2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

1、1010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.（5分）设z二弟，则z的共轭复数为（）D.1-3iA.-1+3iB.-1-D.1-3i2.(5分)设集合M=xlx2-3x-4V0,N=xl0 xbcB.bcaC.cbaD.cab（5分）若向量&、b满足：丨曰=1,（已+b）丄（5分）若向量&、b满足：丨曰=1,（已+b）丄；3,（2已+b）4.)5.（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种6（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为片、

2、F2，离心率为甲，过F2的直线1交6（5分）已知椭圆C：)C.22ri=1两点，若AF1B的周长为4方，则C)C.22ri=1TOC o 1-5 h z（5分）曲线y=xex-在点（1,1）处切线的斜率等于（）A.2eB.eC.2D.1（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A.B.16nC.9nD. HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 44（5分）已知双曲线C的离心率为2,焦点为片、F2，点A在C上，若lFAl=2lF2Al，则csZAF2F1=（）A.丄B.C.D.243T3（5分）等比数列a

3、n中，a4=2,a5=5，则数列1gan的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.311.（5分）已知二面角a-1-B为60,ABua,AB丄1,A为垂足，CDu,Cg1,ZACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）_A.B.辽C.仝D.丄42Z212.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=O对称，则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）（5分）（上-2）勺展开式中x2y2的系数为.（用数字作答）yVz-y0（5分）设x、y满足约束条件+233，则z=

4、x+4y的最大值为x-2yl15.（5分）直线11和12是圆x2+y2=2的两条切线，若11与12的交点为（1,3）,则11与12的夹角的正切值等于16.（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（晋，号）是减函数，则a16.三、解答题（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA气，求B.（12分）等差数列an的前n项和为Sn.已知a1=10，a2为整数，且Sn0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且IQFI=|pQI.求C的方程；过F的直线1与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线1与C相交于M、N两点，且A

5、、M、B、N四点在同一圆上，求1的方程.(12分)函数f(x)=1n(x+1)(a1).x+a讨论f(x)的单调性；设a1=1,an+1=1n(an+1),证明：an2014年全国统一高考数学试卷（理科）大纲版）1-3i考占n八、1-3i考占n八、专题分析解答复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念.数系的扩充和复数.直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求.解十罟禺10+30i10=l+3i，参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.（5分）设z二弟，则z的共轭复数为（）A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.TOC o 1-5 h z-3i.故选：D.点评：

6、本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.2.(5分)设集合M=xlx2-3x-4V0,N=xl0 x5，则McN=()(-1,0A.(0，4B.0，4)C.-1，(-1,0考点：交集及其运算.专题：集合.分析：求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解.解答：解：由x2-3x-4V0,得-1VxV4.*.M=xlx2-3x-40=xl-1x4，又N=xl0 x5，AMnN=xl-1x4nxl0 xabA.abcB.bcaC.D.cab考点：正切函数的单调性.专题：三角函数的求值.刀析：可得b=sin35，易得ba,c=tan35=sin35,综合可得.cos

7、35解答：解：由诱导公式可得b=cos55=cos（90-35）=sin35,由正弦函数的单调性可知ba,而c=tan35而c=tan35=cos35sin35=b,.*.cba故选：C点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题4.（5分）若向量已、b满足：丨曰=1,（已+b）丄已（2已+b）丄1）,贝yibl=（）考占n八、专题考占n八、专题分析解答:6.（5分）已知椭圆C：七+=1（ab0）的左、两点，若AF1B的周长为4方，则C的方程为（A.22B.共21+=1+y2=12右焦点为片、F2，离心率为，过F2的直线1交C于A、B）C.2+=1128D.2+

8、知平面向量数量积的运算.平面向量及应用.由条件利用两个向量垂直的性质，可得（已+b）*a=0,（2+b）b=0,由此求得ibl.解：由题意可得，（已+b）日=且+/*b=1+且b=0,.且*b=-1；”Q”Q（2占+b）b=2且b+=-2+=0，:b2=2,则币丨=.迈,故选：B.点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题.5.（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种考点：排列、组合及简单计数问题；排列、组合的实际应用.专题：排列组合.分析：根据题意

9、，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.解答：解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15x5=75种；故选C.点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同.考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程._分析：利用AF1B的周长为4方，求出a=；W，根据离心率为丰，可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.0解答:解:AF1B的周长为4迓,解答:4a=4l3,.离心率为导,c=1,.b=：l2

10、-2,22椭圆C的方程为+备=1.故选：A.点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.7.(5分)曲线y=xex在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1考点：导数的几何意义.专题：导数的概念及应用.分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.解答：解：函数的导数为f(x)=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1，当x=1时，f(1)=2，即曲线y=xex在点(1,1)处切线的斜率k=F(1)=2，故选：C.点评：本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础.8.(5分)正四棱锥的顶点都在

11、同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.3L兀B.16nC.9nD.貯兀44考占n考占n八、专题分析:解答:计算题；空间位置关系与距离.正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O,求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积.解：设球的半径为R,则棱锥的高为4,底面边长为2,.r2=(4-R)2+(T2)2,球的表面积为4n中2=罟点评:故选：A.点评:故选：A.本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题.TOC o 1-5 h z9.(5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为片、F2，点A在C上，若IFAI=2IF2AI，则c

12、osZAF2F1=()A.B.C.D.243考双曲线的简单性质.占.八、专圆锥曲线的定义、性质与方程.题：分根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论.析：解解：双曲线C的离心率为2,答:e=答:e=卫二2，即卩c=2a,a点A在双曲线上，则IFAI-IF2AI=2a,又IFAI=2IF2AI,解得IFAI=4a,IF2AI=2a,IIFF2I=2c,则由余弦定理得2X2aX2c2X2aX2cF-3界4a，-3/a2_1TOC o 1-5 h z2且c：4a24a2故选：A.点本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力.评：10.

13、（5分）等比数列an中，a4=2,a5=5，则数列lgan的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.3考点：等比数列的性质；对数的运算性质.专题：等差数列与等比数列.分析：由等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a4a5=10,由对数的运算性质，整体代入计算可得.解答：解：等比数列an中a4=2,a5=5,a4a5=2x5=10,数列lgan的前8项和S=lga1+lga2+lga8=lg（a1a2.a8）=lg（a4a5）4=4lg（a4a5）=4lg10=4故选：C点评：本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题.TOC o 1-5 h z11.（5分）已知二面角a-1-B为60,AB

14、ua,AB丄1,A为垂足，CDu,CG1,ZACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）_A.B.立C.仝D.丄4222考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案.解答：解：如图，过A点做AE丄l,使BE丄B，垂足为E,过点A做AFCD,过点E做EF丄AE,连接BF,TAB丄1,.ZBAE=60,又ZACD=135,.ZEAF=45,_在RtABEA中，设AE=a，贝VA2a,BE=13a,在RtAAEF中，则EF=a,AF=T2a,在RtABEF中，则BF=2a,异面直线

15、AB与CD所成的角即是ZBAF,.小AB2+AF2-BF2(2a)2+2-(2a)2忑.cosZBAF=丄一2AB-AF2X2aX72a4点评：本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想想能力和作图能力，属于难题.12.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=O对称，则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)考点：反函数.专题：函数的性质及应用.分析：设P(x,y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点Pz(y,x)点在y=

16、f(x)的图象上，Pz(y,x)关于直线x+y=0的对称点P(-x,-y)在y=g(x)图象上，代入解析式变形可得.解答：解：设P(x,y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点Pz(y,x)点在y=f(x)的图象上，又T函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，.P/(y,x)关于直线x+y=0的对称点P(-x,-y)在y=g(x)图象上，必有-y=g(-x),即y=-g(-x).y=f(x)的反函数为：y=-g(-x)故选：D点评：本题考查反函数的性质和对称性，属中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.(5分)上-丄)勺展开

17、式中x2y2的系数为70.(用数字作答)yyVx考点：二项式定理.专题：二项式定理.分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幕指数都等于2,求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数.解答：88-rr解：（応十）的展开式的通项公式为Tr+1=C訂（-1）r七）（十）=匚訂（一1）8-生r令8-4=2，求得r=4，22故展开式中x2y2的系数为Cg70，故答案为：70.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数,属于中档题.-y014.（5分）设x、y满足约束条件+233，则z=x+4y的最大值为5x-2y0解：由约束条件x+2y0

18、解：由约束条件x+2y3作出可行域如图,化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得y=联立，解得C（1，1）.s+2y=3由图可知，当直线尸-片片!过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大.此时Zmax=1+4X1=5-故答案为：5.点评:本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.点评:15.（5分）直线11和12是圆x2+y2=2的两条切线，若11与12的交点为（1,3），则11与12的夹角的正切值等于考点：两直线的夹角与到角问题.专题分析：直线与圆.设11与12的夹角为20,由于11与12的交点A（1,3）在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得sin0=-UjHj

19、的值，可得COS0、tan0的值，再根据tan20=，计算求得结果.1-tan9解答：解：设11与12的夹角为20,由于11与12的交点A(1,3)在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=T10,圆的半径为U辽,亠cr逅sin0OAV10a2-2tancsin1cos0,tanu,V10cosS2._2tan14.tan20,1-tan91-34故答案为：亏.点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，冋角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题.16.（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（晋，今）是减函数，则a的取值范围是.2考占n八、专题

20、分析：复合三角函数的单调性.函数的性质及应用；三角函数的图像与性质.利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令tsinx换兀，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.解答：解：由f（x）cos2x+asinx-2sin2x+asinx+1,令tsinx,则原函数化为y-2t2+at+1.VxG（書，号）时f（x）为减函数，则y-2t2+at+1在tG（丄，1）上为减函数，2Ty-2t2+at+1的图象开口向卜，且对称轴方程为t4，解得：a2.42a的取值范围是（-B,2.故答案为：（-B,2.点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换兀法，关键是由换

21、兀后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题.三、解答题17.（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA冷，求B.考占n八、考占n八、专题分析解答:点评:由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tann-(A+B)=-tan(A+B)即可得出.解：3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,3tanA=2tanC,TtanA=3,32tanC=3x丄=1，解得tanC1.32=-1，伽Btan

22、n-(A+C)-皿(A+B)=-i噹朮=-1，VB6(0，n),B纠B4本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.18.(12分)等差数列an的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数，且Sn0,a50,10+4d0,解得d=-3,即可写出通项公式;利用裂项相消法求数列和即可.解：(I)由a=10,a?为整数，且Sn0,a50,10+4d0，解得-d,45d=-3,:and=-3,:an的通项公式为an=13-3n.(II)Tb厶-丄、n(13-3口)(10-3门)310_3n13_3nTn=b1

23、+b2+bn(丄-丄+.+n12n1),10-3n13-3n310-3n1010(10-3n)本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题.19.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上,ZACB=90,BC=1,AC=CC1=2. HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 证明：AC丄A1B；_设直线AA1与平面BCC1B1的距离为二，求二面角A1-AB-C的大小.考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法.专题：空间位置关系与距离.

24、分析：(I)由已知数据结合三垂线定理可得；(II)作辅助线可证ZAFD为二面角A-AB-C的平面角，解三角形由反三角函数可得.解答：解：(I)TAiD丄平面ABC,A1Du平面AA1C1C,平面AA1C1C丄平面ABC,又BC丄ACABC丄平面AA1C1C，连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC丄A1C,由三垂线定理可得AC丄A1B；(II)TBC丄平面AA1C1C,BCu平面BCCB,A平面AA1C1C丄平面BCC1B1,作A1EICC,E为垂足，可得A1E丄平面BCC1B1,又直线AA平面BCC1B,_AAE为直线AA与平面BCCB的距离，即AE3,VAC为ZACC的平分线，AiD=

25、AiE=.S,作DF丄AB,F为垂足，连结AF,由三垂线定理可得AF丄AB,Z.ZAFD为二面角A-AB-C的平面角，由AD=.也出2_也D?=l可知D为AC中点，面角A-AB-C的大小为arctan15点评：本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题.20(2分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立求同一工作日至少3人需使用设备的概率；X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式.专题：概率与统计.分析：记Ai表示事件：

26、同一工作日乙丙需要使用设备，i=0,1,2,B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(I)P(D)=P(止严也迈)，代入计算即可，(II)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可.解答：解：记A表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0,1,2,B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备D=AC+A2E+也g冠C，P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C：XO.护，i=0,1,2所以P(D)=P(出B0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点

27、为Q,且IQFI=|pQI.求C的方程；考占n八、专题分析:过F的直线1与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线1与C相交于M、N两点，且A、M考占n八、专题分析:直线与圆锥曲线的综合问题.圆锥曲线中的最值与范围问题.(I)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|W|PQ|求得p的值，可得C的方程.(II)设l的方程为x=my+1(mH0),代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|ABI.把直线l的方程线l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AEI=IB

28、EI=IMN|,求得m的值，可得直线l的方程.解答：解：(I)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px(p0),可得x0=卫，.点P(0,4),IPQI=.PP又IQFI=x0+Z卫+卫,IQFI=IPQI,02p24卫+*=gx,求得p=2,或p=-2(舍去).P24p故C的方程为y2=4x.(II)由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为x=my+1(mH0),代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,.y1+y2=4m,y1y2=-4.AAB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长IABI刃朋+必-y2l=4(m2+1).又直线1的斜率为-m,：直线1的方程

29、为x=-丄y+2m2+3.IT过F的直线1与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线1与C相交于M、N两点，44把线1的方程代入抛物线方程可得y2+y4(2m2+3)_0,.y3+y4,y3y4-4(2m2+3).34342-2Ii-4(m2+l)故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3,),AIMNIkly3-y4I_汁,ID叩Vit/m.MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于IAEI_IBEI_IMNI,2A+DE2_3mn2,44A4(m2+1)2+_，化简可得m2-1=0,mIDZIDAm_1A直线1的方程为x-y-1=0,或x-+y-1=0.点评：本题主要考查求抛物线的标准方程