八年级数学（上册）《轴对称图形》经典例题含解析

1、.第2章 轴对称图形一、选择题1下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是轴对称图形的是ABCD2一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案是ABCD3已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为A11B16C17D16或174如图,在ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则B的度数为A30B36C40D455如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于A10B7C5D46如图,ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BEAC,AF

2、BC,则下面结论错误的是ABF=EFBDE=EFCEFC=45DBEF=CBE7如图,在第1个A1BC中,B=30,A1B=CB；在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个A2A3E,按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是An75Bn165Cn175Dn858如图,在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDEACE120,点P与点M分别是线段BE和AD的中点,则CPM是A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形9如图是P1、P2、P10十个点在圆上的位

3、置图,且此十点将圆周分成十等分今小玉连接P1P2、P1P10、P9P10、P5P6、P6P7,判断小玉再连接下列哪一条线段后,所形成的图形不是轴对称图形？AP2P3BP4P5CP7P8DP8P910如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得DAC=ACD如图3,将ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED则BE的长是A4BC3D2二、填空题11下面有五个图形,与其它图形众不同的是第_个12如图,在22方格纸中,有一个以格点为顶点的ABC,请你找出方格纸中所有与ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的

4、三角形共有_个13如图,ABC中,C=90,BAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是_14如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知ADE=40,则DBC=_15如图,在ABC中,B与C的平分线交于点O,过点O作DEBC,分别交AB、AC于点D、E若AB=5,AC=4,则ADE的周长是_16如图,CD与BE互相垂直平分,ADDB,BDE=70,则CAD=_17如图,BAC=110,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则PAQ的度数是_18等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则它的顶角为_19在44的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个

5、正方形到空白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有_种20如图,AOB是一角度为10的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH,且OE=EF=FG=GH,在OA、OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为_三、解答题21如图,在由边长为1的小正方形组成的1010的网格中我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点,四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上1请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1,使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称；2在1的条件下,结合你所画的图形,直接写出四边形A1B

6、1C1D1的面积22如图,在ABC中,C=90度1用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等；保留作图痕迹,不写作法和证明2当满足1的点P到AB、BC的距离相等时,求A的度数23如图,在ABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点,DM与EN相交于点F1若CMN的周长为15cm,求AB的长；2若MFN=70,求MCN的度数24如图,在ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC1上述三个条件中,由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？用序号写出所有成立的情形2请选择1中的一种情形,写出证明过程2

7、5如图,在ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF,如果点G为DF的中点,那么EG与DF垂直吗？26如图,在ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,连接AD、AE,以ADE的边AE所在直线为对称轴作ADE的轴对称图形ADE,连接DC,若BD=CD1求证：ABDACD；2若BAC120,求DAE的度数27如图,已知BAD和BCE均为等腰直角三角形,BAD=BCE=90,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N1当A,B,C三点在同一直线上时如图1,求证：M为AN的中点；2将图1中的BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时如

8、图2,求证：ACN为等腰直角三角形；3将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时,2中的结论是否仍成立？若成立,试证明之,若不成立,请说明理由第2章 轴对称图形参考答案与试题解析一、选择题1下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是轴对称图形的是ABCD考点轴对称图形分析根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析解答解：A、不是轴对称图形,故此选项错误；B、不是轴对称图形,故此选项错误；C、是轴对称图形,故此选项正确；D、不是轴对称图形,故此选项错误；故选：C点评此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对

9、称图形的概念2一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案是ABCD考点剪纸问题分析对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现解答解：严格按照图中的顺序向右翻折,向右上角翻折,打出一个圆形小孔,展开得到结论故选C点评此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的,做题时,要注意培养3已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为A11B16C17D16或17考点等腰三角形的性质；三角形三边关系专题分类讨论分析分6是腰长和底边两种情况,利用三角形的三边关系判断,然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解解答解：

10、6是腰长时,三角形的三边分别为6、6、5,能组成三角形,周长=6+6+5=17；6是底边时,三角形的三边分别为6、5、5,能组成三角形,周长=6+5+5=16综上所述,三角形的周长为16或17故选D点评本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于分情况讨论4如图,在ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则B的度数为A30B36C40D45考点等腰三角形的性质分析求出BAD=2CAD=2B=2C的关系,利用三角形的内角和是180,求B,解答解：AB=AC,B=C,AB=BD,BAD=BDA,CD=AD,C=CAD,BAD+CAD+B+C=180,5B=180,

11、B=36故选：B点评本题主要考查等腰三角形的性质,解题的关键是运用等腰三角形的性质得出BAD=2CAD=2B=2C关系5如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于A10B7C5D4考点角平分线的性质分析作EFBC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可解答解：作EFBC于F,BE平分ABC,EDAB,EFBC,EF=DE=2,SBCE=BCEF=52=5,故选C点评本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积,作出辅助线求得三角形的高是解题的关键6如图,ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,

12、BEAC,AFBC,则下面结论错误的是ABF=EFBDE=EFCEFC=45DBEF=CBE考点线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析根据等腰三角形的三线合一得到BF=FC,根据直角三角形的性质判断A；根据直角三角形的性质判断B；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C,根据直角三角形的性质判断D解答解：AB=AC,AFBC,BF=FC,BEAC,EF=BC=BF,A不合题意；DE=AB,EF=BC,不能证明DE=EF,B符合题意；DE垂直平分AB,EA=EB,又BEAC,BAC=45,C=67.5,又FE=FC,EFC=45,C不合题意；FE=FB,BEF=CBE；故选：B点评本题考

13、查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键7如图,在第1个A1BC中,B=30,A1B=CB；在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个A2A3E,按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是An75Bn165Cn175Dn85考点等腰三角形的性质专题规律型分析先根据等腰三角形的性质求出BA1C的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出DA2A1,EA3A2及FA4A

14、3的度数,找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数解答解：在CBA1中,B=30,A1B=CB,BA1C=75,A1A2=A1D,BA1C是A1A2D的外角,DA2A1=BA1C=75；同理可得,EA3A2=275,FA4A3=375,第n个三角形中以An为顶点的内角度数是n175故选：C点评本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出DA2A1,EA3A2及FA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键8如图,在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDEACE120,点P与点M分别是线段BE和AD的中点,则CPM是A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形考点

15、全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析首先根据等边三角形的性质,得出AC=BC,CD=CE,ACB=ECD=60,则BCE=ACD,从而根据SAS证明BCEACD,得CBE=CAD,BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点,得BP=AM,根据SAS证明BCPACM,得PC=MC,BCP=ACM,则PCM=ACB=60,从而证明该三角形是等边三角形解答解：ABC和CDE都是等边三角形,AC=BC,CD=CE,ACB=ECD=60BCE=ACDBCEACDCBE=CAD,BE=AD又点P与点M分别是线段BE和AD的中点,BP=AMBCPACMPC=MC,BCP=ACMPCM=AC

16、B=60CPM是等边三角形故选：C点评三角形中位线性质应用比较广泛,尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用,本题结合三角形全等的知识,考查了等边三角形的性质9如图是P1、P2、P10十个点在圆上的位置图,且此十点将圆周分成十等分今小玉连接P1P2、P1P10、P9P10、P5P6、P6P7,判断小玉再连接下列哪一条线段后,所形成的图形不是轴对称图形？AP2P3BP4P5CP7P8DP8P9考点利用轴对称设计图案分析利用轴对称图形的性质分别分析得出即可解答解：由题意可得：当连接P2P3,P4P5,P7P8时,所形成的图形是轴对称图形,当连接P8P9时,所形成的图形不是轴对称图形故选：D点评此

17、题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的性质是解题关键10如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得DAC=ACD如图3,将ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED则BE的长是A4BC3D2考点翻折变换折叠问题；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质分析只要证明ABDMBE,得=,只要求出BM、BD即可解决问题解答解：AB=AC,ABC=C,DAC=ACD,DAC=ABC,C=C,CADCBA,=,=,CD=,BD=BCCD=,DAM=DAC=DBA,ADM=ADB,ADMBDA

18、,=,即=,DM=,MB=BDDM=,ABM=C=MED,A、B、E、D四点共圆,ADB=BEM,EBM=EAD=ABD,ABDMBE,=,BE=故选B点评本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题,本题需要三次相似解决问题,题目比较难,属于中考选择题中的压轴题二、填空题11下面有五个图形,与其它图形众不同的是第个考点轴对称图形分析根据轴对称图形的概念求解解答解：第个图形是轴对称图形,第个不是故答案为：点评本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合12如图,在22方格纸中,有

19、一个以格点为顶点的ABC,请你找出方格纸中所有与ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有5个考点利用轴对称设计图案分析根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形进行画图即可解答解：如图：与ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有ABD、BCD、FBE、HCE,AFG,共5个故答案为：5点评本题考查轴对称图形的定义,以及利用轴对称设计图案,利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质,利用轴对称的作图方法来作图,通过变换对称轴来得到不同的图案13如图,ABC中,C=90,BAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离

20、是4考点角平分线的性质分析过点D作DEAB于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,即可得解解答解：如图,过点D作DEAB于点E,AD是BAC的平分线,DE=CD,CD=4,DE=4故答案为：4点评本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,作出图形并熟记性质是解题的关键14如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知ADE=40,则DBC=15考点线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析根据线段垂直平分线求出AD=BD,推出A=ABD=50,根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出ABC,即可得出答案解答解：DE垂直平分AB,AD=BD,AED

21、=90,A=ABD,ADE=40,A=9040=50,ABD=A=50,AB=AC,ABC=C=180A=65,DBC=ABCABD=6550=15,故答案为：15点评本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形内角和定理的应用,能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键,难度适中15如图,在ABC中,B与C的平分线交于点O,过点O作DEBC,分别交AB、AC于点D、E若AB=5,AC=4,则ADE的周长是9考点等腰三角形的判定与性质；平行线的性质专题压轴题分析由在ABC中,B与C的平分线交于点O,过点O作DEBC,易证得DOB与EOC是等腰三角形,即DO=DB,EO=EC,继而可

22、得ADE的周长等于AB+AC,即可求得答案解答解：在ABC中,B与C的平分线交于点O,DBO=CBO,ECO=BCO,DEBC,DOB=CBO,EOC=BCO,DBO=DOB,ECO=EOC,OD=BD,OE=CE,AB=5,AC=4,ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9故答案为：9点评此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质此题难度适中,注意证得DOB与EOC是等腰三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用16如图,CD与BE互相垂直平分,ADDB,BDE=70,则CAD=70考点轴对

23、称的性质；平行线的判定与性质专题常规题型分析先证明四边形BDEC是菱形,然后求出ABD的度数,再利用三角形内角和等于180求出BAD的度数,然后根据轴对称性可得BAC=BAD,然后求解即可解答解：CD与BE互相垂直平分,四边形BDEC是菱形,DB=DE,BDE=70,ABD=55,ADDB,BAD=9055=35,根据轴对称性,四边形ACBD关于直线AB成轴对称,BAC=BAD=35,CAD=BAC+BAD=35+35=70故答案为：70点评本题考查了轴对称的性质,三角形的内角和定理,判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关于直线AB成轴对称是解题的关键17如图,BAC=110,若MP和NQ分

24、别垂直平分AB和AC,则PAQ的度数是40考点线段垂直平分线的性质分析根据三角形内角和定理求出B+C的度数,根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB,QA=QC,得到PAB=B,QAC=C,结合图形计算即可解答解：BAC=110,B+C=70,MP和NQ分别垂直平分AB和AC,PA=PB,QA=QC,PAB=B,QAC=C,PAB+QAC=B+C=70,PAQ=BACPAB+QAC=40,故答案为：40点评本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键18等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则它的顶角为60或120考点等腰三角形的性质

25、专题计算题；分类讨论分析等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角形的边上根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了,因而应分两种情况进行讨论解答解：当高在三角形内部时,顶角是120；当高在三角形外部时,顶角是60故答案为：60或120点评此题主要考查等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键,本题易出现的错误是只是求出120一种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形因此此题属于易错题19在44的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有13种考

26、点利用轴对称设计图案专题压轴题分析根据轴对称图形的性质,分别移动一个正方形,即可得出符合要求的答案解答解：如图所示：故一共有13做法,故答案为：13点评此题主要考查了利用轴对称设计图案,熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质,利用轴对称的作图方法来作图,通过变换对称轴来得到不同的图案20如图,AOB是一角度为10的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH,且OE=EF=FG=GH,在OA、OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为8考点等腰三角形的性质专题应用题分析根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质,找出图中存在的规律,根据规律及三角形的内角和

27、定理不难求解解答解：添加的钢管长度都与OE相等,AOB=10,GEF=FGE=20,从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角形的底角是10,第二个是20,第三个是30,四个是40,五个是50,六个是60,七个是70,八个是80,九个是90就不存在了所以一共有8个故答案为8点评此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键三、解答题21如图,在由边长为1的小正方形组成的1010的网格中我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点,四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上1请你在所给的网格中画出

28、四边形A1B1C1D1,使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称；2在1的条件下,结合你所画的图形,直接写出四边形A1B1C1D1的面积考点作图-轴对称变换分析1根据轴对称的性质画出图形即可；2利用矩形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可解答解：1如图所示2S四边形A1B1C1D1=3421213122=12112=点评本题考查的是作图轴对称变换,熟知轴对称的性质是解答此题的关键22如图,在ABC中,C=90度1用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等；保留作图痕迹,不写作法和证明2当满足1的点P到AB、BC的距离相等时,求A的度数考点线段垂直平分线的性质专题作图题分

29、析1作线段AB的垂直平分线即可；2到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上那么点P是B的平分线和线段AB的垂直平分线的交点解答解：12连接BP点P到AB、BC的距离相等,BP是ABC的平分线,ABP=PBC又点P在线段AB的垂直平分线上,PA=PB,A=ABP点评用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上23如图,在ABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点,DM与EN相交于点F1若CMN的周长为15cm,求AB的长；2若MFN=70,求MCN的度数考点线段垂直平分线的性质分析1根据线段垂直平分线

30、上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM,BN=CN,然后求出CMN的周长=AB；2根据三角形的内角和定理列式求出MNF+NMF,再求出A+B,根据等边对等角可得A=ACM,B=BCN,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解解答解：1DM、EN分别垂直平分AC和BC,AM=CM,BN=CN,CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,CMN的周长为15cm,AB=15cm；2MFN=70,MNF+NMF=18070=110,AMD=NMF,BNE=MNF,AMD+BNE=MNF+NMF=110,A+B=90AMD+90BNE=180110=70,AM=CM,BN=CN,A=A

31、CM,B=BCN,MCN=1802A+B=180270=40点评本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等边对等角的性质,三角形的内角和定理,2整体思想的利用是解题的关键24如图,在ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC1上述三个条件中,由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？用序号写出所有成立的情形2请选择1中的一种情形,写出证明过程考点全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定专题开放型分析1由；两个条件可以判定ABC是等腰三角形,2先求出ABC=ACB,即可证明ABC是等腰三角形解答解：1；2

32、选证明如下,OB=OC,OBC=OCB,EBO=DCO,又ABC=EBO+OBC,ACB=DCO+OCB,ABC=ACB,ABC是等腰三角形点评本题主要考查了等腰三角形的判定,解题的关键是找出相等的角求ABC=ACB25如图,在ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF,如果点G为DF的中点,那么EG与DF垂直吗？考点全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质分析连接DE,EF,易证BDECFE,可得DE=EF,可证DGEFGE,可求得DGE=FGE=90解答解：连接DE,EF,AB=AC,B=C,在BDE和CFE中,BDECFESAS,DE=E

33、F,在在DGE和FGE中,DGEFGESSS,DGE=FGE,DGE+FGE=180,DGE=FGE=90,EGDF点评本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证DE=EF是解题的关键26如图,在ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,连接AD、AE,以ADE的边AE所在直线为对称轴作ADE的轴对称图形ADE,连接DC,若BD=CD1求证：ABDACD；2若BAC120,求DAE的度数考点全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质分析1根据对称得出AD=AD,根据SSS证ABDACD即可；2根据全等得出BAD=CAD,求出BAC=DAD,根据对称得出DAE=DAD,代入求出即可解答1证明：以ADE的边AE所在直线为对称轴作ADE的轴对称图形ADE,AD=AD,在ABD和ACD中,ABD