圆与圆位置关系

1、圆与圆位置关系一.知识梳理：1、圆与圆的位置关系及判定(1)几何法：若两圆的半径分别为(、1，两圆的圆心距为d ,则两圆的位置关系的判定方法如下:位置关系外离外切相交内切内含图示WJ*(g)(O)d 与、r2 的关系d r + rd = r + rr r d r + rd r rd 0)，C : x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 (D 2 + E 2 4 F 0).222联立方程得x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0联立方程得x 2 + y 2 + D x + E y + F 01222方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的

2、位置关系相交外切或内切外离或内含2、两圆的公共弦(1)设圆g： x2+歹2+D1 x+E1y+F1 = 0,圆C2： x2+ y2+D2x+E2y+F2 = 0,则两圆相交公共弦所在直线方程为：(D 厂 D 2)x+(4 E2)y+(F 厂 FP=0 求两圆相交公弦的长:设圆C1的圆心。到公弦AB所在直线的距离为&圆C1的半径为r1，则|AB = 2#:d2 . 3、圆系问题(1)过两圆交点的圆系方程：若两圆为C1： x2+ y2+D1 x+E1 y+F 1 = 0, C2： x2+ y2+D2x+E2y+F2 = 0.则过这两圆的交点的圆的方程可表 示为 C3： x2+ y2+D1 x+E1

3、 y+F1+ 入(x2+ y2+D2x+E2y+F2) = 0(入 wR,不含圆 C2).(2)过直线与圆交点的圆系方程：若直线L： Ax+By+C=0与圆C： x2+ y2+Dx+Ey+F =0相交，则经过它们交点的圆系方程可表示为x2+y2+Dx+Ey+F + 九(Ax+By+C)=0(九 wR).4、设而不求法设直线l： Ax+By+C=0(A2+B2，0),圆：(xa)2+(yb)2=r2(r0),联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二b c次方程：a x2 + b x + c = 0 x + x = 1-,x x 111112 a 1 2 a11二、典例剖析【上期知识运用】1、过圆G

4、 - 1) 2+y2 = 5上一点P (2, 2)的切线与直线ax -歹+1=0垂直，则a =()A. 2B.C-/D.-2【解答】解：圆(x - 1) 2+y2 = 5的圆心为A (1, 0),依题意知直线AP与直线ax - y +1=0平行，grirsj j _ 2-Q _所以a=kAP彳才=2.故选：A.已知圆C： x2+y2 - 4x - 2y+1=0的圆心在直线l： x+ay - 1=0 (aR)上，过点A (-4, a)作圆C的一条切线， 切点为B,则|AB|=()A. 2B. 4巧C. 6D. 2-/IO【解答】解：二圆 C： x2+y2 - 4x - 2y+1=0 的圆心 C

5、(2, 1)在直线 l： x+ay - 1=0 (aR)上，2+a-1=0,解得a=-1,；.A (-4,-1),过点A (-4,-1)作圆C的一条切线，切点为B,1AC|= 7.2)2+1)2=2； 10, r=/Y)(_: 2.4=2,.1AB1= ,.：色,10产-4=6.故选：C.2、在平面直角坐标系xOy中，以点(1, 0)为圆心且与直线mx - y - 3m - 2=0 (mR)相切的所有圆中，半径 最大的圆的标准方程为(x - 1) 2+y2=8 .【解答】解：根据题意，设要求圆的半径为r,其圆心C的坐标为(1, 0),对于直线mx - y - 3m - 2=0,变形可得y+2=

6、m (x - 3),过定点P (3,- 2),分析可得：以C为圆心且与直线mx - y - 3m - 2=0 (mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP,此时r=CP= *4)。(计工 产2，；9 则此时圆的标准方程为：(x- 1) 2+y2=8,故答案为：(x-1) 2+y2=8.3、已知P (x, y)是直线kx - y+4=0 (k0)上一动点，PA, PB是圆C： x2+y2+2y=0的两条切线，A, B为切点.C为圆心.若四边形PACB面积的最小值是4,则k的值是()A.飞B. 2；用C.D.【解答】解：如图所示，圆的方程为：x2+ (y+1) 2=1,.圆心C (0,-1),

7、半径r=1；根据题意，若四边形面积最小，当圆心。与点P的距离最小时，即距离为圆心C到直线l的距离最小时，切线长PA, PB最小；此时切线长为4,.PA=PB=4,.圆心C到直线l的距离为d= . 17；又直线方程为kx-y+4=0,.d= .!?,解得k=土芭泮, 又k0,所求直线l的斜率为：k=2富.故选：D.4、已知圆C： x2+y2-4x-2y-44=0,点P的坐标为(t, 4),其中t2,若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为4，则直线l的一般式方程是4x+3y - 36=0 【解答】解：圆C： x2+y2-4x-2y-44=0,转换为标准式为：(x-2) 2+ (y- 1) 2

8、=49, 当点P为弦的中点时，过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为4，用， 则：圆心到直线的距离d= ；72-(2-;；3)2二；3T,则设直线的方程为y-4=k (x-t),利用+ T厂44=0，利用中点坐标公式和点到直线的距离公式，解得：t=6, k=4,利用y=kx-kt+4 所以直线的方程为：4x+3y-36=0.故答案为：4x+3y - 36=01、过圆x2+y2=16内一点P(- 2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ACBD的面积为19 .【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接OP,OA,过 O 作 OELAB

9、, OFXCD, E, E为AB的中点，F为CD的中点，又ABXCD,AB=CD,二四边形二四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O(0, 0),半径 r=4,又 P 又 P (-2, 3), I0Pl= ；(_?) 2 + 32= Z13,AOE=/13 xJ=1，又 OA=r=4,jcLb二根据勾股定理得：出盛加三产，二AB=CD=2AE，页，则S二根据勾股定理得：出盛加三产，二AB=CD=2AE，页，则S四边A)Cbd一AB-CD=19.故答案为:19.题型一圆与圆的位置关系例11、已知两圆 X2+y2 2x6y1 = 0 和 X2+y210 x12y+m=0.(1)m取何值时两圆内

10、切？(2)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程为：(x 1)2+(y3)2=11, (x5)2+(y6)2=61 m, TOC o 1-5 h z 圆心分别为M(1,3)，,N(5,6),半径分别为：!1和q61 m._(1)当两圆外切时，、J(5 1)2+(6 3)2-河+)，61 m，解得 m=25 + 1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径%由小于两圆圆心间距离5,故只有、161 m -，11 = 5,解得m=25 10、j!L(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2+ y 22 x6y 1)(x 2+ y 210 x 12y+45)=0,FZP|4

11、X1 + 3X323|1仁即4x+3y23=0,.公共弦长为2、卜寸石)2齐再=2巾.课堂小结：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般殳不采用代 数法.(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共 弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长.2、(选讲提升)【2015安徽宿州高二期中，改编】过圆C1： x2+ y212x2y 13 = 0和圆C2： x2+ y2+12x +16y 25=0的交点的圆中，面积最小的圆的方程为.过两交点圆中，以公共弦为直径时，圆面积最小.4 x+

12、3 y2 = 0,【解析】法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x+3y2 = 0.由I解得两交x2+ y 212x2y 13 = 0.点坐标A (1,2), B (5,6). 所求圆以AB为直径，.所求圆的圆心是AB的中点M(2,2),圆的半径为r = ；AB| = 5, .,.圆的方程为(x2)2+(y+2)2=25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x+3y2 = 0.设所求圆x2+ y212x2y 13+丸(4x+3y2)=0,则圆心为 (62丸,1|A)圆心在公共弦所在直线上，4x(62丸)+3(1|A)2 = 0,解得丸=2.故所求圆的方程为x2+ y2 4 x+4y 17=

13、0.1 g 3、已知圆C1： x2+y2=4和圆C2： (x - 2) 2+ (y - 2) 2=4,若点P (a, b) (a0, b0)在两圆的公共弦上，则占巧口的最小值为_L .【解答】解：由题意，两圆的方程相减，可得x+y=2,点P (a, b) (a0, b0)在两圆的公共弦上， /.a+b=2,A十三 = ； (-l-) (a+b) =77 (10+-+-) 袅 10+6) =8,a b 2 a b2 a b 2b 9aI9当且仅当且T且，即b=3a时，取等号，上与的最小值为8,故答案为8. a ba b4、已知圆 C： (x3)2+(y4)2=1 和两点 A(m,0), B(m,

14、 0)(m0) .若圆 C 上存在点 P,使得NAPB=90,则 m的最大值为()A. 7 B. 6 C. 5 D. 4题型二直线与圆综合【例2】 已知圆X2+j2+X-6y+m = 0和直线x+2y-3=0交于P, Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该 圆的圆心坐标及半径.审题视点(1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求解;(2)OPOQ得到O点在以PQ为直径的圆上， 再利用勾股定理求解.解 法一一 将 x=32y，代入方程x2+ y2+x6y+m = 0,得 5y220y +12+m=0.12+m设 P(xryj, Q(x2, y2)，则7、y2满足条件：y 1+ y2=4,

15、y 1y2=一.OP OP OQ，.二 x 1 x 2+ y 1y 2=0.而 x 1 = 32yx2=32y 2. x 1 x 2=96(y 1 +y2)+4y 1y2=27+4 m5,27+4m , 12+m故 5+ 5 =0，斛得m = 3此时/ 此时/ 0,圆心坐标为(一2，3),半径r=2法二x 1+x 2y 1+y 2 。2 = 1, y0=2 =2如图所示，设弦 PQ 中点为 M，设 M(x0, y0), P(x1，y 1), Q(x2，y2) 由法一知，y 1+ y2=4, x 1+ x2=-2,，x0法二x 1+x 2y 1+y 2 。2 = 1, y0=2 =2;OPOQ，

16、点 O 在以 PQ 为直径的圆上.(0+1)2+(02)2=r2,即 r2 = 5, |MQ|2=r2.在 RtA01MQ 中，化Q|2 = |01M2+IMQ|2.1+(6)24 m ( 1 A，一=(2+1 j2+(32)2+5.变式训练：已知圆C： X2+y2 2x+4y4 = 0.直线AB斜率为-1与圆C交于A、B,且以AB为直径的圆经过原点？ 若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由.【规范解答】 圆C的方程可化为(x1)2+(y+2)2=9,圆心为C(1,-2) .假设在圆C上存在两点A、B TOC o 1-5 h z 满足条件，p则圆心。1,2)在直线y=kx1上，即k=

17、- 1.3分于是可知，kAB=L一设 1AB ：y=x+b,代入/C 的方程，整理得 2x2 + 2(b+1)x+b2+4b4 = 0,(火；则 A=4(b+1)28(b2+4b4)0,即 b2+6b90.解得一3 3V2b3 + 3V2.7 分设点 A、B 的坐标分别为 A(x, y ), B(x , y ),则 x+x =-b1, xx=1b2+2b 2. 1122121 22由题意知OAOB,则有xy2+y1y2 = 0,也就是 x1x2+ (x1+b)(x2+b) =0. TOC o 1-5 h z .2XX2+b(X+x2)+b2 = 0.10 分b2+4b4b2b+b2=0,化简得

18、 b2+3b4=0.解得b=4或b=1,均满足八0,即直线AB的方程为xy4 = 0,或xy+1 = 0.12分家庭作业：.两个圆 g： (x2)2+(y3)2 = 25, C2： (x4)2 + (y7)2 = 9,这两个圆的公切线有()A、1条 B、4条 C、3条D、2条.若Mn N为圆C： (x -2) 2+ (y -2) 2=1上任意两点，P为x轴上一个动点，则NMPN的最大值是()A. 45B. 60C. 90D. 120【解答】解：连接CM, CN,要使/MPN最大，则只需要NCPN最大，即当PN是圆的切线时，NCPN取得最大值，圆的半径CN =1,则sinNCPN=*=去，要使s

19、inNCPN取得最大值，则CP取得最小值，即CPx轴时，CP最小，此时最小值CP=2,则 sinNCPN=击=|，即NCPN =30,当 M也是切点时，NMPN=2NCPN=2X30=60,4 一故选：B.4 一-ir.设m, n为正实数，若直线(m+1) x + (n +1) y-2 = 0与圆(x - 1) 2+ (y - 1) 2=1相切，则mn的最小值为 ()A. 3-2巧B. 2+3C. +1D. 巧-1【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|= 说！1TH_/，整理得(m - 1) (n - 1)=2,；.m+n=mn - 1 三2二 mn,，,Jim三,；2+1,，mn三3+22

20、当且仅当m=n时等号成立，；.mn 的最小值是3+2v2故选：B.直线； 2=0分别与x轴，y轴交于A, B两点，点P在圆，/二1上，则4ABP面积的取值范围是( )A. 2, 2 .受B. 2, 4C. 1, 2D. 1, 3【解答】解：由直线X+y +,；2=0 可得A （-.2 0）, B （- -.,2, 0）,.|AB|=2, 又圆心（门，0）到直线的距离d = =2,点P到直线x+y+ 2=0的距离得最小值为2- 1 = 1,最大值为2+1 = 3,则ABP的面积的最小值为，X2X1 = 1,最大值*X2X3 = 3,5.已知直线/1： 3x+y -6 = 0与圆心为X（0, 1）

21、,半径为:：石的圆相交于A, B两点，另一直线12： 2kx+2y -3k -3 = 0与圆M交于C, D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A. 53B. 10l,-;2C. 5(巧+1)D. 5(巧T)【解答】解：以M (0, 1)为圆心，半径为;七的圆的方程为X2+ (y - 1) 2 = 5,(3s+y-&=0联立 99 ，解得A (2, 0), B (1, 3),卜(-1 ) 33, AB中点为（了，）. 1 1AB1=产+03)而直线12： 2kx+2y - 3k - 3 = 0恒过定点（至，）,二四边形ACBD的面积最大值为:故选：A故选：A.6.平面直角坐标系内，过点1 2，0）的直线1与曲线产：匚/相交于A、B两点，当A4OB的面积最大时，直线1的斜率为（）A.弓B. 一年C总D-善【解答】解：曲线产；匚表示以O圆心半径为1的上半圆，则AOB 的面积 S=y |OA|OB|sinZAOB =ysinZAOB,要使三角形的面积最大，此时sinZAOB =1,即ZAOB=90,则|AB| = ；M AB的中点C,则|OCe色AB=三g,返V| OD |=/2,AsinZ ODC =k=3， |0D| V2 2则N ODC =30,Z xDA =150,即直线的倾斜角为150,则直线的斜率k=tan150=*，J故选：