几何概型题型讲解【典例及难题精选】

1、几何概型课题1:题型讲解几何概型中事件A的概率计算公式：构成事件A的区域长度(面积或体积等).其次p ( A ) 一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积等)要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.1.几何概型的两个特征：试验结果有无限多；每个结果的出现是等可能的.事件A可以理解为区域Q的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量(长度、面积或体积)成正比， 而与A的位置和形状无关.决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解.(

2、2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.(4)利用几何概型概率公式计算.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我 们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率.一般地.利用计算机或计算器的randO函数可以产 生01之间的均匀随机数.ab之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生01之间的均匀随 机数x= rand()，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生a, b上的均匀随机数， 试验的结果是产生ab之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的.均匀随机数的

3、应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且 与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。1/39.与长度有关的几何概型【例】已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )11111A-10B.9C.111D.8【解析】设乘客到达站台立即乘上车为事件A，试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成事件A1的区域长度为1 min,故P(A)=.答案：A 【例】如

4、图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B 与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?【解析】记E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把ABm等分，由于中间长度为30X 1=103米，方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到 的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概 率模型就可以用几何概型来求解.【例】在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的， 求任意画的弦的长度不小于R的概率。思路：由平面几何

5、知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点， 它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空间(即直线)上的线段MN,而有利场合所对应的区域Ga是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。【解法1】.设EF与ER是长度等于R的两条弦，直径MN垂直于EF和 Ef,与他们分别相交于K和K1(图1-2)。依题设条件，样本空间所对应 的区域是直径MN,有L(G)=MN=2R,注意到弦的长度与弦心距之间的关系 比，则有利场合所对对应的区域是KK有 TOC o 1-5 h z 一 一 I(R /一L (GK) = KK 1 = 2

6、OK = 2J R 2 - J = R解不等式，得：3所以：可_x RL(G ) = 2 R = 3RR2A 2于是P（加WW与面积有关的几何概型【例】如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金 色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122加,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射 箭.假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？【解析】记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为1的大圆内，而当中靶点x冗 x1222cm2 4落在面积为1的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率x冗 x

7、 12.22 cm24为 1x兀 x 12.22 cm2P (B) = = 0.01x兀 x 1222 cm24即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积.【例】在三角形ABC中任取一点P,证明：4ABP与ABC的面积之比大于思路：本题的随机点是.ABP的顶点P,它等可能的分布在 ABC中，因此，与样本空间对应的平面区域是 ABC，注意到aABP于aBjCC有公共边AB,所以的面积决定于顶点P离底边AB的距离。这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。3/39【解析】设ABP与ABC的面积之比为n 1，aBIBC的高CD为h, &A

8、BP的高PG为hl,公共底边ABAB的长为c,(图2)则SA1% ch2 1hn 一 1ABP J=T =3ABC一 1 7 chhn2过点P作EF/AB,交CD于H,则有立场合所对应的平面区域为CEF .于是所求概率为SP =-注意到 EF/AB，a注意到 EF/AB，aEFC -aABC ,且 CH=h -h1h- n - 1 h= 1 7， -hn n【例】(2010 济南模拟)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与4ABC相交出三个扇形(如图所示)，当P落在阴影部分时符合要求.1 n_3X

9、（xX12） 位P=忑=6 .答案：6五4 X22【例】已知函数f(x)=x22ax+b2, a, bR.若a从集合0,1,2,3中任取一个元素，b从集合0,1,2中任取一个元素，求方程f(x)=0有两个不相 等实根的概率；若a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，求方程f(x)=0没有实根的概率.【解析】(1)/a取集合0,1,2,3中任一个元素，b取集合0,1,2中任一个元素，a, b 的取值的情况有(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2).其中第一个

10、数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,当aN0, bN0时，方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为ab.当ab时，a, b取值的情况有(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2),即A包含的基本事 件数为6,61方程f(x) =0有两个不相等实根的概率P(A)=冠=2.4/39(2)：a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域0 =(a, b)|0WaW2,0WbW3,这是一个矩形区域，其面积1 = 2X3 = 6.设“方程f(x)=0没有实根

11、”为事件B,则事件B所构成的区域为M=(a, b)|0WaW2,0WbW3, ab,1即图中阴影部分的梯形，其面积Sm=6X2X2 = 4.S 4 2由几何概型的概率计算公式可得方程f(x) =0没有实根的概率P(B)=司=6=3.三.与体积有关的几何概型【例】在区间0,1上任取三个实数x.y.z,事件A=(x,y,z)| x2+y2+z21, xN0,yN0,zN0(1)构造出随机事件A对应的几何图形；(2)利用该图形求事件A的概率.思路点拨：在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z21表示的几何图形是 以原点为球心，半径r=1的球的内部.事件A对应的几何图形所在位置是随 机的，所以事件A的

12、概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几 何概型的条件.【解析】(1)A=(x,y,z)| x2+y2+z21, xN0,yN0,zN0表示空间直角坐标系中以原点为球心，半 径r=1的球的内部部分中xN0,yN0,zN0的部分，如图所示.由于x,y,z属于区间0,1,当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.P P (A)=13方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示 的图形.从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Q的几何度 量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.求

13、会面问题中的概率【例】两人约定在20： 00到21： 00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两 人出发是各自独立的，在20： 00到21： 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概 率.5/39思路：两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即2小时.设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使3两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-2 Wx-yW 2，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.33【解析】设两人分别于X时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围 内相见，当且仅当-2 Wx-yW 2 -33两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单

14、位正方形内（包 括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴 影部分（包括边界）来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：1.p 二 阴 二上二 8S129单位正方形方法技巧会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型.难点是把两个时间分别用x,y两个 坐标表示，构成平面内的点（x,y）,从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成 面积型几何概型问题.【例】甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位 的时间分别为4小

15、时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率.【解析】甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待.以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为一2WxyW4,在如图所示的平面直角坐标系内，（x, y）的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A”有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概型公式得：112425x2225x2026767P（A） =24=288.故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是嬴.五.角度型6/39【例】如图所示，在等腰直角ABC中，过直角顶点C在/ACB内部做一条射线CM，与

16、线段AB交于点M于点M，求AM AC的概率。分析：当AM = AC时，有ZACM = /AMC，故欲使AM AC，应有ZACM /AMC，即所作的 射线应落在ZACM = /AMC时ZACM的内部。【解析】在AB上取AD = AC,连接CD，贝U180。45。，记“在内部作一条射线2CM，与线段AB交于点M，AM 2CM，与线段AB交于点M，AM /R，此时NN10N2=180，故所求的概 1801率为360 =2.【例】在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求AABC是锐角三角形的概 率。解法1：如图3所示建立平面直角坐标系，A、B、C、C为单位圆与坐标轴的 12交点，当AABC为锐角三角形

17、，记为事件A。则当C点在劣弧CC上运动时，1 2AABC即为锐角三角形，即事件A发生，所以7/391x 2冗 1P (A) 42冗 4解法2：记AABC的三内角分别为a, P，K-a-P，事件A表示“ NABC是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合Q = (a,P)|0a,P兀,0a + B兀。因为ABC是锐角三角形的条件是冗且 仃0 a, P 22所以事件A构成集合A-(a, P )*PW ,0 a, P/由图2可知，所求概率为w工P（ a ） - 的面积1匹、（）Q的面积=2（；）2 = 1-1 冗 2- 42解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件

18、的概率。七、生活中的几何概型【例】某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分 钟的概率.分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时 刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率. 因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站 等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.【解析】设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于50,60这一 时

19、间段内，因此由几何概型的概率公式，得P（A）=60 - 50 =1，即此人等车时间不多于10分钟的概率为6061 .6【例】平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm和10cm,任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此 圆不与平行线相交的概率。思考方法本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直 径为2cm的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以 取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行 线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行线的间隔交替的为1.5cm和10cm,

20、则研究相邻三条平行线之间 情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可能地分布在相邻三条平 行线的某一垂线上（如图1-3）由此原题不难解出。8/39【解析】设L1、L2、L3是三条相邻的平行线，EPF是它们之间的垂线(图1-3),则样本 空间所对的区域是线段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到与12相邻1.5cm，所以圆心如果落在线段EP上，那么圆与平行线必定相交。 设半径为2cm的。O,。1分别切L2、L3于P、F,则事件的有利场合所对应的区域应 是线段OO有1图1.p二611.5氏 0.5127L(GA)=OO1=PF-OP-O图1.p二6

21、11.5氏 0.5127评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的关键，在于斟酌题设条件，发掘 等可能值参数的含义，找出随机点的分布情况。【例】广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，9他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为而，那么该台每小时约有分钟的广告.9【解析】60X(1记)=6分钟.答案:6【例】甲、乙两人约定在下午4:005:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后 一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概 率。【解析】设x为甲到达时间，y为乙到达时间.建立坐标系，如图| % y

22、| 15时可相见,即阴影部分 602 - 4527可相见,尸 60216【例】两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是 25km，下午3： 00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3： 00，他们可以交谈的概率。【解析】设%, y为张三、李四与基地的距离% e 0,30，y e 0,40，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对(%,y)，表示区域总面积为1200，可以交谈即%2 + y2 2525兀192故1兀25兀192P = 41200【例】某勘探队勘测到，在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏

23、着石油，假设在海域中任 意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？9/39分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域 面积，由几何概型公式可以求得概率。【解析】记“钻到油层面”为事件A，则P(A)二储藏石油的大陆架面积=40 =0.004. 所有海域的大陆架面积10000答：钻到油层面的概率是0.004.【例】一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：由已知可得，海豚的活动范围在26X16的区域外，所以海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P =P = 1 .次”30 x 20=0.308八、均匀随机

24、数的应用【例】利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线丫= 2x与x轴、x=1围成的部分)面积.思路点拨不规则图形的面积可用随机模拟法计算.【解析】(1)利用计算机产生两组0,1上的随机数,arand( )，brand().(2)进行平移和伸缩变换,a=(ai-0.5)*2,b=bi*2,得到一组0,2上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.(4)计算频率N，则N即为落在阴影部分的概率的近似值.11NN利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率 sP =-4(6)因为N = s，所以S=4N即为阴影部分的面积.1 -1N 4N10 / 39方法技巧根据几何概型计算公式，概率

25、等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一 个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得 到，从而求得不规则图形面积的近似值.课题2：难题一、单选题（共32题；共64分）1.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点，使 APB的最大边是AB发生的概率为3 ,则 黑= （）A.1B.2C.3D.45555【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】解：记在矩形ABCD的边CD上随机取一点，使 APB的最大边是AB为事件M,试验 的全部结果构成的长度即为线段CD,若 APB的最大边是AB发生的概率为3 ,则 3 = 5，设 AD=y, AB

26、=x，则 DE= 1 x, PE= 2 DE= -3- x,则 PC= 1 x+ -3- x=4 x,则 PB2=AB2 时，PC2+BC2=PB2=AB2 ,即（1 x） 2+y2=x2 ,即1625x2+y2=x2则y2=x225则y=3 x, 5即工：X3一 ,5即包 AB3 =,5故选:C.11 / 39【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使 APB的最大边是AB发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率3，从而求出比.实数a G -1,1,b E 0,2).设函数f(%) = -1%3 +工。2 +次的两个极值点为%，现向

27、点(a,b)所在平面 3212区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使1的可行域面积的大小和实数a, b满足aE-1, 1, b0, 2对 应的图形面积的大小. f (x)=-X2+ax+b 的两个零点为 x1 , x2 ,: x11 一在条件实数a-1, 1, b0, 2下画出满足上面不等式的图形如右图中阴影部分.其面积为1, aE-1, 1, b0, 2围成图形的面积为4现向点(a, b)所在平面区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使x11的区域的概率为1故选C.利用计算机在区间(0, 1)上产生两个随机数a和b,则方程 =-2a-：有实根的概率为12 / 39A. 2B. 2C. 6D. 3【答案

28、】D【考点】定积分在求面积中的应用，几何概型【解析】【分析】在平面直角坐标系中画直线x = 1及直线y=1,它们与两坐标轴围成一个正方形，随机 数的坐标（a, b）都在这个正方形内，而满足使上述方程有实根的条件是ba2 ，也就是在正方形内，纵 坐标不大于横坐标的平方的点，这些点落在抛物线y=x2与x轴及直线x=1所围成的图形，用积分可求出 这部分面积为1/3,因此所求概率等于这部分面积除以正方形面积，即为1/3,所以选D。.如图，在菱形ABCD中，AB = 3 , /B4D = 60。，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1,若在该菱 形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为p0 ,则圆周率兀的近

29、似值为（）AAA. 7.74%B. 7.76p0C. 7.79p0D. 7.81p0【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】因为菱形的内角和为360,所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，故由几何概型可知。0=广 , 卡X32X24解得 兀=9为 4.5 X 1.732为=7.791Po.故答案为：C。【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据几何概型的几何意义，该点落在阴影部分的概率为p0 , 等于阴影部分面积与菱形的面积比，由此可以计算圆周率.如图，矩形4BCD中，点A的坐标为（-3,0）.点B的坐标为（1,0）.直线BD的方程为：3% + 4y-3 = 0且四边形BDFE为正方形，若在

30、五边形4BEFD内随机取一点，则该点取自三角形 BCD （阴影部分）的概率等于（）A.62【答案】DA.62【答案】D【考点】几何概型B. $31C.1162D. -63113 / 39即。（一3,3）,【解析】【解答】在3% + 4y-3 = 0中，令 = -3，得y = 3 , 则田叫=,(1 + 3)2 + 32 = 5，所以 SABEFD = 52+2x4x3 = 3l , Sabcd=2x4x3 = 6，由几何 概型的概率公式，得在五边形ABEFD内随机取一点，该点取自三角形BCD （阴影部分）的概率P=j 即。（一3,3）,故答案为：D.【分析】根据题意求出点D的坐标，再由两点间的

31、距离公式代入数值求出结果，结合四边形的面积代入数 值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。.如图，一只蚂蚁在边长分别为3, 4, 5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的 位置的概率为（）A.匕B. I-：C. 1-：D. 1 - 12【答案】D【考点】几何概型 【解析】【解答】由题意，AABC的面积为S1 =：X2X4 = 4，到三个顶点距离都不大于1的位置点形成区域的面积为s2=2兀 所以其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为。=1-邑=1-工.S112故答案为：D.【分析】面积为测度的几何概型，求出总面积，阴影部分的面积，由公式求概率.节日前夕，小李在

32、家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪 亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为X，y，由题意可得0 x4, 0y4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x-y|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，14 / 39由图可知所求的概率为：-2* y2*2 = 4故选C【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y,由题意可得0 x4, 0Wy,

33、要满足条件须|x-y|W2, 作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案.圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A.B.3C.上D.上8冗4冗2冗冗【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长V3 R由题意可得落在区域内的概率 与区域的面积有关，故本题是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积：S=nR2记“向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内为事件A，则构成A的区域的面积1 X V3R X V3Rs讥60 =乳3R224由几何概率的计算公式可得，P（A）=史普=法nR24几故选B【分析】设圆的半径为R，由平面

34、几何的知识容易求得内接正三角形的边长V3 R，且由题意可得是与面 积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求.在正四面体P-ABC体积为V，现内部取一点S，贝U E Vsabc工的概率为（） 3 AdL 2A.左B. 27C. 216D. 27【答案】A【考点】几何概型【解析】【解答】解：作出P在底面 ABC的射影为O,若VS-ABC= 1 VS-ABC ，则高OS= j OP,分别取PA、PB、PC上的点E、F、D，并使 SE=2EA，SF=2FC，SD=2DB，如图并连结EF、FD、DE，则平面EFDII平面ABC.15 / 39当点S在正四面体P-

35、 EFD内部运动时，即此时S在三棱锥Vp ABC的中垂面DEF上，满足VS-ABC 1 Vp-ABC的S在距离ABC为1 OS的平面以上的棱锥内，；的棱台体积为（1/ ）-（1 -卷U ）=主p；由几何概型,满足“工 Vsabc 2 的概率为篝=，32V 216由几何概型,故选A故选A.B【分析】首先确定满足条件的点S的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算 区域D和d的体积；最后计算所求概率10.如图在圆心角为90的扇形中以圆心0为起点作射线OC,则使得10.如图在圆心角为90的扇形中以圆心0为起点作射线OC,则使得N AOC与N BOC都不小于30的概率,是4A.B.

36、 23C.12D.13【答案】 【考点】几何概型【解析】【解答】解：选角度作为几何概型的测度， 则使得N AOC与N BOC都不小于30的概率是p =中间部分的圆心角p =中间部分的圆心角=30 = 1整个扇形的圆心角903 故选D16 / 39【分析】本题利用几何概型求解.经分析知，只须选择角度即可求出使得/ AOC与N BOC都不小于30的 概率，即算出符合条件：“使得N AOC与N BOC都不小于30的的点C所在的位置即可.在区间（0, 3上随机取一个数x,则事件“0Wlog2xW1发生的概率为（）a. 3b. 1c. 3d. 4【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】解：在区间（0,

37、 3上随机取一个数x,则事件“0Wlog2xW1发生的x范围为1, 2,所以 由几何概型的公式得到概率为$=3 ；故选C.【分析】首先求出满足不等式的x范围，然后根据几何概型的公式，利用区间长度比求概率.某人从甲地去乙地共走了 500m,途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为4，则河宽为（）D. 50mA. 80mB. 100mC. 40mD. 50m【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：由已知易得：l从甲地到乙=5001途中涉水一X,故物品遗落在河里的概率P=京=1- 5 = J. x=10

38、0 （m）.故选B.I|【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其 和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解.13.已知O,AfB三地在同一水平面内，A地在0地正东方向2km 处，B地在0地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，。地为一 磁场，在其不超过43km的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）【答案】A得到准确数据的概率是（）【答案】A【考点】几何概型【解析】【解答】如图,当点设在线段PQ上测绘结果不准确，由于。4 = 0B =

39、 2，因此AB = 2夜，由于OP = OQg，所以PQ = 26下=2，因此测绘时得到不准确数据的概率为P = 3 =工，所以测绘 24242时得到准确数据的概率为1 P = 1 4=1 4 ,故答案为：A.【分析】利用直线与圆相交及解三角形求出MN和AB的长，再利用几何概型求出结果即可。17 / 39.欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入,而钱不湿，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（）A. 士B. 士C. :D. 2【答案】C【考点】几

40、何概型【解析】【解答】解：: S正=1，S圆=n . P=；，故选：C.【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大 小，然后代入几何概型计算公式进行求解.一只蚂蚁在三边长分别为3, 4, 5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概 率为（）A. 1 - :B. 1 - 12C. :D.二【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：三角形ABC的面积为；X3X4 = 6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=1X兀 12 =支，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为VP=1 - h=1 -工，故选：B【分析】求出三

41、角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和 是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大 于1的地方的概率.甲、乙两人约定在下午4： 30： 5： 00间在某地相见，且他们在4： 30： 5： 00之间到达的时刻是等 可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相 见的概率是（）a. 4b. 8c. 176d. 12【答案】B【考点】几何概型18 / 39【解析】【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成.以4： 30点钟

42、作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到 达，则样本空间为Q： （x，y）|0 x30，0WyW30,画成图为一正方形.会面的充要条件是|x-y|W20,即事件A=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分，由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P （A） = 3，= 8 ；3029故选B故选B.【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Q： （x, y） |0 x30, 0y30,做出集合对应的面积是边长为30的正方形的面积，写出满足条件的事件对应的集合和面积，根 据面积之比得到概率.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移

43、动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为4，则质点P移动4次后位于点（0, 2）的概率是（）A*B.言C.六D谓【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解：根据题意，质点P移动4次后位于点（0, 2）,其中向上移动3次，向右下移动1次；则其概率为c4ix（ 3）ix（ 1）3= 64,故选：D.【分析】根据题意，分析可得质点P移动4次后位于点（0, 2）,其中向上移动3次，向右下移动1次，进而借助排列、组合知识，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案.已知正方体ABCD - A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上，在球O内任取一点M,则点M在正方体ABCD-A1

44、B1C1D1内的概率是（）A.痣B.虻C. &D.巫4冗2冗3冗3冗【答案】D【考点】几何概型 在球O内任取一点M,则点M【解析】 在球O内任取一点M,则点M2在正方体ABCD 在正方体ABCD - A1B1C1D1内的概率是3，7（舟a）319 / 39故选：D.【分析】设正方体的棱长为a,则外接球的半径为也a,以面积为测度，即可求出在球O内任取一点M,2则点M在正方体ABCD - A1B1c1D1内的概率.19.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为 ()A.1B.1C.1D.12468【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】解：设A=等

45、待的时间不多于10分钟，事件A恰好是打开收音机的时刻位于50, 60时间段内，因此由几何概型的求概率的公式可得p (A) = 60-50 = 1 , 606即“等待报时的时间不超过10分钟的概率为1 ；6故选C【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度 是60,而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10,两值一比即可求出所求.20.甲、乙两人约定在下午4： 30： 5： 00间在某地相见，且他们在4： 30： 5： 00之间到达的时刻是等 可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相 见

46、的概率是()a. 4b. 8c. 16d. 12【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成.以4： 30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到 达，则样本空间为Q： (x, y) |0 x30, 0WyW30,画成图为一正方形.会面的充要条件是|x-y|W20,即事件A=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分，由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P (A) = 302-102 = 8 ；3029故选B.20 / 39【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所

47、有事件对应的集合是Q： （x, y） |0 x4V21 / 39故选D.【分析】首先确定点M的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d 的体积；最后计算所求概率.九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ 其大意：“已知直角 三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？ 现若向此三角形内随机投一粒豆 子，则豆子落在其内切圆外的概率是（IC. 1-M10IIC. 1-M10ID. 1 - M20【答案】D【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为482 + 152 =17, 设内切圆的半径为r,则8-

48、r+15-r=17,解得r=3.内切圆的面积为nr2=9n,豆子落在内切圆外部的概率P=1 - 3 =1-初. 1x8x1520【分析】求出内切圆半径，注意直角三角形内切圆半径等于两直角边和减去斜边的差的一半。计算内切圆 和三角形的面积，从而得出答案.如图，在边长为a的正方形内有图形Q,现向正方形内撒豆子，若撒在图形Q内核正方形内的豆子数分 别为m, n,则图形Q面积的估计值为（）nm【答案】C【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：如图，在边长为a的正方形内有图形Q,则正方形的面积为a2 现向正方形内撒豆子,若撒在图形Q内和正方形内的豆子数分别为m, n,22 / 39则图形Q面积的估计

49、值为：世x。2 = “2 .【分析】根据几何概型由概率反推出面积.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1, 2, 3, 4表示下雨，用5, 6, 7, 8, 9, 0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A.

50、0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15【答案】B【考点】模拟方法估计概率【解析【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393,共5组随机数，所求概率为$ = 0.25 .故选B.【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数 中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果.甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4,现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比 赛甲恰好获胜2局的

51、概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定1, 2, 3, 4表示甲获 胜，用5, 6, 7, 8, 9, 0表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产 生了 30组随机数 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark187 o Current Document 102231146027590763245207 310386350481337286139 HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 579684487370175772235246 487569047008341287114据

52、此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（） HYPERLINK l bookmark191 o Current Document A. 3B. 130C. 2D. 10【答案】B【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随 机数,在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：102, 146, 245, 310, 481, 337, 139, 235, 246,共9组随机数，23 / 39所求概率为30 = -3-.故答案为：B.【分析】由题意可得在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的共有9组随机数

53、，根据模拟方法估计概率可得所求概率为3.1027.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次 命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1, 2, 3, 4表示命中，5, 6, 7, 8,9, 0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机 数：907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730, 113, 537, 989.据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为()A. 0.25B. 0.2C.

54、 0.35D. 0.4【答案】D【考点】随机数的含义与应用【解析】【解答】解：根据题意，因为1, 2, 3, 4表示投篮命中，其它为不中，当三次投篮恰有一次命中时，就是三个数字xyz中只有一个数字在集合1, 2, 3, 4,考查这20组数据，以下8个数据符合题意，按次序分别为：925,458,683,257,027,488,730,537,所以，其概率P (A)=a=0.4,20故选D.【分析】当三次投篮恰有一次命中时，就是三个数字xyz中只有一个数字在集合1, 2, 3, 4,再逐个考 察个数据即可.利用随机模拟方法计算y=X2+1与y=5围成的面积时，先利用计算器产生两组01之间的均匀随机

55、数 a1=RAND, bRAND,然后进行平移与伸缩变换a=4a1 - 2, b=4bj1,实验进行了 1000次，前998次中落 在所求面积区域内的样本点数为624,若最后两次实验产生的01之间的均匀随机数为(0.3, 0.1), (0.9, 0.7),则本次模拟得到的面积的估计值是()IA. 10B. 25C.1248D.12522125125【答案】A【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：由a1=0.3, b1=0.1得a=-0.8, b=1.4,(-0.8, 1.4)落在y=x2+1与y=5围成的区域 内,由 a1=0.9, b1=0.7 得：a=1.6, b=3.8,(1.6,

56、 3.8)落在 y=x2+1 与 y=5 围成的区域外，所以本次模拟得出的面积为16*器=10.故选：A【分析】由题意知本题是模拟方法估计概率，只须计算出总共1000次试验，一共有多少次落在所求面积 区域内，结合几何概型的计算公式即可求得.24 / 39.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ）A 愈心2 3 4 5 6A. -5B. -5C.1D.以上都不对16326【答案】A【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A到3总共有

57、C2=10种走法，每一种走法的概率都是1 ， 52珠子从出口 3出来是螳 （与 二 . 口 216故选A.A 【分析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率 都是1 ,而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案.小华骑车前往30千米远处的风景区游玩，从出发地到目的地，沿途有两家超市，小华骑行5千米也没 遇见一家超市，那么他再骑行5千米，至少能遇见一家超市的概率为（）A 1& 於C.1D. 15【答案】C【考点】几何概型而在后20米遇见【解析】【解答】解：由题意，在25米后，他再骑行5而在后20米遇见5一家超市的概率为4 ,所以在后20米遇不见

58、超市的概率为4X4 =蓝，所以他再骑行5千米，至少能遇见一家超市的概率为：1- 16 = 2 ；252525 / 39故选C.【分析】由题意，在25米后,他再骑行5千米,不能遇见超市的1 ,而在后2。米遇见一家超市的概率 为5，所以在后20米遇不见超市的概率为4X5 = 15，由对立事件概率，得到所求.在-2, 2上随机地取两个实数a, b,则事件“直线x+y=1与圆（x - a） 2+ （y - b） 2=2相交发生的概率 为（）A. 4B.1C. 3D.蓝【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解：根据题意，得% 装2， 又直线x+y=1与圆（x - a） 2+ （y-b） 2=2相交，

59、2 S D S 2dr,即侬wu 1， V2得+b- 1|2,所以-1a+b3； 画出图形，如图所示;则事件直线x+y=1与圆（x - a） 2+ （y-b） 2=2相交发生的概率为阴影 _ 42-1X32-1X1211,正方形一 丁丁 = 16 .故选：D.【分析】根据题意画出不等式组-2S fS 2和昨以0, bt0,所以 a2b.从而数对(a,b)的取值为(0,0),(1,0),(2, 0),(2,1),(3,0),(3,1),(4,0),(4, 1),(4, 2),(5, 0),(5, 1),(5, 2),共 12 组值.所以 P (A) = 12 = 2 . 183(口)据题意，试验

60、的全部结果所构成的区域为D=(a, b)|0a5, 0WbW2,构成事件A的区域为A=(a, b) |0a5, 0b2b.在平面直角坐标系中画出区域A、D,如图，其中区域D为矩形，其面积S (D) =5x2=10,区域A为直角梯形，其面积S (A)=工2 = 6 .2所以p (A)=皿=五=3 .【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，几何概型27 / 39 【解析】【分析】(工)本题是古典概型，首先明确事件的个数，利用公式解答；(口)本问是几何概型 的求法，明确事件对应的区域面积，利用面积比求概率.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停.(1)若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一