数的概念数学教案

1、; i 的必要性和作用 ;理; i 的必要性和作用 ;理解 i 的性质 . ; ;然后说明， 数集的每一次i 及其性质，接着，将数的范教学目标(1)了解数的概念发展的过程和动力(2)了解引进虚数单位(3)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系(4)了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想 . 教学建议1.教材分析(1)知识结构首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位围扩充到复数，并指出复数后来由于在科学技术中得到应

2、用而进一步发展。从实际生产需要推进数的发展自然数整数有理数无理数从解方程的需要推进数的发展负数分数无理数虚数(2)重点、难点分析- 1 - ;为了表示具有相反意义;由于测量的需要产生了有理数(如正方形对角线的长度与边长的比值(现在是实数集 )的性质，;由于;为了表示具有相反意义;由于测量的需要产生了有理数(如正方形对角线的长度与边长的比值(现在是实数集 )的性质，;由于)的从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。解决实际问题的需要由于计数的需要产生了自然数的量的需要产生了整数表示量与量的比值需要产生了无理数 (既无限不循环小数

3、 )。解方程的需要。为了使方程有解， 就引进了负数 ;为了使方程有解， 就要引进分数 ;为了使方程有解，就要引进无理数。引进无理数后，我们已经能使方程永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解。为了使方程 ()有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。(二)注意数的概念在扩大时要遵循的原则第一，要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集中，方程无解这一矛盾。第二，要尽量地保留原有数集特别是它的运算性质。(三)正确确认识数集之间的关系- 2 - 0 的循环小数也都是有理数”每一次. ; ; . . . 0 的循环小数也都是有理数”每一次. ;

4、; . . . 就是分数集 . “循环节不为有理数 = 分数 = 循环小数，实数 = 小数 . 自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、复数集 C 之间有如下的包含关系：2.教法建议(1)注意知识的连续性： 数的发展过程是漫长的，发展都来自于生产、生活和计算等需要，所以在教学时要注意使学生认识到数的发展的两个动力(2)创造良好的课堂气氛： 由于本节课要了解扩充实数集的必要性，所以，教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学史，课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、共同交流的气氛。数的概念的发展教学目的1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，了解虚数产生

5、历史过程2.理解并掌握虚数单位的定义及性质3.掌握复数的定义及复数的分类教学重点虚数单位的定义、性质及复数的分类- 3 - . .对于复数 (a、b. .对于复数 (a、b 都是实数 );当时叫虚数，当时，叫做纯虚数.可虚数单位的性质 . 教学过程一、复习引入原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到有理数集有些量与量之间的比值，如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数，有理数和无

6、理数合并在一起，构成实数集. 数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展，数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具. 二、新课教学(一)虚数的产生我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决来说，当时，就是实数- 4 - ? (1501 1576) 在 1545 ? (1501 1576) 在 1545 年10 分成两部分，40 时，他把答案写成，尽管他认为和这40.给出“虚数”(1596 1650) ，他在几何. 于是引起了数学界的一.德国数学家菜不尼茨.瑞士数.法国数学家达兰贝尔的事，那么，

7、历史上是如何引进虚数的呢16 世纪意大利米兰学者卡当发表的重要的艺术 一书中， 公布了三次方程的一般解法，被后人称之为 “卡当公式” .他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把使它们的乘积等于两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把 10 分成了两部分，并使它们的乘积等于这一名称的是法国数学家笛卡尔学(1637 年发表 )中使“虚的数 与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来数系中发现一颗新星虚数，片困惑，很多大数学家都不承认虚数(1664 1716) 在 1702 年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所， 它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”学大师欧拉

8、 (1707 1783) 说：“一切形如，习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻 .”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地- 5 - (a、b 都).法国数学并且是i 来表示 -1 的平i 作为虚数的单位 .“虚数”实际上不是.挪威的测量学家未塞尔. .在直角坐标系中， (a、b 都).法国数学并且是i 来表示 -1 的平i 作为虚数的单位 .“虚数”实际上不是.挪威的测量学家未塞尔. .在直角坐标系中， 横轴上取对

9、b 的点 B，并过这两点C 就表示复数 .象这样，后来又称“高斯.统一于表示同一复数的代数式和三角式算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式是实数 )(说明：现行教科书中没有使用记号而使用家棣莫佛 (1667 1754) 在 1730 年发现公式了， 这就是著名的探莫佛定理 .欧拉在 1748 年发现了有名的关系式，他在微分公式 (1777 年)一文中第一次用方根，首创了用符号想象出来的，而它是确实存在的(1745 1818) 在 1779 年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视德国数学家高斯 (1777 1855) 在 1806 年公布了虚数的图象

10、表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示应实数 a 的点 A，纵轴上取对应实数引平行于坐标轴的直线，它们的交点由各点都对应复数的平面叫做“复平面”平面” .高斯在 1831 年，用实数组 (a，b) 代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化” .他又在 1832 年第一次提出了 “复数” 这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合两种形式中，并把数轴上的点与实数一对应，扩展为平面- 6 - .高斯不仅把复数看作平面上的点，并利用复数与向量之间一对应的关.至此，复数理论才比较完. 200 年的幽灵虚数揭.虚数成为了数系大家庭中一员，. . 原有的加.高斯不仅把复数看作平面上的点，并利用复数与向量之间一对应的关.至此，复数理论才比较完. 200 年的幽灵虚数揭.虚数成为了数系大家庭中一员，. . 原有的加、 乘运算律仍然而且还看作是一种向量，系，阐述了复数的几何加法与乘法整和系统地建立起来了经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵从而实数集才