均匀分布的和的分布服从正态分布

1、数学应用软件大型实验实验报告实验序号：日期：2012 年 6月20日班级信计 100 班姓名学号201020310216实验名称中心极限定理的理论证明问题背景描述：图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边 ,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想

2、象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.图一：中心极限定律揭示了正态分布的意义：在实际问题中，常常需要考虑许多或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。实验目的：n次试验就是用具体的实验来进行验证大量随机变量的和近似服从正态分布，用100 个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布进行比较，作图来验证中心极限定理。又再 1000 个数来比较两个图来验证中心极限定理。实验原理与数学模型： 实验原理：N，NN越大，近似程度越高。中心定理

3、之一是林德贝格-勒维中心极限定理，它的内容是：设 是一列独立同分布的随机变量，记nS则中心极限定理成立，即=nk 1，1 a ，Var1 2 ，S nannN(0,1)所以由定理的条件知，它也被称为同分布的中心极限定理，同时可知德莫佛-拉普拉斯中心极限定理是它的一种特殊情形。中心极限定理的第二个就是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理是历史上最早得到的中心极限问题的研究成果。它的内容是：设(x为标准正态分布的分布函数，对 x ，有lim P( Snnnpq x) (x)其中q 1 p 。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。正态分（normald

4、istribution又名高斯分（Gaussiann是一个在数学物理及工程等领域都非常重要的概率分布在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为 、标准方差 2的高斯分布记为则其概率密度函数为正态分布的期望值 决定了其位置其标准差 决定了分布的幅度因其曲线呈钟形因此人们又经常称之为钟形曲线我们通常所说的标准正态分布是= = 1的正态分布。正态分布函数表达式y= e-(x-u) /222。均匀分布就是平均分布比如在区间（1,5）可以去任何值，就表示在（1,5） 的取值概率是四分之一，也就是在该区间是均匀分布。数学模型：n别构造独立均匀分布的同分布函数和正态分布函数，将取符合

5、均匀分布的 个数，然后绘制图，观察两者的拟合度。实验所用软件及版本：matlab7.0.1主要内容（要点方法一：一:用均匀分布函数生成随机数；二:利用均匀分布的和的函数命令normpdf画出均匀分布；三:利用均匀分布函数产生的100个数，计算出均值，标准差。四:利用期望值和方差，运用正态分布函数normrnd产生正态分布随机数。五:计算出正态分布产生的100个数的均值还有标准差。六:利用正态分布函数normcdf画出正态分布图。七:在图中比较两幅图的图形，得出结论。方法二：一：用 rand 生成区间（0,1）上均匀分布的 100 个随机数二：用林德贝格-勒维中心极限定理内容，制作文件，列出程序

6、，计算出符合均匀分布和的分布的 100 个数，并画出图形。三：利用 rand 所产生的 100 个数算出均值，标准差。normrnd五:计算出正态分布产生的100个数的期望值还有方差。normcdf方法三：一：利用均匀分布的和的分布和正态分布的分布函数来证明。二：在图中画出两个图，比较他们的拟合程度。实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等：100（0,1）布进行比较来进行验证大量独立随机变量的和近似服从正态分布。方法一：r=unifrnd(0,1,1,100)%产生100r =Columns 1 through 90.51020.71400.51520.60590.96670

7、.82210.31780.58770.1302Columns 10 through 180.25440.80300.66780.01360.56160.45460.90490.28220.0650Columns 19 through 270.47660.98370.92230.56120.65230.77270.10620.00110.5418Columns 28 through 360.00690.45130.19570.78710.61860.01550.89090.76170.9070Columns 37 through 450.75860.38070.33110.50410.56460

8、.76720.77990.48410.8022Columns 46 through 540.47100.20280.57960.66650.67680.94250.77010.73740.8663Columns 55 through 630.99090.50390.62910.79260.44860.52440.17150.13070.2188Columns 64 through 720.10550.14140.45700.78810.28110.22480.90890.00730.5887Columns 73 through 810.54210.65350.31340.23120.41610

9、.29880.67240.93830.3431Columns 82 through 900.56300.11890.16900.27890.55680.48560.95220.23190.4787Columns 91 through 990.52650.79270.19300.90960.92220.01330.76750.94730.8133Column 1000.9238 um=mean(r)%算出均值um =0.5308 sigma=std(r)%算出标准差sigma =0.2867y=normrnd(mu,sigma,1,100)%产生1*100y =Columns 1 through

10、 9-0.15640.75780.32630.56890.54210.48120.18720.20350.3677Columns 10 through 180.13500.17230.89720.49100.12600.46320.15150.08820.4002Columns 19 through 270.74840.51190.66320.14020.34300.39980.12720.09670.7420Columns 28 through 360.47820.29010.70600.54140.19120.85910.55800.89900.8013Columns 37 through

11、 450.27890.10460.45410.38020.23310.61770.90180.31830.2322Columns 46 through 540.40440.66510.23010.13060.44070.45630.61420.30430.4321Columns 55 through 630.35040.45230.91520.30110.08870.60960.21600.48530.2951Columns 64 through 720.62850.63350.4166-0.11400.51300.93170.76700.02190.4525Columns 73 throug

12、h 810.27960.18130.12110.55780.35190.49100.36950.34170.5814Columns 82 through 900.6838Columns 82 through 900.68380.56551.08060.92040.08590.18180.77260.36330.0790Columns 91 through 990.67800.81631.03620.15500.61971.00960.37760.14820.4145Column 1000.6572m,v=normstat(mu,sigma)%计算100个数的均值和标准差m =0.4750v =

13、0.0822x=0:0.01:1;y=normcdf(x,mu,sigam);plot(x,y,-r)%画出正态分布图hold onnormplot(r)%画出均匀分布的和的分布图图一：均匀分布的和的分布线重合度不高。纠正：图二：均匀分布的和的分布图三：正态分结论：由图二和图三可以看出，100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布的图吻合。当n足够大时，服从均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布.方法二：function y=fun(r)s=0;a=0.5;b=sqrt(1/12); for n=1:100s=s+r;y=(s-n*a)./(sqrt(n)*b); en

14、dr=rand(1,100); normplot(r);legend(均匀分布的和的分布)图四：均匀分布的和的分布um=mean(r)%计算出均值um =0.5308 sigma=std(r)%计算出标准差sigma =0.2867y=normrnd(mu,sigma,1,100)%产生1*100阶正态分布的随机矩阵y =Columns 1 through 9-0.15640.75780.32630.56890.54210.48120.18720.20350.3677Columns 10 through 180.13500.17230.89720.49100.12600.46320.15150

15、.08820.4002Columns 19 through 270.74840.51190.66320.14020.34300.39980.12720.09670.7420Columns 28 through 360.47820.29010.70600.54140.19120.85910.55800.89900.8013Columns 37 through 450.27890.10460.45410.38020.23310.61770.90180.31830.2322Columns 46 through 540.40440.66510.23010.13060.44070.45630.61420

16、.30430.4321Columns 55 through 630.35040.45230.91520.30110.08870.60960.21600.48530.2951Columns 64 through 720.62850.63350.4166-0.11400.51300.93170.76700.02190.4525Columns 73 through 810.27960.18130.12110.55780.35190.49100.36950.34170.5814Columns 82 through 900.68381.08060.08590.18180.77260.36330.0790

17、0.56550.9204Columns 91 through 990.67801.03620.61971.00960.37760.14820.41450.81630.1550Column 1000.6572m,v=normstat(mu,sigma)%计算出均值和标准差m =0.4750v =0.0822x=0:0.01:1;y=normcdf(x,mu,sigam);plot(x,y,-r)%画出正态分布的图图五：正态分布总结：由图四和图五可以看出，100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布的图吻合。当n足够大时，均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布。方法三：利用

18、均匀分布的和的分布和正态分布的密度函数来证明r=unifrnd(0,1,1,100)；%生成100个符合均匀分布的和的分布M=100；mu=100*0.5;sigma=sqrt(100/12);s=sum(r); mu=mean(r);%求随机数的平均值sigma=std(r);%求均方差n,x =hist (r,mu-5*sigma:sigma:mu+5*sigma); bar(x,n/M/sigma, r);%绘制直方图hold on;h=mu-5*sigma:0.1*sigma:mu+5*sigma; %取100个点t=exp(-(h-mu).2/2/sigma2)/sqrt(2*pi)

19、/sigma;%标准正态分布表达式plot(h,t,k)%绘制数值曲线图六：均匀分布的和的分布与正态分布总结：从图中可以看出，100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布的图吻合。当n足够大时，均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布.问题二：1000比较来进行验证大量独立随机变量的和近似服从正态分布。方法：r=unifrnd(0,1,1,1000);%1000mu=mean(r)%计算出均值mu =0.4967sigma=std(r)%计算出标准差sigma =0.2883y=normrnd(mu,sigma,1,1000);0.2883y=normrnd(mu,sigma,1,1000);1*1000阵mu=mean(y)%计算出均值mu =0.4837sigma=std(y)%计算出标准差sigma =0.2833x=0:0.001:1;z=normcdf(x,mu,sigma);plot(x,z,-r)；%画出正态分布的图legend(正态分布）normplot(r);legend(均匀分布和的分布)10.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30