林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题16对角互补模型附答案

1、专题16对角互补模型破解策略1.全等型之 “90如图,/ AOB=Z DCE = 90, OC 平分/ AOB,则如图,(1)CD = CE;OD + OE= 72 OC;证明1 _ _ 2S ,OCD (1)CD = CE;OD + OE= 72 OC;证明1 _ _ 2S ,OCD S OCE = 2 0c方法一：如图，过点 C分别作CM LOA, CNXOB,垂足分别为 M,N.由角平分线的性质可得 CM = CN, Z MCN =90.所以/ MCD =/ NCE,从而 AMCDNCE (ASA),故 CD = CE.易证四边形MONC为正方形.所以 OD + OE = OD + ON

2、+NE = 2ON= &OC.212所以 S.OCDS.OCE =S正方形 MONC = ON = 3 0c -方法二：如图，过 C作CFXOC,交OB于点F.易证/ DOC = Z EFC = 45 , CO=CF, / DCO = / ECF .所以 CD= CE, OD = FE,所以DCOA ECF (ASA)所以 CD= CE, OD = FE,可得 OD + OE = OF=夜OC .12所以 S凉CDSmCE = SACF = OC -【拓展】如图，当/ DCE的一边与AO的延长线交于点 D时，则:(1)CD = CE;(2)OE-OD= 72 OC;(3)12S#CE S#CD

3、 =3 0c如图,证明同上.A2.全等型之“ 120”如图，/ AOB = 2Z DCE = 120 , OC 平分/ AOB ,则:(1) CD = CE;OD + OE=OC;S&CD *S囱OD + OE=OC;S&CD *S囱CE = 0c ?.4证明方法一：如图，过点 C分别作CM OA, CNXOB,垂足分别为 M, N.证明所以 S.OCDS.OCE =2Sonc =-OC24易证MCDNCE (ASA),所以 CD = CE, OD + OE=2ON=OC.方法二：如图，以 CO为一边作/ FCO =60,交OB于点F,则4OCF为等边三角形.易证DCOECF (ASA).所以

4、 CD=CE, OD + OE=OF = OC,Sa ocd+ Sa OCE= SaSa ocd+ Sa OCE= SaOCF =OC 24【拓展】如图，当/ DCE的一边与BO的延长线交于点 E时，则:(1) CD = CE; (2)OD OE = OC;(3) Sa OCDS 0c(1) CD = CE; (2)OD OE = OC;(3) Sa OCDS 0cL 2430c如图，证明同上.3、全等型之“任意角”如图，/ AOB=2 ,(1) CD = CE; 如图，/ AOB=2 ,(1) CD = CE; ( 2)0C平分/ AOB,则:/ DCE = 180 2口OD + OE =

5、2OC - cosot ； (3) Saodc+Saoec=OC 2 - sin cos0N E证明：方法一：如图，过点 C分别作CMXOA, CNXOB,垂足分别为M, N易证 MCDNCE (ASA)，CD = CE, OD+OE=2ON= 2OC cosaS/ odc + Sa oec 2Saonc OC , sin c( coset方法二：如图，以 CO易证 MCDNCE (ASA)，CD = CE, OD+OE=2ON= 2OC cosaS/ odc + Sa oec 2Saonc OC , sin c( coset方法二：如图，以 CO为一边作/ FCO =180 2o（，交OB于

6、点F.CD = CE, OD+OE=OF = 2OC cosct Sa odc + Sa oec= Saocf = OC , sin a cos a【拓展】如图，当/ DCE的一边与BO的延长线交于点 E时，则:(1) CD = CE; (2) OD-OE = 2OC - cosa ;(3)SaODC Saoec = OC 2 - since cosa如图，证明同上4、相似性之“ 90 ”如图，/ AOB=Z DCE = 90, /COB= ,则 CE=CDtan 二方法一：如图，过点 C分别作CMXOA, CNXOB,垂足分别为 M、N易证 MCD s、NCE，.二-NE- = CE = C

7、N- = tan 0(,即 CE = CD tana MD CD CM方法二：如图，过点 C作CFOC,交OB于点F.一一FE CE CF , 一易证DCOs ECF,=tana ,即 CE= CD tan aOD CD CO方法三：如图，连接 DE.易证D、O、E、C四点共圆/ CDE = / COE = 口，故 CE= CD - tana【拓展】如图，当/ DCE的一边与AO的延长线交于点 D时，则CE = CD tan如图，证明同上.A例题讲解A例题讲解例1、已知 ABC是。O的内接三角形，AB=AC,在/ BAC所对弧BC上任取一点 D,连接 AD, BD, CD.(1)如图1,若/

8、BAC=120 ,那么BD + CD与AD之间的数量关系是什么?(2)如图2,若/ BAC= a ,那么BD + CD与AD之间的数量关系是什么？解：（1） BD+CD= 43 AD如图3,过点A分别向/ BDC的两边作垂线，垂足分别为 E、F.由题意可得/ ADB = / ADC = 30易证 AEBA AFC.BD + CD = 2DE= J3AD BD + CD = 2AD sin-.2如图4,作/ EAD = Z BAC,交DB的延长线于点 E.A图4CA图4则EBA0DCA,所以 BE=CD, AE = AD.作 AFXDE 于点 F,则/ FAD=色,所以 BD + CD= DE=

9、2DF= 2AD sin% .例2如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点 A,另一条直角边与 BC相交于点F.求证：RA=PE;如图2,将中的正方形变为矩形，其余不变，且 AD=10, CD=8,求AP: PE的值；如图3,在的条件下，当 P滑动到BD的延长线上时，AP: PE的值是否发生变化？图2图2解：如图4,过点P解：如图4,过点P分别作则 PM= PN, / MPN= 90,由已知条件可得/ APE =90,所以/ APM = / EPN ,所以 APM 9M EPN.故 AP = PE.如图5,过点P分别作 PMXAB,

10、PNXBC,垂足分别为 M, N,贝U PM/AD, PN/ CD.所以 BPMA BDA, BNPA BCD ,可得 EM =空AD BDPNCD所以 BPMA BDA, BNPA BCD ,可得 EM =空AD BDPNCDPM,所以PNAD 5CD 4易证 APMA EPN,所以AP PM5PEAP: PF的值不变.如图，理由同进阶训练.如图，四边形 ABCD被对角线 BD分为等腰 RtAABD和RtACBD,其中/ BAD和/ BCD都是直角，另一条对角线 AC的长度为2,则四边形ABCD的面积为.答案：四边形 ABCD的面积为2.【提示】易证 A、B、C、D四点共圆，则/ BCA=

11、Z BDA = Z ABD = Z ACD ,由“全等型之900”的结论可得 S四边形abcd = 1 AC2= 2.2.在 ABC 中，AB = AC, /A=60, D 是 BC 边的中点，/ EDF = 120 , DE 与 AB 边相交于点E, DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点 F.如图1, DF与如图1, DF与AC边相交于点F,求证:BE+CF= 1 AB;2如图2,将图1中的/ EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于 点 F,作 DNLAC 于点 N,若 DN = FN,求证：BE + CF=石（BE CF）.答案：略.【提示】过点 D作DG /AC

12、交AB于点G,证 DEGA DFC ,从而BE+CF=BE+EG = BG= A AB.2AA过点D作DG / AC交AB于点G,同可得BE-CF= 1 AB= DC = 2DN ,延长AB至点 23H,使得 BH= CF,则 DH = DF = DE,从而 BE+CF = HE = J2 DE = & X 夜 DN = 2DN ,所以 BE+CF=邪(BE CF).3.在菱形ABCD中，两条对角线3.在菱形ABCD中，两条对角线绕点O旋转，射线 OM交BC于点巳射线ON交CD于点F,连结EF .如图1,当/ ABC = 90时， OEF的形状是 ;如图2,当/ ABC = 60时，请判断 OEF的形状，并说明理由;如图3,在的条件下，将/