计量方法与误差理论CH5-误差部分课件

1、第五章 测试数据处理一个简单的数学问题:由、代入：第五章 测试数据处理一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）电容最可信赖的值是多少？求标准米尺的温度膨胀系数：一个实例为确定、，需要进行2组测量！ 实际为提高测量精度，往往增加测量组数n，利用抵偿性减小随机误差的影响。根据任意2个方程求得的解代入其它方程不能完全满足。 希望找到一组最佳的解，使 与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理解为误差最小的解。这就是最小二乘法的出发点！第1节 最小二乘法的数据处理 一、最小二乘法的基本原理测量方程： xi为待求解的参数, yi为直接测量量的估计值，nm等精度测量的最小二乘原理：最小 不等精度测量的最

2、小二乘原理：最小最小二乘原理 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。最小二乘原理第1节 最小二乘法的数据处理 二、最小二乘法的基本运算1、等精度线性函数运算误差方程：m个参数n个方程（nm）待求解参数第1节 最小二乘法的数据处理 最小二乘法要求：利用微分求极值：n个方程转化成m个新的方程，“正规方程组”解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解第1节 最小二乘法的数据处理 先看：第1节 最小二乘法的数据处理 将以上各式相加：高斯符号，对应列相加列号第1节 最小二乘法的数据处理 对第r个方程：第1节 最小二乘法的数据处理 即：第1节 最小二乘法的数据处理 第1节

3、最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 按矩阵形式解算，则有第1节 最小二乘法的数据处理 2、不等精度线性函数运算原理：测量值 li 的方差第1节 最小二乘法的数据处理 矩阵解：第1节 最小二乘法的数据处理 如果在不等精度误差方程的两端同乘以第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 最终的近似线性方程组：再按等精度、不等精度方式处理第1节 最小二乘法的数据处理 4、最小二乘原理与算数平均值的关系第1节 最小二乘法的数据处理 正规方程为：第1节 最

4、小二乘法的数据处理 三、最小二乘法的精度估计第1节 最小二乘法的数据处理 1、测量数据的精度估计第1节 最小二乘法的数据处理 2、最小二乘法估计量的精度第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 由于：第1节 最小二乘法的数据处理 注：若为非等精度，单位权标准差为：（需要对上式进行化简，使结论更明确）第1节 最小二乘法的数据处理 由于：需要将左边矩阵乘积展开：第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 第1节 最小二乘法的数据处理 对于将其系数h展开，并注意到：适当的合并同类项后得：第1节 最小二乘法的数据处理 结论：（等精度测量）第1节 最小二乘法的数据处理

5、对于非等精度测量： 结论： 通过直接测量待测参数的组合量（一般是等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量及精度估计。四、最小二乘法的组合测量第1节 最小二乘法的数据处理 以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离 。ABCDABCD第1节 最小二乘法的数据处理 直接测量各组合量，得首先列出误差方程由此可得：第1节 最小二乘法的数据处理 则第1节 最小二乘法的数据处理 式中， 现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入误差方程中，第1节 最小二乘法的数据处理 那么，测量数据 的标准差为第1节 最小二乘法的数据处理 已知：第1节 最小二乘法的数据处理 第1节

6、最小二乘法的数据处理 则最小二乘估计量 的标准差为第1节 最小二乘法的数据处理 思考：两个电容器，分别测量其电容（串、并联），得如下结果电容最可信赖的值及精度是多少？第2节 回归分析 最小二乘法： 如何寻求待测量的最佳估计值及精度。回归分析： 寻找两个或多个变量之间的内在关系。第2节 回归分析 一、回归分析的基本概念变量之间既存在密切的关系，又不能精确求解，要通过试验和调查研究确定它们之间的关系。(数理统计中称为回归分析regression analysis ) 可以用明确的函数关系式精确地表示出来。函数关系：函数与相关相关关系:(确定性关系)(非确定性关系)第2节 回归分析 测量数据确定经验

7、公式（回归方程） 的形式回归分析思路 确定参数参数估计，最小二乘法 可信度检验对回归方程的可信赖度进 行统计检验 因素分析确定影响变量的主要因素、 次要因素一个回归分析的例子 例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：温度19.125.030.136.040.046.550.0电阻76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散点图：202530354045507678828084从散点图可以看出： 电阻与温度大致成线性关系。设测量数据有如下结构形式：思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出和 的估计值。根据测量数据，可以得到7个测量方程，未知数有两个，而方程个数

8、大于未知数的个数，适合于用最小二乘法求解。设得到的回归方程对照最小二乘法的矩阵形式，令相当于矩阵A相当于矩阵L设测得值yt的精度相等，则有回归方程： 问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律？回归直线的预报精度如何？第2节 回归分析 二、一元线性回归分析 确定两个变量之间的线性关系，工程或科研中常用的“直线拟合”问题。1、回归方程的求解方法图解法平均值法最小二乘法第2节 回归分析 a、图解法 测量点均匀分布在“回归直线”两侧，回归参数从图中量取后计算。第2节 回归分析 第2节 回归分析 b、平均值法将n对测量数据分成两组，代入回归方程其中k = n/2 (n为偶数)第2节 回归分析 第2

9、节 回归分析 第2节 回归分析 c、最小二乘法使各实验点与回归直线的偏差的平方和最小。误差函数：第2节 回归分析 假设y为等精度测量，则 （矩阵B为待估计量）第2节 回归分析 第2节 回归分析 代入回归方程得：将说明回归直线通过点第2节 回归分析 利用代数法第2节 回归分析 回归成线性是否合理？显著性检验问题回归的是否准确？回归精度问题两个问题：解决方法：方差分析法第2节 回归分析 2、回归方程的方差分析（精度分析）令：x离差平方和y离差平方和x、y离差积之和第2节 回归分析 y的离差ii第2节 回归分析 (1) 引起观测值y发生差异（变差）的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素（试

10、验误差）的影响。(2) 方差分析总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）第2节 回归分析 由于：可以证明：所以：第2节 回归分析 其中：第2节 回归分析 U回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。Q残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。S、U、Q的自由度：第2节 回归分析 回归方程的精度：残余方差 (Q残余平方和，N-2为自由度)残余标准差： 衡量所有随机因素对y的一次性观测的平均变差的大小，值越小，回归直线精度越高， 可作为回归方程的精度参数。第2节 回归分析 3、回归方程的显著性检验 从回归平方和U与残差平方和Q的意义可知：

11、检验公式效果的好坏，取决于U与Q的大小，或者说U/Q的大小，U越大或Q越小，经验公式精度越高。第2节 回归分析 显著性检验方法相关系数、F统计量 (线性关系的显著性检验)第2节 回归分析 第2节 回归分析 例：是否为线性关系？（99%的可能）第2节 回归分析 高度显著不显著在0.1水平显著在0.05水平显著(回归方程的显著性检验)第2节 回归分析 （1）重复试验回归直线的求法 设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进行拟合。（2）方差分析4、重复试验情况第2节 回归分析 第2节 回归分析 （3）失拟检验（一元回归方程拟合的好）（若误差显著，重做回归方

12、程） 第2节 回归分析 1）重复试验的回归分析对了解测量误差来源和提高测量精度是有益的。 2）方程拟合得好的真正含义应该是失拟平方和相对误差平方和不显著。但如果没有条件做重复试验，只能用残余平方和对回归平方和进行F检验，也大致说明回归效果的好坏，习惯上也称为拟合得好与坏（不严格）。总结：第2节 回归分析 三、一元非线性回归分析3、 求解未知参数。 可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法求解； 可化曲线回归为多项式回归。1、 确定函数类型。求解思路： 2、 对经验公式进行检验。 第2节 回归分析 1、确定经验公式的类型(1) 直接判断法。专业知识、实际经验或其他资料(2) 作图观察法。与典型曲线比

13、较，确定其属于何 种类型。2、经验公式类型的检验 (1) 直线检验法(只含1-2个未知参量时) (2) 表差法 第2节 回归分析 a、直线检验法 直线检验法适合：第2节 回归分析 作图发现：（X , Y）各试验点较好地处于一条直线上。第2节 回归分析 b、表差法（适用于多项式回归） 用试验数据画图 确定定差 ，列出xi,yi各对应值 根据x,y的读出值作出差值 ，看其是否与确定方程式的标准相符，若一致，则说明原选定的曲线类型是合适的。第2节 回归分析 第2节 回归分析 第2节 回归分析 第2节 回归分析 第2节 回归分析 第2节 回归分析 例：观测数据可否表示成 思考：能否用直线检验法？ 第2节 回归分析 3、参数求取化曲线为直线回归问题 可用直线检验法或表差法检验的曲线，其回归方程都可以通过变量代换转换为直线回归方程（或多项式形式），然后用一元线性回归方法（或最小二乘法）求解。思考：如何求解拟合参数？ 第2节 回归分析 讨论：回归曲线的效果与精度相关系数：注意：2越接近1，则表示所配曲线的效果越好。标准差：作为根据回归方程预报值的精度指标。四、多元线性（非线性）回归分析第2节 回归分析 （可利用最小二乘法求解）非线性回归通过变