弹塑性力学定理和公式（word22）

1、应力应变关关系 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学1.htm#性模量 l 性模量 弹弹性模量量 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学1.htm#虎克定律 l 虎克定律 广义义虎克定定律1.弹性模模量 对对于应力力分量与与应变分分量成线线性关系系的各向向同性弹弹性体,常用的的弹性常常数包括括: aa 弹弹性模量量 单向向拉伸或或压缩时时正应力力与线应应变之比比,即 bb 切切变模量量 切应应力与相相应的切切应变之之比,即即 cc 体体积弹性性模量 三向平平均应力力与体积应变变(=x+y+

2、z)之比比,即 dd 泊泊松比单单向正应应力引起起的横向向线应变变1的绝对对值与轴轴向线应应变的的绝对值值之比,即 此此外还有有拉梅常常数。对对于各向向同性材材料，这这五个常常数中只只有两个个是独立立的。常常用弹性性常数之之间的关关系见 HYPERLINK javascript:openwindow1() 表表3-11 弹性性常数间间的关系系。室温温下弹性性常数的的典型值值见 HYPERLINK javascript:openwindow2() 表33-2 弹性常常数的典典型值。2.广义虎虎克定律律 线线弹性材材料在复复杂应力力状态下下的应力力应变关关系称为为广义虎虎克定律律。它是是由实验验确

3、定，通通常称为为物性方方程，反反映弹性性体变形形的物理理本质。 AA 各各向同性性材料的的广义虎虎克定律律表达式式（见 HYPERLINK javascript:openwindow3() 表33-3 广义胡胡克定律律表达式式） 对于于圆柱坐坐标和球球坐标，表表中三向向应力公公式中的的x 、yy、z分分别用rr、zz和r、代代替。对对于平面面极坐标标，表中中平面应应力和平平面应变变公式中中的x、yy、z用用r、z代代替。 BB 用用偏量形形式和体体积弹性性定律表表示的广广义虎克克定律 应应力和应应变张量量分解为为球张量量和偏张张量两部部分时，虎虎克定律律可写成成更简单单的形式式，即 体积弹弹性

4、定律律 应力偏偏量与应应变偏量量关系式式在直角坐标标中，ii,j=x,yy,z；在圆柱柱坐标中中，i,j=rr,z,在在球坐标标中i,j=rr,。弹性力学基本方程及其解法 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#学基本方程 l 学基本方程 弹性力学基本方程 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#边界条件 l 边界条件 边界条件 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#按位移求解的弹性力学基本方法 l 按位移

5、求解的弹性力学基本方法 按位移求解的弹性力学基本方法 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#应力求解的弹性力学基本方程 l 应力求解的弹性力学基本方程 按应力求解的弹性力学基本方程 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#平面问题的基本方程 l 平面问题的基本方程 平面问题的基本方程 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#基本方程的解法 l 基本方程的解法 基本方程的解法 | HYPERLINK /M

6、achineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学2.htm#二维和三维问题常用的应力、位移公式 l 二维和三维问题常用的应力、位移公式 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程式（2-1-22），或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程式（2-1-29），或简写为 (3)6个物性方程式（3-5）或式（3-6），简写为或2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。

7、弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题 在边界S表面上作用的表面力分量为Fx、Fy、Fz.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为式中，lnj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题 在边界Sx上给定的几何边界条件为式中，U*i为表面上给定的位移分量。 这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。 c 混合问题 部分边界上给定力，部分边界上给定位移。3.按位移求解的弹性力学基本方法 按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量，利用几何

8、方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移表示的平衡方程： 求解时位移分量在物体内部满足式（3-14），在位移边界Su上满足式（3-13），在应力边界S上满足式（3-12），但式中的应力分量应利用应力-应变关系和应变-位移关系变换为位移的形式。求出位移分量后，再利用几何方程和物性方程，求出应变和应力分量。4.按应力求解的弹性力学基本方程 按应力求解时，以6个应力分量为基本未知量。它们必须满足平衡方程，同时还要满足以应力表示的协调方程，即式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成为按应力求解弹性问题的基本方程组。按应力求解弹性问题，就是寻求满足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），

9、以及边界条件式（3-12）的解。5.平面问题的基本方程 弹性力学平面问题，包括平面应力和平面应变问题两类。通常利用应力函数将弹性力学平面问题简化为解双调和方程的边值问题。平面问题基本方程的直角坐标和极坐标表达式见 HYPERLINK javascript:openwindow4() 表 HYPERLINK javascript:openwindow4() 3-4 平面问题的基本方程。表中除物性方程外，对于其他方程，平面应力和平面应变问题中的形式是相同的。比较一下这两类问题的基本方程后可知，只要将平面应力问题的解中的弹性常数E、v改为E/（1-V2）、V/（1-V）后，就得到对应的平面应变问题的

10、解。因此，对于截面形状和边界条件相同的物体，平面应力问题与平面应变问题中的应力分布（x、y、xy、z除外）是相同的。6.基本方程的解法 15个弹性力学基本方程简化为以位移表示的3个平衡方程式（3-14）或以应力表示的6个协调方程式（3-15）。求解上述方程时，类似在平面问题中应用艾雷应力函数所用的方法，常引用应力函数或位移函数，以消去应力分量或位移分量，求解以应力函数表示的协调方程，或以位移函数表示的平衡方程。 HYPERLINK javascript:openwindow5() 表3-5 帕普科维奇-诺埃伯谢函数和勒夫谢函数 列出用帕普科维奇-诺埃伯函数和勒夫函数表示的无体积力时平衡方程的齐

11、次解。勒夫函数常用于求解轴对称问题。7.二维和三维问题常用的应力、位移公式（见 HYPERLINK javascript:openwindow6() 表3-6 二维和三维问题常用的应力、位移公式）能量原理 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#1.应变能、应变余能与应变能定理 l 1.应变能、应变余能与应变能定理 应变能能、应变变余能与与应变能能定理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#2.虚位移定理 l 2.虚位移定理 虚位移移定理 | HYPERLINK /Ma

12、chineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#3.最小势能原理 l 3.最小势能原理 最小势势能原理理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#4.虚力原理 l 4.虚力原理 虚力力原理| HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#5.最小余能原理 l 5.最小余能原理 最最小余能能原理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#6.卡氏定理 l 6.卡氏定理 卡氏定定理 | HYPE

13、RLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#7.互等定理 l 7.互等定理 互互等定理理 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学3.htm#8.李兹法 l 8.李兹法 李兹兹法 直直接求解解弹性力力学基本本方程在在数学上上存在困困难，只只有一些些比较简简单的问问题已求求得精确确解。而而能量法法把求解解问题的的过程转转变为一一种极值值问题，它它比直接接求解偏偏微分方方程边值值问题能能更方便便地得到到近似解解。因此此能量原原理是目目前广泛泛应用的的近似计计算方法法的基础础。1.应变能能、应变变余能

14、与与应变能能定理 aa 应变变能 单单位体积积的应变变能称为为应变能能密度，以以W表示示。W为为应变分分量iij的函函数，WW可用脚脚标形式式表示为为对于线弹性性体，其其值为线弹性体的的总应变变能为对各向同性性材料，利利用虎克克定律，应应变能密密度可用用单一的的应力分分量或应应变分量量表示为为 bb 应变变余能 单位位体积的的应变余余能W*为应力力分量ij的的函数，WW*（ij）定定义为对线弹性体体， cc 用应应变能和和应变余余能表示示力与应应变的关关系 应变变能密度度函数WW（iij），表表示因弹弹性变形形而储存存于单位位体积内内的弹性性势能。应应力与应应变之间间的关系系，通过过弹性势势函

15、数WW表示为为如果把应变变分量表表示为应应力分量量的函数数时，则则存在如如下关系系式，即即对线弹性体体，W*=W，式式（3-34）变变为 dd 应变变能定理理 如果果弹性体体在变形形过程中中无能量量耗损，则则弹性体体内的应应变能在在数值上上等于外外力在变变形过程程中所作作的功，即即式中，A为为外力所所作的功功，包括括体积力力和面力力所作的的功。2.虚位移移定理 弹弹性体在在外力作作用下处处于平衡衡状态时时，体内内各点如如果发生生一虚位位移uui(所所谓虚位位移，是是指几何何约束容容许的任任意、微微小的位位移，也也就是指指符合物物体的连连续条件件和位移移边界条条件的可可能位移移)，则则外力对对虚

16、位移移所作的的功（虚虚功），等等于虚位位移所引引起的弹弹性体的的虚应变变能，即即式中，虚功功A包包括体积积力fii和面力力pi在在虚位移移uii上所作作的功，即即因虚位移而而引起的的虚应变变能为 式（33-377）称为为虚功原原理或虚虚位移原原理。虚虚位移原原理等价价于平衡衡条件。如如结构上上的外力力在虚位位移上所所作的虚虚功等于于结构的的应变能能，则结结构必处处于平衡衡状态。在在虚位移移原理推推导过程程中并未未应用虎虎克定律律，虚位位移原理理也适用用于非弹弹性体。3.最小势势能原理理 如如果外力力可由一一个势函函数V导导出，外外力势VV=-AA,则V=-A.由式（33-377），得得变分方方

17、程式中, 称称为系统统的总势势能，是是位移的的函数。式式（3-38）表表明：弹弹性体处处于平衡衡状态时时，其内内力和外外力的总总势能取取驻值。可可以证明明，线弹弹性体处处于平衡衡状态时时，其总总势能取取最小值值。因此此，式（33-388）称为为最小势势能原理理。也就就是说，在在所有几几何容许许位移中中，满足足势能驻驻值条件件=0的位位移解，使使总势能能取最最小值。在在应用中中，可根根据势能能驻值条条件去求求解弹性性力学问问题。 在分析析结构稳稳定问题题时，在在平衡状状态（=00），总总势能可能取取极大值值（220，稳稳定平衡衡）。4.虚力原原理 如如对变形形协调的的弹性体体施加某某种虚力力（即

18、平平衡条件件所容许许的，任任意微小小的力的的改变，包包括虚应应力ij和和虚面力力pII）,则则虚外力力在真实实位移上上的虚余余功AA*等于于虚应变变余能，即即式中（3-40）称称虚力原原理或余余能原理理，它和和以位移移为变量量的虚位位移原理理相对应应。式中中虚力原理将将给出协协调条件件，如对对弹性体体施加某某种虚力力，当外外虚余功功等于虚虚应变余余能时，弹弹性体必必满足变变形协调调条件。5.最小余余能原理理 令令式中，*称为系系统的总总余能。由由式（445-40）得得变分方方程式（3-442）表表明，在在满足平平衡方程程和静力力边界条条件的所所有应力力中，能能适合几几何边界界条件并并能产生生协

19、调应应变场的的正确解解，使余余能取胜胜驻值。可可以证明明，在线线弹性小小就形情情况下，在在平衡条条件容许许的所有有应力中中，使余余能取驻驻值的应应力，就就是使余余能为最最小值的的应力，也也就是线线弹性小小变形问问题的正正确应力力解。因因此，式式（3-42）称称为最小小余能原原理。6.卡氏定定理 当当物体的的表面力力为集中中力时，虚虚力原理理的余能能驻值表表达式可可写为式中，Qii-广广义力 qi-广义义位移 由由上式得得对于线弹性性系统，*=，U*=U，式式（3-43）变变为对于线弹性性系统，卡卡氏定理理表述为为：系统统的应变变能对任任一集中中的偏导导数，等等于力作作用点以以力方向向的位移移。

20、7.互等定定理 设设弹性体体有两种种平衡状状态。第第一种平平衡状态态为面力力pi,体积积力fii和相相应的位位移uii(ii=x,y,zz);第第二种状状态为面面力pii体积积力fii和相相应的位位移uii。互互等定理理表述为为：第一一组外力力在第二二组外力力引起的的位移上上所作的的功，等等于第二二组外力力在第一一组外力力引起的的位移上上所作的的功，即即 互互等定理理应用于于梁的问问题时，得得影响系系数对称称性关系系。设载载荷为横横向力pp，挠度度为y，式式（3-45）写写成如果梁上只只在x11，x22,，xxn处作作用有集集中力pp1,pp2, ，ppn。把把在xjj处作用用单位集集中引起起

21、的在xxI处的的挠度记记为aiij,aaij称称为影响响系数，由由互等定定理得8.李兹法法 李李兹法是是基于变变位移的的最小势势能原理理的直接接近似求求解方法法。 根根据问题题的几何何边界条条件，假假设的一一组位移移解中含含有待定定参数aaj、bbj、ccj。由由最小势势能原理理，在所所有假定定的几何何容许的的位移函函数中，真真实的位位移使总总势取驻驻值。因因此可取取如下一一系列位位移函数数的近似似解，即即式中，ajj、bjj、cjj为待定定参数；uxjj(x，yy，z)、uyyj(xx，y，zz)、uuz（xx，y，zz）为满满足位移移边界条条件的位位移函数数。 由由势能驻驻值条件件，令得到

22、3n个个线性方方程组，解解出ajj、bjj、cjj后，代代入式（33-477），就就得到问问题的位位移解。一一般只要要位移数数选择得得当，只只须取有有限几个个待定参参数，就就可得到到足够精精确的位位移解。李兹法也可可以基于于最小余余能原理理的余能能驻值条条件，直直接求得得近似应应力解。 HYPERLINK javascript:openwindow7() 表3-7 弹弹性基础础梁的近近似解与与精确解解的比较较热应力 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学4.htm#1.热弹性方程 l 1.热弹性方程 热热弹性方方程 | HYPERLINK /M

23、achineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学4.htm#2.热传导方程与温度场 l 2.热传导方程与温度场 热热传导方方程与温温度场 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学4.htm#3.热应力问题的应用 l 3.热应力问题的应用 热应力力问题的的应用 物物体加热热或冷却却时，体体内各部部分因温温度变化化而伸缩缩，如果果受到约约束就产产生热应应力。一一种约束束是由于于物体表表面的边边界条件件产生的的。例如如，不同同形状的的物体均均匀升高高温度TT时产生生的热应应力为棒状物体，两两端固定定 =-ET 平板物体， 周边固固定

24、 =-ETT/(11-v)块状物体，外外表面固固定 =-ETT/(11-2vv)式中，为为线膨胀胀系数，负负号表示示压应力力。 如如果热应应力超过过弹性极极限而产产生塑性性应变p，冷冷却后将将产生残残余应力力R。如如p小小于弹性性应变e时，残残余应力力R=p/E引起物体热热应力的的另一种种约束为为物体内内部存在在不均匀匀温度场场，物体体各部分分因伸缩缩受阴而而产生热热应力。热热弹性问问题主要要是指这这一类问问题1.热弹性性方程 热热弹性方方程与常常温下弹弹性力学学基本方方程不同同之处在在于物性性方程，其其他平衡衡方程和和几何方方程不变变。对于于各向同同性均质质材料，单单元体变变温时各各方向膨膨

25、胀相同同，只发发生线应应变而无无切应变变，因此此只有三三个正应应力线应应变之间间的关系系变为或 按位位移求解解的热弹弹性方程程见 HYPERLINK javascript:openwindow8() 表 HYPERLINK javascript:openwindow8() 3-88 按位位移求解解的热弹弹性基本本方程。2.热传导导方程与与温度场场 在在热弹性性问题中中，物体体内应力力的分布布，取决决于不同同瞬时物物体内温温度的分分布，即即温度场场，而温温度场则则是根据据物体的的初始温温度分布布，以及及物体与与环境之之间的热热交换条条件，求求解热传传导方程程而得到到。 A 热热传导方方程 对对于

26、均质质各向同同性材料料，如材材料的热热学性能能与温度度无关时时，热传传导方程程为式中, kk=/cp为为热扩散散率 为热志志率 cc为比热热容 pp为密度度 WW为单位位时间内内单位体体积热源源的发热热量由热传导定定律，热热流密度度的大小小与温度度梯度成成正比，而而方向相相反，即即其中的比例例常数，即即为热导导率。 室温时时常用材材料的热热常数,见 HYPERLINK javascript:openwindow9() 表33-9 热常数数(200时)。 B 温温度场 温度场场一般为为位置和和时间的的函数，即即温度分布与与时间无无关的温温度场称称为定常常温度场场。物体体内无热热源时，常常温度场场

27、的微分分方程简简化为拉拉普拉斯斯方程在温度场的的初始条条件和边边界条件件中，一一种情况况是给定定物体表表面的温温度分布布函数TT=F（xx,y,z,tt）。另另一种情情况是给给定物体体温度和和周围环环境介质质温度，以以及两者者之间的的热交换换规律。例例如物体体冷却时时，传向向周围介介质的热热流密度度为式中，h为为传热系系数；TTB为物物体表面面温度；TA为为环境介介质温度度。3.热应力力问题的的应用 A 任任意形状状薄平板板（图33-2） 设温度度沿板厚厚方向变变化，即即T=TT(z)。图3-2 任意意形状平平板 (1)无外力力约束情情况下的的热应力力为 (2)板板边固定定情况下下的热应应力为

28、 BB 矩形形薄平板板 情情况（11）（图图3-33） 板板外部无无约束，温温度沿xx和z方方向不变变，即TT=T（yy）。平平板的热热应力为为图3-3 矩形形板 情况（11） 情情况（22）（图图3-44）平板板外部无无约束。在在x=00的y轴轴上温度度为T11，离开开y轴时时温度急急忧剧下下降。板板中最低低温度为为T0。温温度沿yy、z方方向不变变，这时时最大拉应力力在o、pp处，即即x=Ea（TT1-TT0）OP中点处处的最大大压应力力，为y=-Ea（T11-T00）。图3-4 矩形形板 情况（22） CC 半无无限体中中有线热热源 （图图3-55） 设设半无限限体表面面（oyyz面）的

29、的温度为为零。线线热源MMNooz，与与表面的的距离为为a。单单位长度度的线热热源，单单位时间间内发出出的热量量为H。这这时半无无限体的的热应力力为式中-物体体的热导导率图3-5 半无无限体中中的线热热源 DD 半无无限体表表面上有有点热源源（图33-6） 设单位位时间内内点热源源o发出出的热量量为Q。表表面其他他地方完完全绝热热，则物物体的温温度分布布为物体内的热热应力为为图3-6 半半无限体体表面上上的点热热源塑性力学基基本方程程 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学5.htm#1.屈服条件 l 1.屈服条件 屈屈服条件件 | HYPER

30、LINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学5.htm#2.塑性应力应变关系 l 2.塑性应力应变关系 塑性性应力应应变关系系 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学5.htm#3.滑移线场理论 l 3.滑移线场理论 滑移移线场理理论 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学5.htm#4.极限分析定理 l 4.极限分析定理 极极限分析析定理1.屈服条条件 对对于处于于单向拉拉伸（或或压缩）的的物体，当当应力达达到屈服服极限时时，材料料开始进进入塑性性状态

31、，对对于处于于复杂应应力状态态的物体体，由弹弹性状态态过渡到到塑性状状态的临临界条件件称为屈屈服条件件。在应应力空间间将初始始屈服的的应力点点连成的的弹性和和塑性的的分界面面称为屈屈服面。描描述屈服服面的数数学表达达式称为为屈服函函数。常常用的各各向同性性金属材材料的屈屈服试验验表明，屈屈服应力力数据点点介于屈屈雷斯卡卡（T ressca）屈屈服条件件和密赛赛斯（MMisees）屈屈服条件件之间，而而更接近近于密赛赛斯屈服服条件。 AA 屈雷斯斯卡屈服服条件（最最大切应应力条件件） 屈屈雷斯卡卡屈服条条件为：当最大大切应力力达到某某一极限限值时，材材料开始始进入塑塑性状态态，即 在在主应力力空

32、间，当当差值1-2、2-3、3-1中任任一个达达到2kk时，材材料进入入塑料性性状态。因因此用屈屈雷斯卡卡条件表表示的屈屈服面为为由下列列六个平平面组成成的正六六边形柱柱体（图图3-77a），即即 材材料常数数k由实实验确定定。在拉拉伸试验验时，1=2kk=ss，即kk=ss/2。在在纯剪切切试验时时，11-3=2kk=2s，即kk=ss。如果果屈雷斯斯卡条件件成立，必必有ss=1/2ss图3-7 屈服服面 BB 密密赛斯屈屈服条件件 密赛赛斯条件件为：:当切应应力强度度I等于剪剪切屈服服极限s时，材材料开始始屈服；或者当当应力强强度II等于拉拉伸屈服服极限s时，材材料开始始屈服，即即或式中，

33、j2为应力力偏量第第二不变变量对于密赛斯斯条件，s=s。密赛赛斯条件件与屈雷雷斯卡条条件的最最大差别别不超过过15%。 在在主应力力空间，密密赛斯屈屈服面为为一外接接于屈雷雷斯卡屈屈服面的的圆柱面面。在平平面应力力状态，设设s0，则则在11、2应力平平面上，密密赛斯条条件为一一椭圆，屈屈雷斯卡卡条件为为内接六六边形（图图3-77b）。 CC 后后继屈服服函数（加加载函数数）已产产生塑性性变形的的材料，继继续塑性性变形的的条件，称称为后继继屈服条条件。在在主应力力空间满满足后继继屈服条条件的应应力点所所连成的的曲面，称称为后继继屈服面面（加载载面）。对对于理想想塑性材材料，后后继屈服服面即为为初

34、始屈屈服面；对于强强化材料料，后继继屈服面面随塑性性变形的的历史而而变化。描描述后继继屈服面面的函数数，称为为后继屈屈服函数数或加载载函数，一一般可写写成式中，H为为应变历历史和材材料性质质的函数数。在应应力空间间，加载载面随HH的变化化而改变变其形状状、大小小和位置置。目前前应用较较多的两两种简单单的强化化模型为为等向强强化模型型和随动动强化模模型。图图3-88表示按按照屈雷雷斯卡屈屈服条件件在面面（11+ 2+ 3=0的的面）上上的屈服服曲线和和加载曲曲线。图3-8 屈服服曲线和和加载曲曲线等向强化模模型的加加载函数数表示为为式中，H为为决定于于塑性应应变历史史的单调调递增正正函数。加加载

35、面是是初始屈屈服面等等向扩大大，屈服服面中心心位置不不变。这这种模型型不考虑虑材料的的包辛格格效应。随动强化模模型的加加载函数数表示为为式中，iij表示示初始屈屈服面中中心在应应力空间间的残茶茶剩饭量量。加载载面的大大小，形形状保持持不变。2.塑性应应力应变变关系 塑塑性应力力应变关关系有增增量（流流动）理理论和全全量（形形变）理理论两种种类型。 AA 增增量理论论 材材料在塑塑性变形形时，应应力与应应变之间间一般不不存在一一一对应应的关系系。增量量理论假假设在塑塑性流动动的任一一瞬时，塑塑性应变变增量矢矢量与加加载面正正交，即即对理想塑性性材料，f。若若取f为为密赛斯斯屈服函函数时，上上式变

36、为为对于刚塑性性材料，式式（3-70）写写成完全全表达式式为式中，式（3-771）称称为列维维- 密密赛斯（llevyy-Miisess）关系系式。若考虑弹性性变形，则则对密赛赛斯理想想塑性材材料有式中，塑性性功增量量式（3-773）称称为普朗朗特-劳劳埃斯(praandttl-RReusss)关关系式。对于具有密密赛斯等等向强化化加载面面的强化化材料，增增量理论论公式中中的比例例因子dd为与与材料强强化性质质有关的的非负标标量，当当加载时时式中H为为强化函函数H对对其自变变量的导导数。 BB 全全量理论论 全全量理论论用应力力和应变变的瞬时时值表示示的塑性性应力应应变关系系，是塑塑性应力力应

37、变增增量关系系沿加载载途径的的积分形形式。当当满足小小变形及及简单加加载（应应力分量量成比例例增长）条条件，应应力强度度ai和应变变强度i之间间存在单单一的函函数关系系。这时时全量理理论表达达为式中，应变变强度3.滑移线线场理论论 滑滑移线场场理论，是是基于塑塑性材料料在屈服服流动时时，沿最最大切应应力方向向，成为为塑性变变形区内内的特征征性质。据据此来对对整个变变形区进进行应力力分布的的数值分分析。 此此处所讨讨论的滑滑移线场场理论，只只限于各各向同性性的理想想刚塑性性材料的的平面应应变问题题，并假假设屈服服条件与与静水压压力无关关。 AA 应应力方程程不滑移移线场的的几何性性质 (1) 应

38、力力方程 在塑性性变形区区内，连连接最大大切应变变方向的的线，称称为滑移移线。两两族正交交的滑移移线组成成的网络络，称为为滑移线线场。这这两簇曲曲线，分分别称为为簇和和簇。从从线到到逆时时针转动动时，最最大主应应力方向向在线线和线线之间。从从x轴到到线的的逆时针针转角用用表示示（图33-9）。、的的曲线方方程为图3-9 、线和应应力图由于主切应应力面上上的切应应力k=s，如果果正应力力(=xx+y/2)和角角已知时时，滑移移线场内内任一点点的应力力仅取决决于、的变化化，即由单元体平平衡条件件，应力力沿滑移移线变化化规律为为式（3-880）称称为汉基基（Heenckky）应应力方程程 (2) 滑

39、滑移线场场的几何何性质 1. 沿线性性质 由应力力方程,沿同一一滑移线线移动时时,和和的变变换成正正比,即即在直线段上上,和和都是是常量。 2. 跨线性性质 （图图3-110）位位于两根根同簇滑滑移线之之间的另另一簇滑滑线段上上，的的变化相相等，即即相应地，的变化化也相等等，即图3-100 跨跨线性质质 BB 速度方方程和速速端曲线线 在刚刚塑性体体平面应应变问题题中，沿沿滑移线线上的线线应变为为零。因因此将任任一点处处的质点点速度沿沿线和和线分分解为vv和v（图33-111），得得到速度度沿线变变化规律律为图3-111 速速度的分分解式（3-884）称称为盖林林格（GGeirringger）

40、速速度方程程。 可可以把速速度方程程改写成成差分方方程，求求出节点点速度，建建立速度度场。也也可以用用作图法法作速度度图（速速度矢端端曲线）来来表示速速度分布布。由于于沿滑移移线上线线应变为为零，同同一滑线线相邻两两点的相相对速度度必与该该滑移线线线元正正交。因因此滑移移线上各各点的速速度矢端端曲线与与该滑移移线线元元正交。图图3-112中代代表P11点的速速度平面面上的映映象即为为速度图图。图3-122 速速度场和和速端曲曲线(a)物理理平面 (bb)速端端曲线4.极限分分析定理理 在在设计中中把加载载的极限限状态作作为设计计准则的的分析方方法，称称为极限限分析。理理想刚塑塑性结构构的极限限

41、载荷，是是指载荷荷增加到到某一数数值时，结结构达到到极限状状态，这这时即使使载荷不不再增加加，塑性性变形继继续发展展。由于于求解弹弹塑性结结构极限限状态对对应的极极限载荷荷比较复复杂，因因此需要要寻求一一种计算算极限载载荷的近近似方法法，即利利用极限限分析上上下限定定理，来来估计极极限载荷荷的近似似值范围围。在分分析中，把把材料假假定为理理想刚塑塑性体。 刚刚塑性材材料平面面应变问问题的真真实解，在在应力方方面体内内应满足足平衡方方程、屈屈服条件件和应力力边界条条件，在在几何方方面应满满足体积积不变条条件和速速度边界界条件，并并使外力力对速度度场作正正功率。在在实际问问题中，要要同时满满足全部

42、部条件是是困难的的。如果果只满足足应力方方面的条条件，这这时所得得到的应应力场称称称为静静力许可可应力场场。根据据这个应应力场求求得的载载荷为真真实极限限载荷的的下限。如如果只满满足应变变和位移移条件所所求得的的速度场场，称为为运动许许可速度度场，由由此求得得的载荷荷为真实实极限载载荷的上上限。如如果上下下载荷相相等，所所求得的的载荷，即即为真实实的极限限载荷。 AA 下下限定理理 由任任何静力力许可应应力场所所求得的的载荷，恒恒小于或或等于极极限载荷荷。在塑塑性状态态下，物物体发生生一微小小变形速速度vii时，在在非作用用力表面面Sv上上，任一一静力许许可应力力场所引引起的表表面力TTi所所

43、作的功功率，恒恒小于或或等于极极限载荷荷表面力力Ti所所作的功功率，即即 B 上限定定理 任一与与运动许许可速度度场相对对应的载载荷，恒恒大小或或等于极极限载荷荷。在塑塑性状态态下，任任一运动动许可速速度场上上所作的的功率，恒恒大于或或等于极极限载荷荷表面力力，在真真实应变变速度场场上所作作的功率率，即式中，V*I-任任一运动动许可速速度场 kk-剪剪切屈服服应力 S*DD-速速度不连连续面 V*-SS*D面上速速度不连连续量 *ij和*ij由V*i导出的的应力和和应变速速度率 如如果塑性性机构按按刚性块块在速度度不连续续面上相相互移动动，则上上式左边边第一项项为零，在在许多实实际问题题中，力

44、力的边界界条件，这时式（33-866）简化化为粘弹性 HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学6.htm#1.粘弹性模型与本构关系 l 1.粘弹性模型与本构关系 粘粘弹性模模型与本本构关系系 | HYPERLINK /MachineBase/BasicData/弹塑性力学/弹塑性力学6.htm#2.三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理 l 2.三维性粘弹性理论的基本方程与对应原理 三维性性粘弹性性理论的的基本方方程与对对应原理理 弹弹性理论论和塑性性理论中中的应力力应变关关系，都都不考虑虑时间和和速率的的影响。近近代某些些工程材材料，在在一定条条

45、件下，显显示出与与时间有有关的性性质。例例如，金金属、陶陶瓷和高高聚合物物在较高高温度下下发生蠕蠕变，即即在不就就应力下下应变随随时间绶绶慢增加加的现象象。在定定应变下下，应力力随时间间绶慢衰衰减的现现象，称称为松弛弛。具有有明显时时间效应应的本构构关系的的物体，称称为粘弹弹性理论论。1.粘弹性性模型与与本构关关系 AA 基基本元件件 粘粘弹性体体的力学学模型，可可看作具具有理想想弹性元元件（弹弹簧，用用S表示示）的组组合体。在简单拉伸伸情况下下，理想想弹性元元件（图图3-114a）的的应力应应变关系系为=E而理想粘性性元件（图图3-114b）的的应力应应变率关关系为图3-144 弹弹簧阻尼尼

46、器式中,-粘性性系数 BB 马马克思威威尔体 由SS和D串串联的粘粘弹性模模型称为为马克思思威尔体体（图33-155a）。用用字母MM或S-D表示示，其本本构方程程为式中，p11、q11为材料料常数，pp1/E，qq1。方程程的解含含有时间间t在定应力下下应变随随时间的的变化规规律，即即蠕变特特性为变形随时间间t线性性（图33-155b），表表现出流流体粘性性性质。在定应变0下的的松弛特特性（图图3-115c）为为图3-155 马马克思威威尔体(a) 粘粘弹性模模型 (b) 蠕变变曲线 (cc) 松松弛曲线线 CC 开开尔文体体 （图图3-116a）为为S和DD并联组组成的粘粘弹性模模型。用用字母KK或S/D表示示。开尔尔文体的的本构方方程为图3-166 开开尔文体体(a) 粘粘弹性模模型 (b) 蠕变变曲线 (cc) 松松弛曲线线式中 q00=E q1=开尔文体在在定应力力0下下蠕变特特性（图图3-116b）为为式中 =q1/q0在定应变o的松松弛特性性（图33-166c）为为=q00+ q10(t)其中，（tt）为狄狄拉克函函数，即即当t0时，（t）0；tt0时时，（tt）+ DD 多元元件模型型的本构构方程 实实际材料料的粘弹弹性特性性与上述述两