《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

1、高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题第一部分名校考研真题第6章线性空间一、选择题.下面哪一种变换是线性变换（）.西北工业大学研B.C.【答案】C查看答案【解析】【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而二小=一不是惟一的.在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）.西北工业大学研A.必相等A.必相等B.可能相等亦可能不相等C.不相等【答案】B查看答案【解析】比如在a中选三个向量组(I)：0(III).-f：.-J；：.若选（1）（11）,秩秩（II）,从而否定A,若选（II）（III）,秩（III）二秩（II）,从而否定C,故选B.二、填空题1.若V,；(4+/晨+Wi)

2、|WR,则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是维的，而在实数域R上是维的.中国人民大学研【答案】2;4.查看答案【解析】在复数域上令.；则是线性无关的.产目=上+加,+4门6炉则一.C&Af）ir+（c-I-）n=此即证:;可由u线性表出.在实数域上，令儆士召堂很伟煦祗=微D.=（0.J）若,匕什.占、:4二,；,其中.，贝口（岛+电J,扁+岛门=10,门此即在R上线性关.二七：了r口,：可由.，线性表出，所以在实数域R上，有.三、分析计算题1设V是复数域上n维线性空间乂和V2各为V的r1维和r2维子空间试求之维数的一切可能值.南京大学研解：取;.的一组基，再取的一组基则%=LQi1，叫），

3、/营=LQi.也？”口找）.匕*匕=LQ口八甲11.诙）号二秩工用”（门，CW/时%+%）忘ruin|r+r一修；.设U是由：二r.:一：；-：生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求(1)U+W:(2)Lnw的维数与基底.同济大学研解：(1)令叫.甘於(1,八一同之人如二CE.a.-1.九9);挑2；渺=(L5,-&一1，可得:.,.：1-;-.,所以UkWhLQu由由南，由于，,：为的一个极大线性无关组，因此又可得U+W=Lf.披,闭).且13，故为U+W的一组基.(2)令J*ini-T-ra2+.%同十M但二。，因为秩;”:4日,永3.所以齐次方程组的基础解系由一个向量组成:，则3=(必

4、2-1一1了，则再令C1W=I4制ndimiUCWy=I,故Z为unw的一组基.设A是数域K上的一个mXn,矩阵，B是一个m维非零列向量.令保三|)川|存花，丘凡使4在二思！，(1)证明：W关于Kn的运算构成Kn的一个子空间；(2)设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r.证明W的维数dimW=n-r+1:(3)对于非齐次线性方程组(2孙一石中3/=一11*1+2rX-j+3a】X.2I4.T,+3戈；*/=3,求W的一个基.华东师范大学研证明：(1)显然Ww，又，i;.因为存在tt2使Aa=t1B,A0=t2B.所以乂ar十侬)即ka+l0W,此说明W是Kn的子空间.(2)对线性方程组(A,B

5、)Xn+1=0，由题设，其解空间V的维数为(口+1)-(A,B)=n-r+1.任取aW,存在tK,使Aa=，艮所以是线性方程组(A,B)Xn+1=0的解.这样，存在W到V的映射，：一显然，这是W形到V的一个双射.又a1,a卢W,kK,存在t1,t卢K,使Aa1=t1B,Aa2=t2B，则旧十%）=（/,十匕）律，可见W与V同构，从而有dimW=dimV=n-r+1.(3)由(2)W与如下齐次线性方程组解空间同构.2孙一孙+x3+3与一孙二。，相+2算工+戋3-1匚*=0,48+7jt.小熊+3M$=0,该方程组的一个基础解系为：2=(-j.o,i三(o4-.0.9j)其在。之下原像叫:所以TO

6、C o 1-5 h z由题设.；所以dim%nVsdimK餐dim】,、AP3+I.即;-”布】.：，.一当，：.：？，：；：.时，由得%门匕不明_此时-c%=匕十*=%.当：.时diinVt=iliEiCl匕+I=dim(.因为，所以，此时.设V是数域K上n维线性空间，V1,Vs是V的s个真子空间，证明：(1)存在，一一使得(2)存在V中一组基使3，.一：,二，北京大学研证明：(1)因V1，,Vs是V的真子空间，由上例，存在(2)令;，同样有且显然，线性无关.令:，一，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组.，.(构成V的基)，且有与,冏In(匕u匕uiuFJ&-.设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f,gV,aR,分别用下列式子定义f+g与af：(/+K)(J)=/(s)*式用丁=*(/(*)SSftE酩则V成为实数域上的一个线性空间.设f0(x)=1,f1(x)=cosx,f2(x)=cos2x,f3(x)=cos3x,(1)判断%,%j，f3是否线性相关，写出理由；(2)用f,g表示f,g生成的线性子空间，判断vfo,fj+vf/%是否为直和，写出理由.北京大学研事T解：(1)令k0f0+k1fl+k2f2+k3f3=0，分别取x=0,：-得Ki+k、+M密招=o1&+亨4-g%=0.&-