经典《极坐标与参数方程》综合测试题

1、极坐标与参数方程综合测试题1.在极坐标系中，已知曲线C：p=2cose，将曲线C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C,又已知直线丨过点p(1,0)，倾斜角为兀，且直线丨与曲线q交于a，b两点.31(1)求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线;(2)求2.2.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(彷为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.求圆C的极坐标方程；直线丨的极坐标方程是2psin(0+)=3，射线0M：0=与圆C的交点为0、P,与直线丨的交点为Q,求线段PQ的长.3.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：p2=4p(cosO+sin

2、。)-6.若以极点0为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(I)求圆C的参数方程；(口)在直角坐标系中，点P(x,y)是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标.4.若以直角坐标系xOy的0为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是p=sin2e将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；3若直线丨的参数方程为(t为参数)，P3,0，当直线I与曲线C,2丿相交于A,B相交于A,B两点，求AB2PA-PB5在平面直角坐标系xOy中，以原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系,曲线q极坐标系,曲线q的参数方程为x二3c

3、osy二2sin(为参数)，曲线C2的极坐标方程为Pcos9-VsPsinB-5=0.求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；设P为曲线q上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标.在极坐标系中，曲线C的方程为p2=，点R(2，).(I)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(口)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值.已知平面直角坐标系中，曲线q的参数方程为(彷为参数)，(y=-l+3sin$以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

4、系，曲线C2的极坐标方程为p=2cos8.(I)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；(口)若直线0=(pR)与曲线C1交于P,Q两点，求|PQ|的长度.8在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线丨的极坐标方程为pcos0-psin0=2,曲线C的极坐标方程为psin20=2pcos0(p0).设t为参数，若x=-2+t，求直线I的参数方程；已知直线丨与曲线C交于P、Q，设M(-2,-4)，且|PQ|2=|MP|MQ|,求实数p的值.在极坐标系中，射线I：0=与圆C：p=2交于点A,椭圆的方程为6p2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建

5、立平面直角坐标系xOy(I)求点A的直角坐标和椭圆的参数方程；(口)若E为椭圆的下顶点，F为椭圆上任意一点，求的取值范围.已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为(彷为参数)，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为P=-求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程；在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线I的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.11.已知曲线C11.已知曲线C的参数方程为s=2t-ly=-4t-2(t为参数),以原点0为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为求曲线C2的直角坐标系方程；设M是曲线

6、C上的点，M2是曲线c2上的点，求|MM2|的最小值.12.设点A为曲线C：p=2cose在极轴Ox上方的一点，且owew，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，求曲线C的参数方程；以A为直角顶点，A0为一条直角边作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方)，求B点轨迹的极坐标方程.在平面直角坐标系xOy中，曲线q：（*为参数，实数a0）,尸且mi门Q曲线C2：（*为参数，实数b0）.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：0=a（p0，OWaW）与q交于0、A两点，与C2交于0、B两点.当a=0时，|0A|=1；当a=时，|0B|=2.（I）求a，b的值；（口）求

7、2|OA|2+|0A|0B|的最大值.在平面直角坐标系中，曲线q：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系.（I）求C2的极坐标方程；（口）设曲线C3的极坐标方程为psin（-0）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值.已知半圆C的参数方程为，a为参数，ae-,.y=l+sina（I）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程;（口）在（I）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标.16已知曲线q的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立

8、极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.（I）把的参数方程化为极坐标方程；（口）求C与C2交点的极坐标（p0,OW0V2n）3232极坐标与参数方程综合测试题答案一.解答题（共16小题）在极坐标系中，已知曲线C：p=2cose，将曲线C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为3,且直线丨与曲线q交于A,B两点.32323232（1）求曲线q的直角坐标方程，并说明它是什么曲线;（2（2）求,，+32323232【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：X2+y2-2x=0即（x-1）2+y2=1.曲线q的直角坐标方

9、程为=1，曲线C表示焦点坐标为（-,0）,（，0），长轴长为4的椭圆（2（2）将直线丨的参数方程代入曲线C的方程=1中，得13t2+4t12=0.32323232设A、B两点对应的参数分别为，t2,在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（彷为参数），以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线丨的极坐标方程是2psin（0+）=3，射线0M：0=与圆C的交点为0、P,与直线丨的交点为Q,求线段PQ的长.【解答】解:（I）利用cos2+sin2=1,把圆C的参数方程为参数）化为（x-1）2+y2=1,p2-2pcos0=O，即卩p=2cos0.（II）设（II

10、）设（px，0丿为点P的极坐标，由，解得P2（sin日2+0).设t为参数，若x=_2+t，求直线I的参数方程；已知直线丨与曲线C交于P、Q,设M(-2，_4)，且|PQ|2=|MP|MQ|,求实数p的值.【解答】解：(1)直线丨的极坐标方程为pcos0_psin0=2，化为直角坐标方程：x_y_2=0.Vx=_2+t，y=x_2=_4+t，直线l的参数方程为：(t为参数).(2)曲线C的极坐标方程为psin20=2pcos0(p0)，即为p2sin20=2ppcos0(p0)，可得直角坐标方程：y2=2px.把直线I的参数方程代入可得：t2_(8+2p)t+8p+32=0.t1+t2=(8+

11、2p)，t1t2=8p+32.不妨设|MP|=t,|MQ|=t2.|PQ|=|t1_t2|=.t|pq|2=|mp|mq|，8p2+32p=8p+32,化为：p2+3p_4=0,解得p=1.p2=在极坐标系中，射线I：0=与圆C：p=2交于点A,椭圆p2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（I）求点A的直角坐标和椭圆的参数方程；（口）若E为椭圆的下顶点，F为椭圆上任意一点，求血的取值范围.【解答】解：（I）射线I：0=与圆C：p=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆的方程为p2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（0为参数）（口）设F（cos0，sin0）

12、，VE（0，-1），=（-，-2），=（cos0-，sin0-1），：=-3cos0+3-2（sin0-1）=sin（0+a）+5，的取值范围是5-,5+.已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（彷为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为P=-（1）求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线I的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（彷为参数），普通方程为（X-1）2+（y-1）2=4，直线l的极坐标方程为p=，直角坐标方程为x-y-4=0；

13、（2）点P到直线l的距离d=，-=2kn-，即彷=2kn-（kZ），距离的最小值为2-2，点P的直角坐标（1+，1-）.已知曲线的参数方程为卩-班-1任为参数），以原点o为极点，以x轴1|,y=-4t-2的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线c2上的点，求丨MM2|的最小值.【解答】解：（I）由可得P=x-2，：p2=（x-2）2，即y2=4（x-1）；（口）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0.曲线q的直角坐标方程为2x+y+4=0.VM1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，|

14、M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.设M2（r2-1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d=.|m1m2|的最小值为设点A为曲线C：p=2cos0在极轴Ox上方的一点，且0W8W，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B轨迹的极坐标方程.【解答】（1）x,1+cos（0。兀，为参数）y，sin2（2）：设A（p0，00），且满足po=2cos0o，B（p，0），依题意，即代入po=2cos0o并整理得,所以点B的轨迹方程为p二

15、2在平面直角坐标系xOy中，曲线q：（*为参数,实数a0）,曲线C2：（彷为参数，实数b0）.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：0=a（p0,OWaW）与q交于0、A两点，与C2交于0、B两点.当a=0时，|0A|=1；当a=时，|0B|=2.（I）求a，b的值；（口）求2|OA|2+|0A|0B|的最大值.【解答】解：（I）由曲线q：（*为参数，实数a0），化为普通方程为（x-a）2+y2=a2，展开为:x2+y2-2ax=0，其极坐标方程为p2=2apcos0，即p=2acos0，由题意可得当0=0时，|0A|=p=1，a=曲线C2：（*为参数，实数b0），化为普通方程

16、为X2+（y-b）2=b2，展开可得极坐标方程为p=2bsin0，由题意可得当时，|0B|=p=2，b=1.（口）由（I）可得q，C2的方程分别为p=cos0，p=2sin0.210A12+|0A|10B|=2cos20+2sin0cos0=sin20+cos20+1=+1，*20+U，:+1的最大值为+1，当20+=时，0=时取到最大值.在平面直角坐标系中，曲线q：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求。2的极坐标方程；（口）设曲线c3的极坐标方程为psin（0）=1,且曲线C3与曲线C2相交于6P,Q两点，求|PQ|的值.【解答】解

17、：（I）c2的参数方程为（a为参数），普通方程为（乂-1）2+y2=1,AC2的极坐标方程为p=2cos0；（口）C2是以（1,0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为psin（-0）=1,直角坐标方程为x-y-2=0,圆心到直线的距离d=,.|PQ|=2=.已知半圆C的参数方程为，a为参数，ae-,.（I）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（口）在（I）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标.【解答】解：（I）由半圆C的参数方程为，a为参数,ae-,则圆的普通方程为X2+（y-1）2=1（0WxW1）,由x=pcos0,y=psin0,x2+y2=p2,可得半圆C的极坐标方程为p=2sin0,0,；（口）由题意可得半圆C的直径为2,设半圆的直径为0A,则sinZTAO=,由于ZTAOe0,则ZTAO=,由于ZTAO=ZTOX,所以ZTOX=,T点的极坐标为（T点的极坐标为（).16.已知曲线q的参数方程为沪肝阮肮任为参数），以坐标原点为极点，x轴的y=5