(完整版)随机过程习题

1、随机过程复习一、回答：1、 什么是宽平稳随机过程？2、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、 什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程+，其中 是常数，A、B 是相互独Xt) Acost Bsint 的数学期望和自相关函数？=E = 2( )X tA2B2是否平稳？其中 分Xt) At )别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。1aa；f ) 0 f a( )Aea 022( )X t Acos() A、 t 00是常数， 为0,2 内均匀分布的随机变量。自相关函数及功率谱表示的Xt)( ) ( )cos( )Y t X t

2、的自相关t0 为0,2 内均匀分布的随机变量， 是与( )X t相互独立的随机过程。5、设随机过程 ( )X t Acos( ，其中 是常数， 与 t Y t A Y),00是相互独立的随机变量， 服从区间上的均匀分布， 服从瑞利AY )分布，其概率密度为xx2ex 02f(x)2A0 x0试证明为宽平稳过程。Xt)解：（1）m (t) EA t Y) E()Ecos( t Y)X00 xx22e dx cos( t y)dy 0 与 无关22t2000（2） (t) X (t) A t Y) E(A )cos t Y) E(A )222222X001t xx2e dxt3E(A)，e dt2

3、222222200ttt2 | e 2 e | 202022222 20所以（3）( ) ( ) 2 t E X2 tX( , ) cos() cos( t Y)t Y AR t t E AX120 10 2 cos(t Y)cos(0 1t Y)0 2 E A E2121 t t y) cos t t ) dy20 10 20210只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 cos (t t )( )X t20216、 设随机过程， 为常数， 服从区间Xt) RtC t)CR上的均匀分布。（1）求（2）求的一维概率密度和一维分布函数；Xt)Xt)的均值函数、相关函数和协方差函数。（1）（2），则

4、 为密度函数；ft)F(x) x f (t)dt1为Xt) (a,b)上的均匀分布，概率密度函数,a xb，f(x) b a分布函数xax a a bb a)2，D(x)；F(x),a xb E(x) xbba2e ,x 0，分布函（3）参数为 的指数分布，概率密度函数 xf(x) x0数 1 e ,x 0，11 x，D(x)；F(x)E(x)02x（ 4 ）的 正 态 分 布 ， 概 率 密 度 函 数E(x) ,D(x) 21(x)2，分布函数f(x)F(x)e, x2 21(t)2，若时，其为标准正态分布。 1xx edt,2 2【解答】（1）因 为上的均匀分布， 为常数，故 亦为均匀分

5、布。由R CXt)的取值范围可知， 为RXt) C,CtxC1 度,C x C t x C，一维分布函数；f(x),C X CtF(x) ttxCt（2）根据相关定义，均值函数t；Cm t) EXt) 2X相关函数1C；R (s,t) X(s)Xt) st (st)C232X协方差函数st（当 时为方差B (s,t) X(s)m (s)Xt)m t)st12XXX函数）试求数学期望解：因为X是标准正态分布的随机变量。Xt) X cos2t,t(,),，方差D(X )，相关函数R (t ,t )C (t ,t )。( )E XttX12X12，X(t) X cos2t,t(,),X N(0,1)

6、,E(X) 0,D(X) E(X ) 12（1）所以( ) ( cos2 ) cos2 ( ) 0,E X E X t E Xtt（2）D(X ) D(X cost) cos 2tD(X) cos 2t,22t（2）R (t ,t ) EX(t )X(t ) EX costX costcos t,2X1212（2）C (t ,t ) R (t ,t )E(t )E(t ) R (t ,t ) cos 2t.2X12x1212x12（2） ( 和 ( ( )= sin( tt t Bt tt t At + )， ( )= sin( + + ), 其中为实常数， 均R匀分布于0，2，试求st( ,

7、 ) 1 2解： ,02f其它 0, 12 R s,t E st Asin s Bsin t 20 ts 2 1 2AB costs cosd401 ts , s,t ABcos2 t At tA,9、随机过程 ( )= cos( + =0，依题意 N(t)是参数为的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为： 1P N0 e1 e2 22 1 （2）在开门半小时中无顾客到来可表示为，在未来半小0N 2 1 时仍无顾客到来可表示为，从而所求概率为：1 N0N 2 112 P N(1)N0| N0 2 112 P N(1)N0| NN 0 0 2 12 12 P N(1)N0

8、ee2 3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人2人与每分钟3 人的泊松过程。（1） 试求到某时刻 时到达商场的总人数的分布；t（2） 在已知 时刻以有50 30位妇t女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设分别为（0, ）时段内到达商场的男顾客数、女tN(t),N (t),N (t)21顾客数及总人数。（1） 由已知，N (t)为强度的泊松过程，N (t)为强度的泊 3 21122松过程；故，为强度 的泊松过程；于是，5Nt)12t)k（5分）P(Nt)k)e5tkk!P(N t)Nt)（2）P(N t) Nt)2P(Nt)2P(N t)P(N t) t) e /(2t) e / 3t 2t21P(Nt)