为整数时 ,1 35(2 n

54、 1)n2练 2.用数学归纳法证明:当 n 为整数时 ,1 22 22n 12n1三、总结提升 学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：用数学归纳法证明：2n 11a n 21) ，在验证 n1 时，左端计算所得项为1 a aa1( aaA.1B. 1 aa2C. 1 aD. 1 a a 2a3用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n1 3