《应用数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案

精品文档精品文档精品文档精品文档第四章回归分析课后作业参考答案炼铝厂测得铝的硬度x与抗张强度y的数据如下：68 53 70 84 60 72 51 83 70 64xi288 298 349 343 290 354 283 324 340 286yi（1）求y对x的回归方程（2）检验回归方程的显著性（«=0.05）⑶求y在x=65处的预测区间（置信度为0.95）解：（1）1、计算结果一元线性回归模型y=P0+P1x+8只有一个解释变量其中：x为解释变量，y为被解释变量，P0,P1为待估参数，6位随机干扰项。- 1nc- - 1nc- 1n〜 ”x=__xi=67.5,y=—vyi=315.5,n=10Lxxnyn="xi

i1ny_2n _2-x八xi2-nx=1096.5i1LLxy__ _n -xyi-y八xiyi-nxy=1974.5i17776725n _Lyy二」yi-y

i1n _2y2一二〉，V\-nyi1U=*=3555.541,Qe=Lyy-U=4116.959,；'=.Qe=22.685TOC\o"1-5"\h\zLxx ■n-2使用普通最小二乘法估计参数 飞；1L n— 7上述参数估计可写为Z=——=1.80,？0=y-2x=193.95Lxx所求得的回归方程为： ？-193.951.80x实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加 1.80个单位。2、软件运行结果根据所给数据画散点图.。1欢迎下载精品文档精品文档欢迎下载130.0120.0110.0100.0y90.080.0130.0120.0110.0100.0y90.080.070.0_60.0一由散点图可以看出y与t之间存在线性关系，因此建立线性回归模型如下线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间P值学生残差P值下限上限1常数项67.5310.535126.3090.00066.26768.796t0.8720.0160.99954.7470.0000.8340.910由线性回归分析系数表得回归方程为：？=67.531+0.872t,说明温度每增加一度，溶解度相应提高0.872。1、计算结果①回归方程的显著性检验（F检验）H0：线性回归效果不显著 H1:线性回归效果显著UF= =2996.359Qe/n-2在给定显著性水平a=0.05时，F1_£1,n—2）=Fo.95（1,7）=5.59<F,所以拒绝Ho,认为方程的线性回归效果显著②回归系数的显著性检验（t检验）H0「1=0H1:-0、Lxx?t一1 =54.735.0/n-2在给定显著性水平"=0.05时，t口（n—2）=t0975（7）=2.3646<t,所以拒绝H0,认为二回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。

③回归方程的线性显著性检验 (r检验)H0:t与y线性无关Hi:t与y线性相关xy=0.999xy=0.999在给定显著性水平a=0.05时，r1y(n—2)=r0.95(7)=0.6664<r,所以拒绝H0,认为t与y线性相关。2、软件运行结果模型摘要模型RR2修正的R2传计的学生误差10.999(a)0.9980.9971.0147由上表得r=0.999，说明y和t之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P直1 回归平方和3086.25213086.2522997.2870.000(a)残差平方和7.20871.030总平方和3093.4608由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数P值T值P值95%系数的置信区间P值学生残差下限上限1常数项67.5310.535126.3090.00066.26768.796t0.8720.0160.99954.7470.0000.8340.910由线性回归分析系数表知， p值很小，通过t检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。综上所述，建立的回归方程通过以上的 r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。⑶当X0=25时，代入上述回归方程得 y0=89.328出0)5/_2仁+£在1-a的置信度下，y0的置信区间为%—Ex。)？0+”X0?95M信度下的预测区间为 [86.811391.8450]

4.3对同一个问题，两人分别在做线性回归。甲：取样本值（刈»［）i=1,2,…，n1，得回归方程?=?遇x乙：取样本值施，丫21）i=1,2,…，叫，得回归方程?=?2+l?2x（1）如何判断这两个回归方程是否相等 （给定显著性水平a）?（2）若相等，如何求一个共同的回归方程？解：①检验H01:~1-C2Q：若F=「r：>F„(n1-1,n2-1),贝U拒绝H01Q2 1士殳 2其中Q：一Q2e1②检验H02：b1=b2b>ta(n1+n2>ta(n1+n2—4),则才I绝H021石；?e 1 1ILx1x1 Lx2x2其中鼻Q：+Q2其中鼻Q：+Q2③检验H03:a1=a?③检验H03:a1=a?|?1?21.1.x1 x2>t)(n1+&—4),则才I绝Ho31.二2n2 LX〔X1 LX2X2这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。（2）共同的回归方程为：p=守+bX?RLx1X2 &Lx2X2\o"CurrentDocument"其中，b=L L-X[X1 X2X2?=y-bX=n1y1n?=y-bX=n1y1n2y2b1LX1X2b2Lx2x2X2x2LX1X1 .L“X2n〔X1 n2X2A. n1 &4.6某化工厂研究硝化得率y与硝化温度x1、硝化液中硝酸浓度*2之间的统计相关关系。进彳T10次试验，得实验数据如下表：为1°C16.519.715.521.420.816.623.114.521.316.4为2%93.490.886.783.592.194.989.688.187.383.4y%90.9291.1387.9588.5790.4489.8791.0388.0389.9385.58试求y对X1,X2的回归方程。解：用所给的数据建立多元回归方程并进行检验模型摘要模型RR2-2修正的R传计的学生误差10.927(a)0.8590.8190.76066由上表得r=0.927,说明y和x的之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1 回归平方和24.724212.36221.3650.001(a)残差平方和4.05070.579总平方和28.7749由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数P值T值P值95%系数的置信区间P值学生残差下限上限r1常数项51.7986.0798.5210.00037.42466.172x10.3360.0850.5643.9720.0000.1360.536x20.3520.0650.7705.4230.0000.1980.505由线性回归分析系数表知， X1和乂2的p值都很小，通过了t检验，认为回归系数显著，说明硝化温度和硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。最后得到的回归方程为： ?=51,7980.336x10.352x2说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加0.336%;硝化液中硝酸浓度每增加1%硝化得率增力口0.352%。

4.4某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量 x(kg)对28天后的混凝土抗压强度y(kg/cm3)的影响，测得如下数据x150160170180190200210220230240250260yi56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7(1)求y对x的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加 1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？(2)检验线性回归方程效果的显著性(a=0.05);(3)求回归系数P1的区间估计(1—a=0.95);(4)求xo=22.5(kg)时，yo的预测值及预测区间。解：1.计算结果一元线性回归模型：只有一个解释变量Y；X；丫为被解释变量，X为解释变量， 久与P1为待估参数， 名为随机干扰项。用普通最小二乘法(Ordinaryleastsquares,OLS)估计久和P1n nQ=Q(Po,A)=£02=£(Y—P。—P〔Xi)2最小即，Q(爵闾」11胖(吃白) 记.二.Xi?='(Xi-X)?='X；—'Xin1一'xiyi (XiX)(YiY)-XiYi X「Yin上述参数估计量可以写成：伴=工xiyi・1一Ex"?0=丫-？1X带入数字得：TOC\o"1-5"\h\z… 1=0.304150*56.9 260*89.7--150HI26056.9愕=0.304\o"CurrentDocument"2 2 1 2150HI260--150HI260— - 1 10=Y-1X(56.9HI89.7)-0.304* *150HI260=10.283\o"CurrentDocument"12 12所以求得的回归方程为:y=10.283+0.304x,即x每增加一个单位，y相应提高0.304

所以求得的回归方程为:(2)回归方程的显著性检验：2 2SST=£y2=£(Y-Y)2=1323.820总体平方和,简记为S总或LyySSRCy2 (Y?-Y)2=1321.427回归平方和，记为S回或USSE=ve2=v(Y-Y?)2=2.393残差平方和，记为S残或QeSST=SSE(Qe)+SSR(U)对总体参数P1提出假设H0历=0, H1:印#0lU SSR=5522.521F= ==5522.521Qe/(n-2) SSE/(n-2)因为F Fo.95(1,10)=1.49所以，拒绝原假设。T检验：令工e2二= ==2.393/(12-2)=0.239n-2T检验：令工e2二= ==2.393/(12-2)=0.239n-2f? JL,t=_L=•xx1=74.314S? 彳t0.975(n-2)=t°.975(10)=2.2281因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即 P1对方程有显著影响。线性关系的显著性检验：r=%丫=Cov(X,Y)LxyD(X-D(Y「 LxxLyyn _ _x(Xi-X)(Yi-Y)x(Xi-X)2v(Yi-Y)2代入数据得：r=0.999r=0,999>r^(n—2)=r0.05(10)=0.6581拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系对总体参数P对总体参数Po提出假设H0-0=0,H1?0，0因为|t|>2.2281, 所以拒绝原假设，即?0-=12.092S?0--0对方程有显著影响(3)回归系数的区间估计，构造统计量-1^Lt(n-2)H0-0=0,H1?0，0因为|t|>2.2281, 所以拒绝原假设，即?0-=12.092S?0--0对方程有显著影响(3)回归系数的区间估计，构造统计量-1^Lt(n-2):-e/-\{Lxx(1-a)的置信度下,P1的置信区间是C A1 rT}(片f(n-2)*/VC照+得出：日1的95%勺置信区间为［-0,295t1_2(n-2)，/\LX)-0.313］。(4)求预测值估计值：%=用+1?>0E(Y0)=EM)=：；。.)X0代入数据计算得:当x=22.5时，y=17.123求预测区间Y。〜N(° \X。,。50-丫0〜N(0L(T2・^■))Xi构造统计量, Y0, Y0»t二 Sx?VY0-Y0~t(n-2)其中:SOK=从而在1-，2(1nL的置信度下,(X0-X)2%，X： )Y0的置信区间为YO-t2 SYo”：Y0鹏＜SYO_Y0代入数据计算得：95初信度的预测区间为 [15.4318.815](2)SPSS软件运行结果：根据数据的散点图为：90,00080,000丫70,00060,00050,000X225.0250.0200.0175.0150.090,00080,000丫70,00060,00050,000X225.0250.0200.0175.0150.0由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验:模型摘要模型RR2修正后的R2传计的学生残差1.999(a),998,998,489162由上表可以看出相关系数R接近于1,y和x的线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度均方F值P值1回归平方和1321,42711321,4275522,521,000(a)残差平方和2,39310,239总平方和1323,82011由方差分析表可见，F值很大，伴随概率p很小，说明回D3方程通过F检验，及回归方程非常显著

模型非标准P值.化系数学生残差标准化系数P值T值P值95%系数的1下限晋信区间上限r1 常数项x10.283.304.850.004.99912.09274.314.000.0008.388.29512.178.313线性回归分析的系数(1)yX^x的线性回归方程，由上图可得回归方程： y=10.28+0.304x。p很小，通过T检验。(2)回归方程效果的显著性，以上的R佥验、F检验和t检验，已证明。(3)(4)31的95%勺置信区间为计算后的预测值表：[-0.295,-0.313]Oxy预测值预测值误差预测值均数的标准误差预测下限预测上限15056.955.8811.0190.26655.28956.47316058.358.921-0.6210.23258.40459.43817061.661.96-0.360.20161.51262.40918064.665-0.40.17464.61265.38919068.168.040.060.15467.69768.38320071.371.080.220.14370.76271.39821074.174.12-0.020.14373.80274.43822077.477.160.240.15476.81777.50323080.280.200.17479.81180.58824082.683.24-0.640.20182.79183.68825086.486.2790.1210.23285.76286.79626089.789.3190.3810.26688.72789.91122.5.17.123.0.7615.4318.815说明^^y有显著影响。X曾加一个单位y相应提高0.304。2Ze2Ze2=2.393/ (12-2)=0.239--n-2从上表查得，当x=22.5时,y=17.12395初信度的预测区间为 [15.4318.815]4.5假设x是一可控变量，y是一随机变量，服从正态分布，现在不同的 x值下分别对y进行观测，得如下数据，x0.250.370.440.550.600.620.680.700.73y2.572.312.121.921.751.711.601.511.50x0.750.820.840.870.880.900.951.00y1.411.331.311.251.201.191.151.00(1)假设x与y之间有线性关系，求 y对x的经验回归方程，并求仃2=D(y)的无偏估计；求回归系数P。，Pi和仃2的0.95置信区间；检3叙x和y之间的线性回归方程是否显著(a=0.05);求y的0.95预测区间；为了把观测值 y限制在区间(1.08,1.68),需要把x的值限制在和范围之内？(a=0.05)解：1.计算过程及结果一元线性回归模型：只有一个解释变量Y=0；X；丫为被解释变量，X为解释变量， 久与P1为待估参数， 名为随机干扰项。TOC\o"1-5"\h\z用普通最小二乘法(Ordinaryleastsquares,OLS)估计久和P1n nQ-Q("，-1)="；i='、(Yi—■■-0—■Xi)取小i=1 i1即，Q(，耳)=%胪(久,片)记工xi2=£(Xi-X)2=£Xi2--(ZXi2n i“Xiyi="(XiX)(YiY)="XiYi 'X「Yin上述参数估计量可以写成：?=Zxiyi_v2-xi?0=Y-？1X带入数据得:

_—_ 1一■一__■一“xv0.25*2.57III1.00*1.00 0.25巾1.002.57|||1.00=-2.070—xiyi 17=-2.070(0.252+IH+1.002)_，(0.25+H|+1.00j0=Y-iX1一,- -0=Y-iX1一,- -(2.57HI1.00)-(-2.070)*1217*0.25HI1.00=3.033所以求得的回归方程为：y=3.033-2.070x可以证明,2.—.所以求得的回归方程为：y=3.033-2.070x可以证明,2.—.一..•一仃的最小二乘估计量为呼*?=nT2它是关于；:.-Qe="e22的无偏估计量，也称为剩余方差(残差的方差)=L(Y-Y?)2=0.030代入数据得:22eCT= n-2 22eCT= n-2 17-20.030——=0.002(2)1 x2n LxxLt(n-2)f—B11t(n-2)--e/LLxx于是得到:(1-。)的置信度下的置信区间是(熊一匕4门一(熊一匕4门一2)仃：｛1十-2xLxxrO 八?0 Jn-2)；「e-21 x )n Lxxxx(解-t1_2(n-2尸：/右,用+t_2(n-2)。：/口)再由 ?2(n-2),还可得仃2的置信水平为1—a的置信区间ar 1Qe Qe42a(n—2),《(n—2)「三 2 一这里，n=1742.975(15)=27.488，2.25(15)=6.262,t0.975(15)=2.1315代入数据得到,日0的95%勺置信区间为[2.951,3.116];3i的95%勺置信区间为[-2.183,-1.957];2.. 仃的95%勺置信区间为[Qe/X21-“/2(n-2),Qe/X2“/2(n-2)]=[0.03/27.488,0.03/6.262]=[0.0011,0.0048](3)回归方程的显著性检验：2 2SST=£y2=£(Yi-Y)2=3.069总体平方和，简记为S总或LyySSRCy?2=▼(Y?-Y)2=3.039回归平方和，记为S回或USSE=£e2=£(Y-Y?)2=0.030残差平方和，记为S残或QeSST=SSE(Qe)+SSR(U)对总体参数P1提出假设H0: P1=0, H1-1-0UFH0: P1=0, H1-1-0UF=- Qe/(n-2)SSRSSE/(n-2)=1531.867因为因为F Fo.95(1,15)=1.43所以，拒绝原假设。T检验：c?2— 2c?2— 2ei.2 'e2=0.002n—2n—2耳JL”t=_L=•xx1=-39.139S? :?t0.975(n上2)=t0.975(15)=2.1315因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即 P1对方程有显著影响。线性关系的显著性检验：r=&y=Cov(X,Y)Lr=&y=Cov(X,Y)LxyD(X)D(Y)-LxxLyyx(Xi-X)(Yi-Y)i1n _n_%(Xi-X产(Yi-Y)2i1 iT代入数据得：r=0.995r=0.995>%(n-2)=%.05(15)=0.4821拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系对总体参数P。提出假设H0: 30=0, H1-0-0?0，0H0: 30=0, H1-0-0?0，0Xi2CXi2=78.354?0因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即以对方程有显著影响(4)、(x)-；et、(x)-；et」(n-2)、1+」Jx亘n Lxx从而得到y的置信水平为1-a的预测区间为y-(x),y、(x)其中欹)9tl欹)9tl曼(n-2)1-21x-x0.044213n Lxx2x-0.70291.0588——0.7103-0.11250.7521x-0.7029⑸因IF1=「(y1⑸因IF1=「(y1x二eU1I--0)2代入数据得x=』y-二四一-0=」 1.680001981.963.033=0.61151 1-2 -2.0701 1 x=—y%u「-0= 1.08.0.001981.963.033=0.90131 1-2 -2.0702.SPSS软件运行结果根据数据得到散点图：2.502.001.501.00 —0.400.60X0.801.000.20由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验:模型摘要模型RR2,八__一C2修正的R传计的学生误差1.995(a).990.990.04454由上表可以看出相关系数R接近于1,y和x的线性关系显著。线性回归分析的系数模型非标准化P值系数学生残差标准化系数P值T值P直95%系数白间下限勺置信区上限r1 常数项x3.033-2.0700.0390.053-0.99578.354-39.139.000.0002.951-2.1833.116-1.957由上图可得回归方程：y=3.033+(-2.070)x 。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P直1 回归平方和3.03913.0391531.867.000(a)残差平方和0.030150.002总平方和3.06916由方差分析表可见，F值很大，伴随概率sig.p很小，说明回归方程通过 F检验，及回归方程非常显著

■—2

ei■—2

ein-20.03017-2=0.002(2)线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数P值T值P直95%系数的置信区间P值学生残差下限上限r1 常数项3.0330.03978.354.0002.9513.116x-2.0700.053-0.995-39.139.000-2.183-1.957由上表可以看出 30的95%勺置信区间为[2.951,3.116];3i的95%勺置信区间为卜2.183-1.957] ;J的置信区间为[Qe/X21-“/2(n-2),Qe/X2”/2(n-2)]=[0.030/27.488,0.030/6.262]=[0.0011,0.0048](3)回归方程的显著性已在(1)中证明。(4)可以得到Lxx=n(7x2=17*(0.21056)2=0.7103,17'、Xi2x—=0.70291x-x1x-x4X>Re1g(n—2斗1与上x-0.7029=0.04452.13151.0588- 0.7103=0.1125/0.7521(x-0.7029y的置信度为95项测区间为[y-6(x),y'+6(x)]4.7某种商品的需求量y,消费者的平均收入Xi以及商品的价格x2的统计数据如下表为110006001200500300400130011001300300xi25766875439小10075807050659010011060求y对x1、x2的回归方程。解： 线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间P值学生残差P值下限上限r

1常数项111.69223.5314.7470.00256.050167.333消费者平均收入x10.0140.0110.3061.284.240-0.0120.041商品价格x2-7.1882.555-0.670-2.8130.026-13.231-1.146由上图可知F0=111.692,P1=0.014,F2=—7.188,得到回归方程y=P0+B1X+P2x2=111.692+0.014%-7.188x2o从表中得出，x1的T检验未通过，x1和x2有较强的共线性。Correlations消费者的平均收入x1商品价格x2消费者的平均收入x1PearsonCorrelation1-.857**Sig.(2-tailed).002N1010商品价格x2 PearsonCorrelation-.857**1Sig.(2-tailed).002N1010**.Correlationissignificantatthe0.01level(2-tailed).则由后退法，删除第一个变量，得到线性回归分析的系数表如下:线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数P值T值P直95%系数的置信区间P值学生残差下限上限r1常数项140.008.55116.3720.000120.281159.719商品价格x2-10.0001.369-0.933-7.3030.000-13.158-6.842a.因变量：商品的需求y得到回归方程：y=0 2x2=140.000-10.000x24.8铝合金化学铳切工艺中，为了便于生产操作，需要对腐蚀速度进行控制，因此要考查腐蚀液温度x1(°C"碱浓度x2(g/l)、腐蚀液含铝量x3(g/l附腐蚀速度y(mm/min)的影响,一共做了44次试验，所得数据如下表：试验号xi2xi3yi试验号Xmxi2xi3yi173122000.02402387362000.0360

273212000.02352487482000.0325375302000.02402577191500.0230475422000.01902677191750.0250575362000.02452777192000.0265675482000.01852877192250.0285779122000.03202977192500.0290879212000.03003081271500.0285979302000.02903181271750.02951079422000.2753281272000.03101179362000.02503381272250.03151279482000.02253481272500.03201383122000.03703585351500.03451483212000.03603685351750.03551583302000.03553785352000.03701683422000.03253885352250.03901783362000.03053985352500.0405188348200.02704089431500.03751987122000.04404189431750.03802087212000.04254289432000.04002187302000.04204389432250.04302287422000.03904489432500.0450(1)求y对Xi,X2,X3的线性回归方程；(2)对所得到的回归方程进行显著性检验；⑶对自变量Xi,X2,X3的显著性进行检验；(4)求X01=800C,X02=35g/l,x03=200g/l时，腐蚀速度y0的点预测与99%勺预测区间。解：因为y值相^•于X来说数量级非常的小，所以先将y扩大10000倍，然后使用SPSS寸y与X1,X2,X3之间的关系做回归

模型摘要模型RR平方修正的R平方估计的学生误差1.097a.009-.065384.48971a.a.自变量，xi3,xi2,xi1由上表得r=0.097,说明y和Xi,X2,X3之间线性关系极不显著。方差分析表b模型平方和自由度平均平方值F值P值1 回归平方和残差平方和总平方和56474.623591329459697683404318824.874147832.339.127a.943a.a.自变量，xi3,xi2,xi1b.b.因变量:y由方差分析表知，F值很小，p值很大，回归方程通不过F检验，说明回归方程不显著。线性回归分析的系数a模型非标准化系数标准化系数T值P值B值学生残差B值1 常数项-158.1891137.391-.139.890xi14.40813.205.057.334.740xi21.7245.760.051.299.766xi3.6002.432.039.247.806a.a.因变量：y由线性回归分析系数表知， p值很大，通不过t检验，认为回归系数高度不显著，说明为？2?3对y没有显著的影响。综上所述，建立的回归方程不能通过以上的 r检验、F检验、t检验，所以无法建立y与为？2?3之间的回归方程。有一架天平，称重时有随机误差%Es=0,D(a)=。2。现对实重分别为biQhh的4个物体A,A2,A3,A4(bih,b3,b4未知),按下述办法称重4次：第一次，A,A2,A3,A4都放在天平的右盘上，祛码放在左盘中，使其平衡，记祛码读数为 yi。第k次k=2,3,4A,Ak放在天平的右盘上，其余两个放在左盘中。为使天平达到平衡要放上读数为 yk的祛码,右祛码放在右盘内，则yk<0；若放在左盘内，则二w古计，并求出？,b2,b3,b4的方差。如果对A1,A2,才能得到同样精度的无偏估计。yk>0o试求“22,b3,b4的最小A3,A4分别进行称量，需要称多少次

解:由题意得到方程为:b+b2+b3+b4=y解:由题意得到方程为:b+b2+b3+b4=y1b1+b2=b3+b4+y2bi+b3=b2+b4+y3b1+b4=b2+b3+y4，=4 +b2 +b3 +b4 +备y2 — bi +b2 -b3 -b4 +*2y3 — bi -b2 +b3 -b4 +33[y4 = b1 —b2 -b3 +b4 +*442Q=Qbi,b2,b3,b4）="；；ii12 2 2 2-yi _bi -b2 _ b3 _b4j，।y2- bl -b2 b3 b4 I1 y3 " bi b2 ~ b3 b4j1y4"bi b2 b3 " b4令8_=0解得:力iy2y3y4y2-y3-y4-y2 y3-y4一y2一y3 y4D&）=D,il（yi+y2+y3+y4）]=工D（y1十y2十y3+y4）=人'4。 2解：题目要求使用抛物线回归，所以先计算出 x,然后再使用sps 2解：题目要求使用抛物线回归，所以先计算出 x,然后再使用sps缴件对y与x、x的关系做回归4 i6 i64同理可知di?=dW」。24i2如果对Ai,A2,A3,A4分别进行称量，每个A需要称4次才能得到一仃的精度，则共需称4重i6次。将i6〜30岁的男女运动员按年龄分成 7组，把年龄组中值作为x,考察年量大小对“旋转定向”能力的影响，已知的 7组数据如下：x（年龄） i7 i9 2i 23 25 27 29y（旋转定力） 22,48 26.63 24.2 30.7 26.5i 23.00 20.30

线性回归分析的系数模型非标准彳P值匕系数学生残差标准化系数P值T值P值1 常数项年龄x-63.6298.15032.6532.90010.287-1.9492.8100.1230.048xx-0.1820.063-10.575-2.8890.0452得到的抛物线方程为：y=-63.629-8.150X-0.182x求0?的计算过程见下表：xiyi?iyi-7i2yi-?i1722.4822.320.160.021926.6325.521.111.232124.2027.26-3.069.362330.7027.543.169.972526.5126.370.140.022723.0023.74-0.740.552920.3019.660.640.41合计21.56：=（厂？,=21.56叱丫;^=y=ab.x(2)y=ablnxy=ab.x(2)y=ablnx4.11某矿脉中13个相邻样本点处，某种金属的含量y与样本点对远点的距离有如下实测值:x23457810y106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49x111415161819y110.59110.60110.90110.76111.00111.20分别按：

建立y对x的回归方程，并用复相关函数 R=；1 指出其中哪一种相关最大。\Lyy解：(1)使用方程y=a+bJX的形式进行回归拟合，先计算出 JX的值，然后对y与京进行线性拟合。模型摘要模型RR22修正的R传计的学生误差1.886(a)0.7850.7660.64366a自变量：sqrtx由上表得r=0.886,说明y与JX之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1 回归平方和16.653116.65340.1970.000(a)残差平方和4.557110.414总平方和21.21112由方差分析表知，F直很大，p直几乎为0,,回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准彳P值匕系数学生残差标准化系数P值T值P值1 常数项sqrtx106.3011.1950.6000.1880.886177.0316.3400.0000.000由线性回归分析系数表知， 回归方程系数的p直几乎为0,通过了t检验，认为回归系数显著。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。最后得到的回归方程为： y=106.301,1.195、,x(2)使用方程y=a+blnx的形式进行回归拟合，先计算出 inx的值，然后对y与lnx进行线性拟合模型摘要模型RR2一2修正的R传计的学生误差1.937(a)0.8770.8660.48638由上表得r=0.937,说明y和lnx的之间线性关系显著。方差分析表

模型平方和自由度平均平方值F值P值1 回归平方和18.608118.60878.6610.000(a)残差平方和2.602110.237总平方和21.21112由方差分析表知，F值很大，p值几乎为0,回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值P值学生残差P值1 常数项lnx106.3151.7140.4300.1930.937247.2258.8690.0000.000由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0,通过了t检验，认为回归系数显著。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。最后得到的回归方程为：y=106.315,1.7141nx..一、一一b(3)使用万程y=a十一的形式进行回归拟合，先计算出 1/x的值，然后对y与1/x进行线x性拟合模型摘要模型RR2一_.…c2修正的R传计的学生误差10.987(a)0.9740.9720.22352由上表得r=0.987,说明y和1/x的之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1 回归平方和20.661120.661413.5290.000(a)残差平方和0.550110.050总平方和21.21112由方差分析表知，F值很大，p值机会为0,回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准彳P值匕系数学生残差标准化系数P值T直P值1 常数项1116.4870.0981134.1570.000

1/x-9.8330.484-0.987-20.3350.000由线性回归分析系数表知， 回归方程系数的P值几乎为0,通过了t检验，认为回归系数显著。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 9 833最后得到的回归方程为： y=111.487 计算复相关系数的计算过程见下表:xiyi?1y2?3yi-y1yi。y2y-y2106.42107.991107.503106.5712.4681.1730.0233108.20108.371108.198108.2090.029004109.58108.691108.691109.0290.7900.7900.3045109.50108.973109.074109.5200.2780.18207110.00109.463109.650110.0820.2890.1220.0078109.93109.681109.879110.2580.0620.0030.10810110.49110.080110.262110.5040.1680.052011110.59110.264110.425110.5930.1060.027014110.60110.772110.838110.7850.0300.0570.03415110.90110.929110.957110.8310.0010.0030.00516110.76111.081111.067110.8720.1030.0940.01318111.00111.371111.269110.9410.1380.0720.00419111.20111.510111.362110.9690.0960.0260.053合计4.5582.6010.551Lyy=21.214,Qe=4.558,Qe2=2.601,Qe3=0.551R11TLyy=0.886,R2小净=0.936,R3=1_1Lyy=0.987在彩色显影中，根据以往经3^形成染科光学密度 y与析出银的光学密度x之间有下b面类型的关系：y=ae7,b：二0我们通过11次试验得到下面数据：x 0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.47y 0.10 0.14 0.23 0.37 0.59 0.79 1.00 1.12 1.19 1.25 1.29求未知参数a,b的估计值，并求回归方程的残差平方和。

b解：使用方程y=aex的形式进行回归拟合，先对方程两边取对数然后计算出 1/x和lny的值，最后对lny与1/x进行线性拟合模型摘要模型RR2 —2修正的R传计的学生误差1.998(a).997.996.057665由上表得r=0.998,说明lny与1/x之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1 回归平方和8.65918.6592604.0670.000(a)残差平方和0.03090.003总平方和8.68910由方差分析表知，F值很大，p值几乎为0,回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准彳P值匕系数学生残差标准化系数P值T值P值1 常数项1/x0.548-0.1460.0290.003-0.99819.141-51.0300.0000.000由线性回归分析系数表知， 回归方程系数的p值几乎为0,通过了t检验，认为回归系数显著。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。所得的回归方程为：lny=0.548-0146x0.146对所得方程还原得到最后的回归方程为： y=1.730ex未知参数的估计值为： ?=1.730,1?--0.146残差平方和计算过程见下表：xiy?iyi-？i20.050.10.093300.060.140.15180.00010.070.230.21490.00020.10.370.40180.00100.140.590.60970.0004

0.20.790.83370.00190.251.000.96480.00120.311.121.08020.00160.381.191.17810.00010.431.251.23190.00030.471.291.26810.0005合计0.0073综上计算可得残差平方和为 0.0073。设n组观察值（为，yi）之间有关系式yi=a+bx1+鸟，i=1,2,…，n且％,相互独立，a~N（0,o2）i=1,2，…，n。求a,b的最小二乘估计仇8,并证明独立的充分必要条件是x=0。证明：%=a+bXi+鸟，i=1,2,…，nTOC\o"1-5"\h\zL_CC_ _2^E鸟=0,Dq=仃n n记Q=Q（a,b）=£<2=£（yi-a-bxi2iW i工cQ色cQ色J:b--2.一yi-a-bxi=1n至caQ--2、xiy至caQ二0并用用『代替a,b得:二0一2,iW解上述方程组得:TOC\o"1-5"\h\zn 1nn n- -'、Xiyi--'、Xi二y、'Xi-xyi-yg二i> n" 二J_4 士Xi2--tXi) 工(xi-x)i1ni4 i-a?=y-b?X...-1n- 1n其中：x=—%x,y=—%yini4 ni4当X=0时，？=y很显然与b?无关，所以包b相互独立。4.14设有线性模型yi=3+曾y2=2-1--2，；2y二P1 2-2」3其中昌~N(0,。21i=1,2，…，n)且相互独立，试求(1)%与团的最小二乘法估计;(2)试导出检验H0:P1=P2=0的统计量；⑶试导出检验Ho:P〔二P2的统计量。3Q八,=y，12y2-2「[2丫3一2,2i1解：Tn-=—2(y1-34(y2—201*口22(y3—3—2^2)。只1等=2(y2-24+久)-4(y3-P1-2?2)口2Q~=0 Z=:y12y2y3令L1解得：6 6尊=o ？2=：-y22y3[.2 54.15设yi=F ；i,i=1,2,,mymii；mi,i=1,2,,m72mi-?-2/C=1,2,…,n

2.假7E号之间互不相关，且有E（£i）=0,D（Ei）=仃,i=1,2，…，2m+n试求e及e的最小二乘法估计。试证当m=2n时，e?与小互不相关。解:TOC\o"1-5"\h\z2m-n m记、=QijQ： ti2 =▼ yi—u2 < ymi-i-'2v y2m.i—>2「L'C m m n~T=—