7圆周运动典型问题分析

三圆周运动【知识要点】一、 一般曲线运动合力的切向分力提高加速度改变速度的大小，合力的法向分力提供向心力改变速度的方向.二、 一般圆周运动（区别于匀速圆周运动）切向分力不为0,一次速度的大小和方向均变化。三、 匀速圆周运动：在相同的时间内通过的弧长都相等.在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等.合外力大小不变且始终指向圆心（合外力提供向心力），为变变速运动。四、 离心运动：定义：做匀速圆周运动的物体，如果向心力突然消失或合外力提供做圆周运动所需的向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动.特点：（1）当F合=mr&2的情况，即物体所受合外力等于所需向心力时，物体做圆周运动.（2） 当F合<mrw2的情况，即物体所受合外力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动.（3） 当F合>mra2的情况，即物体所受合外力大于所需向心力时，物体逐渐接近圆心，做向心运动.五、 临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况图1 图2 图3临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v丘=\'R^ 临界能过最高点的条件："Rg，当v>』Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：v<v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点v临界=0，此时支持力N=mg当0<v<Vlg时，N为支持力，有0<N<mg，且N随v的增大而减小当v='V‘Rg时，N=0当v>*Rg，N为拉力，有N>0，N随v的增大而增大例1、如图所示，细杆一端与小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （AB） 广十、A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力 :。）C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力 '、'』/例2、一质量为m的小球在如图所示的竖直圆环内做圆周运动（不计环的摩擦），若所加电场方向水平向右，且qe=mg,则小球在圆环最低点应至少具有多大的速度才能使小球做完整的圆周运动。

2、在水平面内作圆周运动的临界问题例3、如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大?解析：①当角速度3很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当3逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为3/则有：TACcos30°=mg；TACsin30°=m3i2Lsin30°将已知条件代入上式解得31=2.4rad/s②当角速度3继续增大时Tac减小，Tbc增大。设角速度达到32时，Tac=0（这又是一个临界状态），则有： TBCcos45°=mg；TBCsin45°=m322Lsin30°将已知条件代入上式解得32=3.16rad/s所以当3满足2.4rad/s<3<3.16rad/s，AC、BC两绳始终张紧。本题所给条件3=3rad/s，此时两绳拉力Tac、TBC都存在。TACsin30°+TBCsin45°=m32Lsin30°TACcos30°+TBCcos45°=mg将数据代入上面两式解得TAC=0.27N， TBC=1.09N注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果3<2.4rad/s时，TBC=0，AC与轴的夹角小于30°。如果3>3.16rad/s时，TAC=0，BC与轴的夹角大于45°。例4、如图所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速灿在什么范围m会处于静止状态？（g=10m/s2）TOC\o"1-5"\h\z解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态： ，.. 7当3为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦 .力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。 此时，对M运用牛顿第二定律。有T-fm=M312r 且T=mg解得31= □m2.9rad/s当3为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。再对M运用牛顿第二定律。有T+fm=M322r解得32=6.5rad/s所以，题中所求3的范围是：2.9rad/s<3<6.5rad/s例5、如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为8N.A、B间的动摩擦因数为0.4,B与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零.当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在坐标系中作出f一孩图象.g取10m/s2.解.当B物体与将发生滑动时的角速度为气=,罕=&25=2rad/s；则T=0，矣[0,2]度由=4rad/s当A物体所受的摩擦力等于最大静摩擦力时，A将要脱离B物体，此时的角速度由=4rad/s则T=2mW2r-日2mg=0.5w2-2(We[2,4])，此时绳子的张力为T=2籍rf22mg=2X42X0.25-2=6N<8N，故绳子末断，接下来随角速度的增大，A脱离B物体，只有B物体作匀速圆周运动，此时角速度为W2，m鹭r=1x42x0.25=4N>^1mg，八 :T+日mg:8+1即绳子产生了拉力，当绳有最大拉力时的角速度为W3，则W3=\：maxmr1—=\：1x025=6rad/s

则T=m①2r-日mg=0.25①2-1,we[4,6]i【随堂巩固】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，大轮的半径为4r,小轮的半径为2r,b点在小轮上，到小轮中心的距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中，皮带不打滑.则（CD）a点与b点的线速度大小相等a点与b点的角速度大小相等a点与c点的线速度大小相等a点与d点的向心加速度大小相等汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙.以下说法正确的是（A）f甲小于七 B.f甲等于f乙 C.f甲大于f乙D.f甲和f乙大小均与汽车速率无关如图所示，一球质量为m，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初那么此位置座椅对游客的作用力相速度释放，当悬线碰到钉子瞬间下列说法正确的是（BCD）那么此位置座椅对游客的作用力相A.小球的线速度突然加大 B.小球的向心加速度突然增大C.小球的角速度突然增大 D.悬线拉力突然增大如图所示，甲、乙两球作匀速圆周运动，向心加速度随半径变化.由图像可以知道（AD）甲球运动时，线速度大小保持不变甲球运动时，角速度大小保持不变乙球运动时，线速度大小保持不变乙球运动时，角速度大小保持不变游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s2，g取10m/s2,当于游客重力的（C）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v,则下列说法中正确的是（AC）当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力当速度大于v时，轮缘挤压外轨当速度小于v时，轮缘挤压外轨如图所示，在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板作匀速转动.当圆板半径OA与初速度方向一致时开始抛出小球，要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v°应为多大？圆板转动的角速度为多大?答案:勺=气切W答案:勺=气切W=〃气千(n=0,1,2,3,…)如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r<<R,有一质量为m,半径比站各小的光滑小球以水平初速度v°从A端射入圆管•⑴若要小球能从5射出来，初速度v°至少多大？⑵在小球从豚射出来瞬间，小球对管壁压力有哪几种情况？初速度v°各应满足什么条件?如图所示，一个光滑圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角为。=30。，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。⑴当v=时，求绳对物体的拉力;⑵当v=⑴当v=时，求绳对物体的拉力;⑵当v=时，求绳对物体的拉力。过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，b、C间距与C、D间距相等，半径R]=2.0m、r2=L4m。一个质量为m=L°kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以V0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数H=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。第一SU.it第一SU.it解析：(1)设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为V1根据动能定理rc„ 1 1-HmgL1-2mgR1=2mV2--m* ①小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定V2律F+mg=m1②由①②得F=10.0N③R1V2(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意mg=mR④2-Hmg（L1+L）—2mgR2=1mv2—1mv0⑤由④⑤得L=12.5m⑥1 2 2 2 2 0(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为七，应满足

mg=m^⑦—pmg(L+2L)-2mgR=1mv2—1mv2⑧由⑥⑦⑧得R=0.4mR 1 3 2 3 2 0 33ii.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为r3,根据动能定理一 -御蜗=0二商解得R=L0m为了保证圆轨道不重叠，r最大值应满足R+R》=L+S-R》解得

3 3 2 3 3 2R=27.9m3综合I、II,要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件0<r3R=27.9m3或LOm<R3<27.9m当0<r3<°.4m时，小球最终焦停留点与起始点a的距离为L,“八1-HmgL=0—2mv2 L=36.0m当LOm<r3<27.9m时，小球最终焦停留点与起始点a的距离为L〃，则Zff=Z1+2Z-(Zr-Z1-2Z)=26.0m【课后练习】1.一级方程式（F1）汽车大赛中，冠军舒马赫驾驶着一辆总质量是M（M约1.5吨）的法拉利赛车经过一半径为R的水平弯道时的速度为v•工程师为提高赛车的性能，都将赛车形状设计得使其上下方空气存在一个压力差——气动压力（行业术语），从而增大了赛车对地面的正压力，行业中将正压力与摩擦力的比值称为侧向附着系数，用n表示.为使上述赛车转弯时不致侧滑，则：（1） 所需的向心力为多大？（2） 所需的摩擦力为多大？（3） 所需的气动压力为多大？一、，、一 . V2解：（1）由题义得赛车转弯时所需的向心力为：F=MT・■（2） 赛车转弯时所需的向心力由地面的摩擦力提供，即f=F=MTR（3） 设赛车受到的气动压力为N，受到地面的支持力为N'，则：八,… N'…- V2N=N+Mg.（3分）由题知n=7解得：N=rjM~-Mgf RAB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示.一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑.已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦.求：（1） 小球运动到B点时的动能；（2） 小球下滑到距水平轨道的高度为1R时的速度大小和方向；小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力N小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力N「（16分）（1）根据机械能守恒Ek=mgR（2）根据机械能守恒△Ek=AEpmv2寸mgR小球速度大小v=%'gR乙(3)23.NC各是多大？人丹…一O速度方向沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在B点v2 1「mg=mR ,mgR=2mvB2解得NB=3mg在；C点：Nc=mg某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切.弹射装置将一个小物体(可视为质点)以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数p=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L=1.5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0.01kg,g=10m/s2.求：小物体从p点抛出后的水平射程。小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向.解：(1)设小物体运动到P点时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得~^mgL—2Rmg=1mv2-1mv2 ①2R=1gt2②s=vt③2 2a 2联立①②③式，代入数据解得s=0.8m④(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为mv2⑥方向竖直向下向F+mg=——⑤联立①⑤式，代入数据解得F=0.3N⑥方向竖直向下RTOC\o"1-5"\h\z有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度3匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为B，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度3与夹角B的关系. ...解析：设转盘转动角速度°时，夹角B.座椅到中心轴的距离：R=r+Lsin0 ①对座椅分析有：F=mgtan0